2022湖北省十堰市洪坪中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.“直線L垂直于平面a內(nèi)無數(shù)條直線”是“直線L垂直于平面a”的（

）A．充要條件

B．充分不必要條件

C．必要不充分條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C2.為保證樹苗的質(zhì)量，林業(yè)管理部門在每年3月12日植樹節(jié)前都對樹苗進(jìn)行檢測，現(xiàn)從甲、乙兩種樹苗中各抽測了10株樹苗的高度（單位長度：cm），其莖葉圖如圖所示，則下列描述正確的是(

)A．甲種樹苗的平均高度大于乙種樹苗的平均高度，甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊B．甲種樹苗的平均高度大于乙種樹苗的平均高度，乙種樹苗比甲種樹苗長得整齊C．乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度，乙種樹苗比甲種樹苗長得整齊D．乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度，甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊參考答案：D【考點】莖葉圖．【專題】圖表型．【分析】本題考查的知識點是莖葉圖，由已知的莖葉圖，我們易分析出甲、乙兩種樹苗抽取的樣本高度，進(jìn)而求出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差，然后根據(jù)平均數(shù)的大小判斷哪種樹苗的平均高度高，根據(jù)方差判斷哪種樹苗長的整齊．【解答】解：由莖葉圖中的數(shù)據(jù)，我們可得甲、乙兩種樹苗抽取的樣本高度分別為：甲：19，20，21，23，25，29，31，32，33，37乙：10，10，14，26，27，30，44，46，46，47由已知易得：==27==30S甲2＜S乙2故：乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度，甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊．故選D【點評】莖葉圖是新課標(biāo)下的新增知識，且難度不大，常作為文科考查內(nèi)容，10高考應(yīng)該會有有關(guān)內(nèi)容．?dāng)?shù)據(jù)的離散程度與莖葉圖形狀的關(guān)系具體如下：莖葉圖中各組數(shù)據(jù)的越往中間集中，表示數(shù)據(jù)離散度越小，其標(biāo)準(zhǔn)差越??；莖葉圖中各組數(shù)據(jù)的越往兩邊離散，表示數(shù)據(jù)離散度越大，其標(biāo)準(zhǔn)差越大．3.．E，F(xiàn)是等腰直角△ABC斜邊AB上的三等分點，則（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：D略4.設(shè)滿足約束條件,則的最大值為（

）A．5

B.3

C.7

D.-8參考答案：C略5.已知點P（x，y）為圓C：x2+y2﹣6x+8=0上的一點，則x2+y2的最大值是（）A．2 B．4 C．9 D．16參考答案：D【考點】圓的一般方程．【專題】直線與圓．【分析】將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心與半徑，作出相應(yīng)的圖形，所求式子表示圓上點到原點距離的平方，根據(jù)圖形得到當(dāng)P與A重合時，離原點距離最大，求出所求式子的最大值即可．【解答】解：圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）2+y2=1，根據(jù)圖形得到P與A（4，0）重合時，離原點距離最大，此時x2+y2=42=16．故選D【點評】此題考查了圓的一般式方程，兩點間的距離公式，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練運用數(shù)形結(jié)合思想是解本題的關(guān)鍵．6.如圖，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC（端點除外）上一動點，現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABCF．在平面ABD內(nèi)過點D作DK⊥AB，K為垂足，設(shè)AK=t，則t的取值范圍是（）A．（，2） B．（，1） C．（，2） D．（，1）參考答案：B【考點】平面與平面垂直的性質(zhì)．【分析】此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點時，可得t=1，隨著F點到C點時，當(dāng)C與F無限接近，不妨令二者重合，此時有CD=2，由此能求出t的取值的范圍．【解答】解：此題的破解可采用二個極端位置法，即對于F位于DC的中點時，可得t=1，隨著F點到C點時，當(dāng)C與F無限接近，不妨令二者重合，此時有CD=2∵CB⊥AB，CB⊥DK，∴CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD，對于CD=2，BC=1，在直角三角形CBD中，得BD=，又AD=1，AB=2，再由勾股定理可得∠BDA是直角，∴AD⊥BD再由DK⊥AB，可得三角形ADB和三角形AKD相似，可得t=，∴t的取值的范圍是（，1）故選：B．【點評】本題考查線段長的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意特殊值法的合理運用．7.設(shè)全集是實數(shù),,則（

）A．

B.

C.

D.參考答案：A略8.一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為(

)A. B.

C. D.參考答案：A9.在空間中，兩不同直線a、b，兩不同平面、，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則參考答案：D10.各項都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比q≠1，且成等差數(shù)列，則的值為(

)A． B． C． D．或參考答案：B【考點】等比數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的通項公式．【專題】計算題．【分析】題意可得，a3=a1+a2，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可得q2﹣q﹣1=0結(jié)合an＞0可求q，進(jìn)而可求【解答】解由題意可得，a3=a1+a2即a1q2=a1+a1q∴q2﹣q﹣1=0an＞0∵q＞0∴∴故選B．【點評】本題主要考查了利用等差與等比數(shù)列的通項公式求解數(shù)列的項，屬于基礎(chǔ)試題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等差數(shù)列前項和為，已知為________時，最大；參考答案：略12.函數(shù)，則的最大值為

.參考答案：13.冪函數(shù)的圖象過點，則其解析式為

參考答案：14.命題“若α是鈍角，則sinα＞0”的逆否命題為_____．參考答案：“若，則不是鈍角”

命題“若是鈍角，則”的逆否命題為“若，則不是鈍角”．故答案為“若，則不是鈍角”．

15.已知等差數(shù)列{an}中，滿足S3=S10，且a1＞0，Sn是其前n項和，若Sn取得最大值，則n=．參考答案：6或7考點：等差數(shù)列的前n項和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由題意易得a7=0，進(jìn)而可得數(shù)列{an}中，前6項為正數(shù)，第7項為0，從第8項開始為負(fù)數(shù)，易得結(jié)論．解答：解：∵等差數(shù)列{an}中，滿足S3=S10，且a1＞0，∴S10﹣S3=7a7=0，∴a7=0，∴遞減的等差數(shù)列{an}中，前6項為正數(shù)，第7項為0，從第8項開始為負(fù)數(shù)，∴Sn取得最大值，n=6或7故答案為：6或7點評：本題考查等差數(shù)列前n項和的最值，從數(shù)列項的正負(fù)入手是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．16.下面是一個算法．如果輸出的y的值是20，則輸入的x的值是

.參考答案：2或617.研究問題：“已知關(guān)于x的不等式的解集為（1，2），解關(guān)于x的不等式”.有如下解法：解：由且，所以，得，設(shè),得,由已知得：,即，所以不等式的解集是.參考上述解法，解決如下問題：已知關(guān)于x的不等式的解集是:，則不等式的解集是_______________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)．（1）若是f(x)的極值點，求函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若時，，求a的取值范圍．參考答案：（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【分析】（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合f′（1）＝0求得a＝1，代入導(dǎo)函數(shù)，得到f′（x），再由y＝x2+lnx﹣1在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且x＝1時y＝0，可得當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；（2）由f（x）≤0，得axa≤0，可得a，令g（x），利用二次求導(dǎo)可得其最小值，則a的范圍可求．【詳解】（1）因為是的極值點，所以，可得．所以，.因為在上單調(diào)遞增，且時，，所以時，，，單調(diào)遞減；時，，，單調(diào)遞增．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由得，因為，所以.設(shè)，則.令，則，顯然在內(nèi)單調(diào)遞減，且，所以時，，單調(diào)遞減，則，即，所以在內(nèi)單減，從而.所以.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．19.已知函數(shù)f(x)=x3－x2,x∈R（1）若正數(shù)m,n滿足m·n>1，證明：f(m),f(n)至少有一個不小于零；（2）若a,b為不相等的正實數(shù)且滿足f(a)=f(b)，求證a+b<.參考答案：（1）證明：假設(shè)f(m)<0,f(n)<0

即m3－m2<0,n3－n2<0∵m>0,n>0

∴m－1<0

n－1<0∴0<m<1,0<n<1

∴mn<1這與m,n>1矛盾∴假設(shè)不成立，即f(m),f(n)至少有一個不小于零。（2）證明：由f(a)=f(b)得a3－a2=b3－b2

∴a3－b3=a2－b2∴(a－b)(a2+ab+b2)=(a－b)(a+b)∵a≠b

∴a2+ab+b2=a+b

∴(a+b)2－(a+b)=ab<∴

解得a+b<20.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為y=x﹣b，求a，b的值；（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+x2有兩個極值點，且h（x）=ax﹣ex在（1，+∞）有最大值，求a的取值范圍；（3）討論方程f（x）=0解的個數(shù)，并證明你的結(jié)論．參考答案：考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．專題：分類討論；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（2）=1，f（2）=2﹣b，解方程可得a，b；（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得x2﹣ax+1=0有兩個正根，則△=a2﹣4＞0，且a＞0，解得a＞2，求得h（x）的導(dǎo)數(shù)，對a討論，若2＜a≤e，若a＞e，判斷h（x）的單調(diào)性，即可得到a的范圍；（3）方程f（x）=0即為a=，令m（x）=（x＞0），求得導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和最值，作出圖象，通過圖象對a討論，即可得到解的個數(shù)．解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx﹣ax的導(dǎo)數(shù)f′（x）=﹣a，由函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為y=x﹣b，可得f′（2）=1，f（2）=2﹣b，即為﹣a=1，ln2﹣2a=2﹣b，解得a=﹣，b=1﹣ln2；（2）g（x）=lnx﹣ax+x2的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=﹣a+x=g（x）有兩個極值點，即有x2﹣ax+1=0有兩個正根，則△=a2﹣4＞0，且a＞0，解得a＞2，h（x）=ax﹣ex的導(dǎo)數(shù)為h′（x）=a﹣ex，若2＜a≤e，h′（x）＜0，h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，無最大值；若a＞e，則當(dāng)1＜x＜lna，h′（x）＞0，h（x）遞增，當(dāng)x＞lna時，h′（x）＜0，h（x）遞減．即有x=lna處取得最大值h（lna），則有a＞e成立；（3）方程f（x）=0即為a=，由m（x）=（x＞0）的導(dǎo)數(shù)為m′（x）=，當(dāng)x∈（0，e）時，m′（x）＞0，m（x）遞增，當(dāng)x∈（e，+∞）時，m′（x）＜0，m（x）遞減．即有m（x）的最大值為m（e）=，y=m（x）的圖象如右．則當(dāng)a＞時，y=a和y=m（x）無交點，即方程解的個數(shù)為0；當(dāng)0＜a＜，y=a和y=m（x）有兩個交點，即方程解的個數(shù)為2；當(dāng)a≤0時，y=a和y=m（x）有一個交點，即方程解的個數(shù)為1．點評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運用，運用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．21.已知函數(shù)f（x）=（sin2x﹣cos2x+）﹣sin2（x﹣），x∈R．（1）求函數(shù)f（x）的彈道遞增區(qū)間；（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f（B）=1，b=2，求△ABC的面積的最大值．參考答案：【考點】余弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【專題】解三角形．【分析】（1）f（x）解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性確定出f（x）的遞增區(qū)間即可；（2）f（B）=1，求出B的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，把b，cosB的值代入，并利用基本不等式求出ac的最大值，即可確定出三角形面積的最大值．【解答】解：（1）f（x）=（﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，得到kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）由f（B）=1，得到sin（2B﹣）=1，∴2B﹣=，即B=，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即4=a2+c2﹣ac≥2ac﹣