4.4對數(shù)函數(shù)4.4.1對數(shù)函數(shù)的概念1.理解對數(shù)函數(shù)的概念.2.會求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題.3.了解對數(shù)函數(shù)在生產(chǎn)實際中的簡單應(yīng)用.學(xué)習(xí)目標(biāo)1自主學(xué)習(xí)近日黨的十九屆五中全會召開，審議通過了關(guān)于“十四五”規(guī)劃目標(biāo)和2035年遠(yuǎn)景目標(biāo)的建議。建議中未設(shè)定GDP翻番之類的定量目標(biāo)，而是采取了以定性表述為主、蘊(yùn)含定量的方式。這為推動我國經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展提供了更大空間。已知某地2000-2019年20年內(nèi)經(jīng)濟(jì)總量的年均增長率為8%，在學(xué)習(xí)了十九屆五中全會精神后，該地結(jié)合實際情況組織專家綜合研判，預(yù)測未來30年內(nèi)，該地經(jīng)濟(jì)總量的年均增長率不低于5%，若按最低增速算，設(shè)經(jīng)過x年后該地經(jīng)濟(jì)總量為現(xiàn)在的y倍，你能寫出x與y的函數(shù)解析式嗎？若已知經(jīng)濟(jì)總量的倍數(shù)y，我們能否求出相應(yīng)時間x呢？探究1很多同學(xué)給出的答案是這里，y是x的指數(shù)函數(shù)，它刻畫了經(jīng)濟(jì)總量的倍數(shù)y隨時間x年呈指數(shù)增長的規(guī)律，我們能否用不同的角度去刻畫這一規(guī)律呢？比如我們能否求出經(jīng)濟(jì)總量翻一番所需要的時間x呢？即已知能否求x的值？（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.30103，lg1.05=0.021189）

若已知任意的經(jīng)濟(jì)總量倍數(shù)y，能否求得相應(yīng)的時間x？能否確定這個x是唯一的？故x是y的函數(shù)可知x是y的函數(shù)。

根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系

一般的指數(shù)函數(shù)也能表示成x是y的函數(shù)嗎？并結(jié)合指數(shù)單調(diào)性知，上式中x與y是一一對應(yīng)的，故由

我們一般用x表示自變量，y表示函數(shù)值。將中的x與y對調(diào)，寫成

的形式，我們稱為對數(shù)函數(shù)。

1.對數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)

叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是

.y＝logax(a>0，且a≠1)(0，＋∞)1.由y＝logax，得x＝ay，所以x>0.(

)2.y＝log2x2是對數(shù)函數(shù).(

)3.若對數(shù)函數(shù)y＝logax，則a>0且a≠1.(

)4.函數(shù)y＝loga(x－1)的定義域為(0，＋∞).(

)×√×√小試牛刀2經(jīng)典例題題型一對數(shù)函數(shù)的概念及應(yīng)用例1

(1)指出下列函數(shù)哪些是對數(shù)函數(shù)？①y＝3log2x；②y＝log6x；③y＝logx5；④y＝log2x＋1.解①log2x的系數(shù)是3，不是1，不是對數(shù)函數(shù).②符合對數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，是對數(shù)函數(shù).③自變量在底數(shù)位置上，不是對數(shù)函數(shù).④對數(shù)式log2x后又加上1，不是對數(shù)函數(shù).解析設(shè)對數(shù)函數(shù)f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，∵f(x)的圖象過點(diǎn)P(8,3)，∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.∴f(x)＝log2x，－5總結(jié)：判斷一個函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的方法跟蹤訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)＝(a2＋a－5)logax是對數(shù)函數(shù)，則a＝________.2解析由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.又a>0且a≠1，所以a＝2.題型二與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域例2求下列函數(shù)的定義域：(1)(2)∴函數(shù)的定義域是∴函數(shù)的定義域是總結(jié)：求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時應(yīng)遵循的原則(1)分母不能為0.(2)根指數(shù)為偶數(shù)時，被開方數(shù)非負(fù).(3)對數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1.跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；∴函數(shù)的定義域是(－3,3).∴1<x<2.(3)y＝log(1－x)5.∴定義域為(－∞，0)∪(0,1).題型三對數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用例3總結(jié)：對數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的解題思路(1)依題意，找出或建立數(shù)學(xué)模型.(2)依實際情況確定解析式中的參數(shù).(3)依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學(xué)問題.(4)得出結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練3某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案：當(dāng)銷售利潤不超過10萬元時，按銷售利潤的15%進(jìn)行獎勵；當(dāng)銷售利潤超過10萬元時，若超出A萬元，則超出部分按2log5(A＋1)進(jìn)行獎勵.記獎金為y(單位：萬元)，銷售利潤為x(單位：萬元).(1)寫出獎金y關(guān)于銷售利潤x的解析式；(2)如果業(yè)務(wù)員老江獲得5.5萬元的獎金，那么他的銷售利潤是多少萬元？解由題意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，即log5(x－9)＝2，∴x－9＝52，解得x＝34.∴老江的銷售利潤是34萬元.3當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1.下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是A.y＝log2x

B.y＝ln(x＋1)

C.y＝logxe D.y＝logxx√2.函數(shù)f(x)＝log2(x－1)的定義域是A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)

C.(－∞，1) D.(－∞，1]√3.對數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)M(125,3)，則此對數(shù)函數(shù)的解析式為A.y＝log5x

B.y＝

C.y＝

D.y＝log3x√解析設(shè)函數(shù)解析式為y＝logax(a>0，且a≠1).由于對數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)M(125,3)，所以3＝loga125，得a＝5.所以對數(shù)函數(shù)的解析式為y＝log5x.－1解析設(shè)f(x)＝logax(a>0且a≠1)，log