廣東省佛山市石門實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某校周四下午第五、六兩節(jié)是選修課時(shí)間,現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四位教師可開課。已知甲、乙教師各自最多可以開設(shè)兩節(jié)課,丙、丁教師各自最多可以開設(shè)一節(jié)課.現(xiàn)要求第五、六兩節(jié)課中每節(jié)課恰有兩位教師開課(不必考慮教師所開課的班級和內(nèi)容),則不同的開課方案共有（）種。A、20

B、19 C、16 D、15參考答案：B略2.設(shè)P是三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，,則

（

）A、

B、C、

D、參考答案：B3.若曲線處的切線分別為的值為

A．—2

B．2

C．

D．—參考答案：A略4.點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為A．2

B.3

C.4

D.5參考答案：B拋物線的準(zhǔn)線為，根據(jù)拋物線的對應(yīng)可知，到該拋物線焦點(diǎn)的距離等于到該準(zhǔn)線的距離，即，所以，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，選B.5.已知函數(shù)f（x）=，則f（3）的值等于（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式直接代入即可．【解答】解：由分段函數(shù)可知，f（3）=f（2）﹣f（1），而f（2）=f（1）﹣f（0），∴f（3）=f（2）﹣f（1）=f（1）﹣f（0）﹣f（1）=﹣f（0）=﹣1，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查分段函數(shù)的求值問題，利用分段函數(shù)的遞推關(guān)系直接遞推即可，考查學(xué)生的計(jì)算能力．6.參考答案：C7.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)在第一象限，并且在拋物線上，且到拋物線焦點(diǎn)的距離為，則直線的斜率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略8.對任意實(shí)數(shù)定義運(yùn)算如下，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A.

B.

C.

D.參考答案：B9.設(shè)m、n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：

①若，，則

②若，，，則

③若，，則

④若，，則

其中正確命題的序號是(

)

（A）①和②

（B）②和③

（C）③和④

（D）①和④參考答案：A略10.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則數(shù)列的通項(xiàng)為

（

）

A．2n-3

B．2n-1

C．2n+1

D．2n+3參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.定義2×2矩陣，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)(1,－1)處的切線方程是_______________.

參考答案：12.已知，，，則的最小值為

.參考答案：2

略13.若實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為

。參考答案：6實(shí)際上就是求的最大值。

解法一：（求端點(diǎn)坐標(biāo)）目標(biāo)函數(shù)的最大值一般在平面區(qū)域的端點(diǎn)處取得。令，得A（2，3），；令，得B（2，－1），；令，得B（－2，3），。因此的最大值為6。

解法二：（畫平面區(qū)域）利用畫、移、求、答四字方針來解。實(shí)際上就是求的最大值。如圖所示，顯然過點(diǎn)A（2，3）時(shí)，。因此。14.如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是

參考答案：15.一個(gè)酒杯的軸截面是開口向上的拋物線的一段弧，它的口寬是的4，杯深20，在杯內(nèi)放一玻璃球，當(dāng)玻璃球的半徑r最大?。撸撸撸邥r(shí)，才能使玻璃球觸及杯底．參考答案：1由題可知拋物線的方程為，設(shè)小球的截面圓心為,拋物線上點(diǎn)，點(diǎn)到圓心距離平方為在時(shí)取到最小值，則小球觸及杯底,所以,得,即,故當(dāng)玻璃球的半徑最大取時(shí)，才能使玻璃球觸及杯底.16.設(shè)為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值是

.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式．E6【答案解析】．

解析：∵log3x+log3y=2，∴l(xiāng)og3xy=2，∴xy=9，∴則≥2=．則的最小值是，故答案為：．【思路點(diǎn)撥】利用基本不等式得≥2，由條件可得xy為定值，從而即可求得的最小值．17.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到圓ρ=2cosθ的圓心的距離是

．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；兩點(diǎn)間的距離公式．【專題】計(jì)算題．【分析】先將極坐標(biāo)方程化為一般方程，然后再計(jì)算點(diǎn)到圓ρ=2cosθ的圓心的距離．【解答】解：∵在極坐標(biāo)系中，ρ=2cosθ，∴x=pcosθ，y=psinθ，消去p和θ得，∴（x﹣1）2+y2=1，∴圓心的直角坐標(biāo)是（1，0），半徑長為1．∴點(diǎn)在一般方程坐標(biāo)為（1，），∴點(diǎn)到圓ρ=2cosθ的圓心的距離是d==，故答案為．【點(diǎn)評】此題考查極坐標(biāo)方程與普通方程的區(qū)別和聯(lián)系，兩者要會(huì)互相轉(zhuǎn)化，根據(jù)實(shí)際情況選擇不同的方程進(jìn)行求解，這也是每年高考必考的熱點(diǎn)問題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x4﹣4x3+ax2﹣1在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減．（1）求a的值；（2）記g（x）=bx2﹣1，若方程f（x）=g（x）的解集恰有3個(gè)元素，求b的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專題】綜合題；壓軸題；方程思想．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)f（x）=x4﹣4x3+ax2﹣1在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，知道x=1是f（x）的極值點(diǎn)，求導(dǎo)，令f′（1）=0，可得a的值；（2）把f（x）和g（x）代入方程f（x）=g（x），因式分解，轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題，求得b的取值范圍．【解答】解：（1）f′（x）=4x3﹣12x2+2ax，因?yàn)閒（x）在[0，1]上遞增，在[1，2]上遞減，所以x=1是f（x）的極值點(diǎn)，所以f′（1）=0，即4×13﹣12×12+2a×1=0．解得a=4，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，所以a=4．（2）由f（x）=g（x）可得x2（x2﹣4x+4﹣b）=0，由題意知此方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)x=0為方程的一實(shí)數(shù)根，則方程x2﹣4x+4﹣b=0應(yīng)有兩個(gè)不相等的非零實(shí)根，所以△＞0，且4﹣b≠0，即（﹣4）2﹣4（4﹣b）＞0且b≠4，解得b＞0且b≠4，所以所求b的取值范圍是（0，4）∪（4，+∞）．【點(diǎn)評】考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，以及一元二次方程根的存在性的判定，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬中檔題．19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝BD＝2，AB＝2，E是棱PC上的一點(diǎn)．（1）若PA∥平面BDE，證明：PE＝EC；（2）在（1）的條件下，棱PB上是否存在點(diǎn)M，使直線DM與平面BDE所成角的大小為30°？若存在，求PM：MB的值；若不存在，請說明理由．參考答案：（1）見解析；（2）在棱上存在點(diǎn)使直線與平面所成角的大小為，此時(shí).【分析】（1）連接交于，連接由平面的性質(zhì)定理得是的中點(diǎn)，即可得出；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由直線與平面所成角的向量法，得出的值.【詳解】（1）連接交于，連接，則是平面與平面的交線.因?yàn)槠矫?，平面，所?又因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn).所以.（2）由已知條件可知，所以，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，，.假設(shè)在棱上存在點(diǎn)，設(shè)，得，.記平面的法向量為，則即取，則，所以.要使直線與平面所成角的大小為，則，即，解得.所以在棱上存在點(diǎn)使直線與平面所成角的大小為.此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查了線與面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用，也考查了向量法解決線與面所成角的問題，屬于中檔題.20.（本小題滿分13分）設(shè)橢圓的離心率，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（I）求橢圓C的方程；（II）過點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求弦AB長度的最小值..參考答案：

21.（本題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點(diǎn)。（1）若，求證：平面平面；（2）點(diǎn)在線段上，，試確定的值，使平面；【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直的判定

直線與平面平行的性質(zhì)及直線與直線平行的性質(zhì)G4G5參考答案：（1）證明詳見解析;（2）.解析：(1)連四邊形菱形,

，正三角形,

為中點(diǎn),

的中點(diǎn),

又平面平面∴平面平面

(2)當(dāng)時(shí),平面

下面證明,若平面,連交于

由可得,,

平面,平面,平面平面,