河北省邯鄲市成安縣第三中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若集合，，則=

A．

B．

C．

D．參考答案：B略2.i為虛數(shù)單位，則=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．1參考答案：A【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后代入計算得答案．【解答】解：，則=i2007=（i4）501?i3=﹣i．故選：A．3.設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項和，且，，則下列結(jié)論錯誤的是(

)

A．

B．

C．

D．和均為的最大值參考答案：C4.已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，且雙曲線的實軸長是虛軸長的一半，則該雙曲線的方程為

（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A5.定義運算：，將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是

A．

B．1

C．

D．2參考答案：B略6.已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，，橢圓的一個短軸端點為，直線與雙曲線的一條漸近線平行，橢圓與雙曲線的離心率分別為，則取值范圍為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略7.已知函數(shù)（k∈R），若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（A）k≤2

（B）－1＜k＜0

（C）－2≤k＜－1

（D）k≤－2參考答案：D略8.執(zhí)行圖中的程序框圖（其中表示不超過的最大整數(shù)），則輸出的值為．

．

．

．參考答案：．每次循環(huán)的結(jié)果分別為：，；，；，；，；，；，，這時，輸出．故選．【解題探究】本題考查程序框圖的運算和對不超過的最大整數(shù)的理解．要得到該程序運行后輸出的的值，主要依據(jù)程序逐級運算，并通過判斷條件調(diào)整運算的續(xù)與結(jié)束，注意執(zhí)行程序運算時的順序．9.若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，則復(fù)數(shù)x+yi的模是(

)A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：D【考點】復(fù)數(shù)求模；復(fù)數(shù)相等的充要條件．【專題】數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則把i（x+yi）可化為3+4i，利用復(fù)數(shù)相等即可得出x=4，y=﹣3．再利用模的計算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5．【解答】解：∵i（x+yi）=xi﹣y=3+4i，x，y∈R，∴x=4，﹣y=3，即x=4，y=﹣3．∴|x+yi|=|4﹣3i|==5．故選D．【點評】熟練掌握復(fù)數(shù)的運算法則和模的計算公式是解題的關(guān)鍵．10.等比數(shù)列的前項和為，若，則公比（

）A．－1

B．1

C．－2

D．2參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對函數(shù)，現(xiàn)有下列命題：①函數(shù)是偶函數(shù)；②函數(shù)的最小正周期是；③點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心；④函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減。其中是真命題的是

參考答案：①④解：對于①，由于f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），故函數(shù)f（x）是偶函數(shù)①正確；對于②，由于f（x+2π）=（x+2π）sinx≠f（x），故函數(shù)f（x）的最小正周期是2π，②不正確；對于③，由于f（）+f（）=-=-π≠0故點（π，0）不是函數(shù)f（x）的圖象的一個對稱中心，故③不正確；對于④，由于f'（x）=sinx+xcosx，在區(qū)間[0，]上f'（x）＞0，在區(qū)間[-，0]上f'（x）＜0，由此知函數(shù)f（x）在區(qū)間[0,]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-，0]上單調(diào)遞減，故④正確．故答案為：①④12.函數(shù)的最小正周期是

．參考答案：13.（5分）（2015?慶陽模擬）已知長方體ABCD﹣A1B1C1D1內(nèi)接于球O，底面ABCD是邊長為2的正方形，E為AA1的中點，OA⊥平面BDE，則球O的表面積為．參考答案：16π【考點】：球的體積和表面積．【專題】：空間位置關(guān)系與距離．【分析】：根據(jù)已知結(jié)合長方體錐的幾何特征和球的幾何特征，求出球的半徑，代入可得球的表面積．解：∵長方體ABCD﹣A1B1C1D1內(nèi)接于球O，底面ABCD是邊長為2的正方形，設(shè)AA1=2a，E為AA1的中點，以A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AD，AA1為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），C1（2，2，2a），O（1，1，a），則=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，a），=（1，1，a），若OA⊥平面BDE，則，即，即a2﹣2=0，解得a=，∴球O的半徑R滿足：2R==4，故球O的表面積S=4πR2=16π，故答案為：16π．【點評】：本題考查的知識點是球的表面積，其中根據(jù)已知求出半徑是解答的關(guān)鍵．14.設(shè)各項均為正整數(shù)的無窮等差數(shù)列{an}，滿足a54=2014，且存在正整數(shù)k，使a1，a54，ak成等比數(shù)列，則公差d的所有可能取值之和為．參考答案：92【考點】等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由a54=2014，可得a1+53d=2014，即+d=38，d＞0，且為正整數(shù)，可得a1是53的倍數(shù)，a1，a54，ak成等比數(shù)列，則a542=a1ak=2×2×19×19×53×53，分類討論，可得結(jié)論．【解答】解：∵a54=2014，∴a1+53d=2014，∴+d=38，d＞0，且為正整數(shù)，∴a1是53的倍數(shù)，∵a1，a54，ak成等比數(shù)列，∴a542=a1ak=2×2×19×19×53×53（1）若a1=53，53+53d=2014，d=37，（2）若a1=2×53，106+53d=2014，d=36，（3）若a1=4×53，212+53d=2014，d=34，ak=19×19×53=4×53+34（k﹣1），k不是整數(shù)，舍去（4）a1=1007，1007+53d=2014，53d=1007，d=19∴公差d的所有可能取值之和為37+36+19=92．故答案為：92．【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，確定a1是53的倍數(shù)是關(guān)鍵．15.若變量x，y滿足約束條件則的最大值為____________.參考答案：916.已知復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位），則z的共軛復(fù)數(shù)為_______．參考答案：【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得，再由共軛復(fù)數(shù)的定義得答案．【詳解】∴．故答案為：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查共軛復(fù)數(shù)的基本概念，屬于基礎(chǔ)題．17.在R上定義運算△：x△y=x(1-y)若不等式(x-a)△(x+a)<1,對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面，，，，，，.（I）求異面直線AP與BC所成角的余弦值；（II）求證：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.參考答案：（Ⅰ）.（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）由已知AD//BC，故或其補角即為異面直線AP與BC所成的角，然后在Rt△PDA中求解即可；（Ⅱ）因為AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD，PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC；（Ⅲ）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角，且為直線DF和平面PBC所成的角，然后在Rt△DPF中求解即可.【詳解】解：（Ⅰ）如圖，由已知AD//BC，故或其補角即為異面直線AP與BC所成的角.因為AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為.（Ⅱ）證明：因為AD⊥平面PDC，直線PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因為BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（Ⅲ）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.因為PD⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以為直線DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得,在Rt△DPF中，可得.所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.考點：兩條異面直線所成的角、直線與平面垂直、直線與平面所成的角【點睛】本小題主要考查兩條異面直線所成的角、直線與平面垂直的證明、直線與平面所成的角，要求一定的空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.求兩條異面直線所成的角，首先要借助平行線找出異面直線所成的角，證明線面垂直只需尋求線線垂直，求線面角首先利用轉(zhuǎn)化思想尋求直線與平面所成的角，然后再計算即可.19.（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效）

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn+an=1，數(shù)列{bn}滿足bn+log2an=0．

（1）求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）求數(shù)列的前n項和Tn。參考答案：略20.(本小題滿分12分)英語老師要求學(xué)生從星期一到星期四每天學(xué)習(xí)3個英語單詞；每周五對一周內(nèi)所學(xué)單詞隨機抽取若干個進行檢測（一周所學(xué)的單詞每個被抽到的可能性相同）（Ⅰ）英語老師隨機抽了4個單詞進行檢測，求至少有3個是后兩天學(xué)習(xí)過的單詞的概率；（Ⅱ）某學(xué)生對后兩天所學(xué)過的單詞每個能默寫對的概率為，對前兩天所學(xué)過的單詞每個能默寫對的概率為．若老師從后三天所學(xué)單詞中各抽取一個進行檢測，求該學(xué)生能默寫對的單詞的個數(shù)ξ的分布列和期望．參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)英語老師抽到的4個單詞中，至少含有3個后兩天學(xué)過的事件為A，則由題意可得

…………………5分

（Ⅱ）由題意可得ξ可取0，1，2，3，則有P(ξ=0)

………6分P(ξ=1)，P(ξ=2)，………9分P(ξ=3)

………10分

所以ξ的分布列為:

……………11分

故Eξ=0×+1×+2×+3×=………12分21.已知過點的直線與橢圓交于不同的兩點，其中，O為坐標(biāo)原點.（1）若，求的面積；（2）在x軸上是否存在定點T，使得直線TA與TB的斜率互為相反數(shù).參考答案：（1）（2）在軸上存在定點，使得直線TA與TB的斜率互為相反數(shù).【分析】（1）由題意不妨設(shè)點A(0,1),寫出直線AB方程，與橢圓方程聯(lián)立，得點B坐標(biāo)，根據(jù)面積公式即可得結(jié)果；（2）設(shè)過點D的直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，用韋達定理，即可得到定點T的坐標(biāo).詳解】(1)當(dāng)時，或，由對稱性，不妨令，此時直線：，聯(lián)立，消去整理得，解得，，故.所以的面積為.（2）顯然直線斜率不為0，設(shè)直線：，聯(lián)立，消去整理得所以，即，，，設(shè)，則因為直線與的斜率互為相反數(shù)，所以，即，故，故在軸上存在定點，使得直線與的斜率互為相反數(shù).【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系以及曲線過定點問題，解決曲線過定點問題一般有兩種方法：①探索曲線過定點時，可設(shè)出曲線方程，然后利用條件建立等量關(guān)系進行消元，借助于曲線系的思想找出定點，或者利用方程恒成立列方程組求出定點坐標(biāo).②從特殊情況入手，先探求定點，再證明與變量無關(guān).22.已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式：f（x+1）+f（x+2）＜4；（2）已知a＞2，求證：?x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成立．參考答案：【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用；絕對值不等式的解法．【分析】（1）f（x+1）+f（x+2）＜4，即|x﹣1|+|x|＜4，利用零點分段法求出各段上的解，綜合可得答案；（2）由a＞2，結(jié)合絕對值的性質(zhì)，可得?x∈R，f（ax）+af（x）＞2恒成