《平面向量的數(shù)量積》同步練習1．設(shè)向量a＝(1,0)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，則下列結(jié)論中正確的是()A．|a|＝|b| B．a(chǎn)·b＝eq\f(\r(2),2)C．a(chǎn)∥b D．a(chǎn)－b與b垂直解析：|a|＝1，|b|＝eq\f(\r(2),2)，故A不正確；又a·b＝eq\f(1,2)，所以B不正確；顯然C不正確；a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，又eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝0，所以(a－b)⊥b.故選D.答案：D2．a(chǎn)＝(－4,3)，b＝(5,6)，則3|a|2－4a·b等于()A．23 B．57C．63 D．83解析：3|a|2－4a·b＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.答案：D3．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，則△ABC是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．任意三角形解析：cosA＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1，1·－3，3,\r(2)·3\r(2))＝0，則A＝eq\f(π,2)，故選B.答案：B4．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，則|b|＝()\r(5) \r(10)C．5 D．25解析：|a＋b|＝5eq\r(2)?a2＋2a·b＋b2＝50，條件代入得|b|＝5.選C.答案：C5．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b方向上的投影為________．解析：|a|＝eq\r(13)，|b|＝eq\r(65)，a·b＝13，設(shè)a與b的夾角為θ，由cosθ＝eq\f(13,\r(13)×\r(65))＝eq\f(\r(5),5)，∴a在b方向的投影為|a|cosθ＝eq\r(13)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(\r(65),5).答案：eq\f(\r(65),5)6．在△ABC中，∠C＝90°，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(k,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,3)，則k的值為______．解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．∵∠C＝90°，即eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴2(2－k)＋3×2＝0，k＝5.答案：57．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,2)，則eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角的大小為________．解析：eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2)－(4,0)＝(－2,2)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2×(－2)＋2×2＝0.所以eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).即eq\o(AC,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角為90°.答案：90°8．已知a＝(1,2)，b＝(1，－1)．(1)若θ為2a＋b與a－b的夾角，求θ的值．(2)若2a＋b與ka－b垂直，求k的值．解：(1)因為a＝(1,2)，b＝(1，－1)，所以2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)．所以cosθ＝eq\f(2a＋b·a－b,|2a＋b||a－b|)＝eq\f(9,3\r(18))＝eq\f(\r(2),2).因為θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,4).(2)ka－b＝(k－1,2k＋1)，依題意(3,3)·(k－1,2k＋1)＝0，所以3k－3＋6k＋3＝0.所以k＝0.9．已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，則|a＋b|的取值范圍是()A．[0，eq\r(2)] B．[0，eq\r(2)]C．[1,2] D．[eq\r(2)，2]解析：|a＋b|＝eq\r(1＋cosθ2＋sinθ2)＝eq\r(2＋2cosθ).∵θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴cosθ∈[0,1]．∴|a＋b|∈[eq\r(2)，2]．答案：D10．已知a＝(2,1)與b＝(1,2)，要使|a＋tb|最小，則實數(shù)t的值為________．解析：a＋tb＝(2＋t,1＋2t)，∴|a＋tb|＝eq\r(t＋22＋2t＋12)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(4,5)))2＋\f(9,5)).∴當t＝eq\f(4,5)時，|a＋tb|有最小值eq\f(3\r(5),5).答案：eq\f(4,5)11．已知點A(1,2)和B(4，－1)，問能否在y軸上找到一點C，使∠ACB＝90°？若不能，請說明理由；若能，求出C點的坐標．解：假設(shè)存在點C(0，y)，使∠ACB＝90°，則eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→)).∵eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，y－2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－4，y＋1)，eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝4＋(y－2)(y＋1)＝0.∴y2－y＋2＝0.而在方程y2－y＋2＝0中，Δ＜0，∴方程無實數(shù)解．故不存在滿足條件的點C.12．平面內(nèi)有向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,7)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(5,1)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2,1)，點Q為直線OP上的一個動點．(1)當eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取最小值時，求eq\o(OQ,\s\up6(→))的坐標；(2)當點Q滿足(1)的條件和結(jié)論時，求cos∠AQB的值．解：(1)設(shè)eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(x，y)．∵點Q在直線eq\o(OP,\s\up6(→))上，∴向量eq\o(OQ,\s\up6(→))與eq\o(OP,\s\up6(→))共線．又eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2,1)，∴x＝2y.∴eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(2y，y)．又eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(1－2y,7－y)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(5－2y,1－y)，∴eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8.故當y＝2時，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))有最小值－8，此時eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(4,2)．(2)由(1)知eq\o(QA,\s\up6(→))＝(－3,5)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1，－1)，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝－8，|eq\o(QA,\s\up6(→))|＝eq\r(34)，|eq\o(QB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴cos∠AQB＝eq\f(\o(QA,\s\up20(→))·\o(QB,\s\up6(→)),|\o(QA,\s\up6(→))||\o(QB,\s\up6(→))|)＝－eq\f(4\r(17),17).1．平面向量數(shù)量積的定義及其坐標表示，提供了數(shù)量積運算的兩種不同的途徑．準確地把握這兩種途徑，根據(jù)不同的條件選擇不同的途徑，可以優(yōu)化解題過程．同時，平面向量數(shù)量積的