2023年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題及詳解第一試一、選擇題：〔此題總分值42分，每題7分〕1.假設(shè)均為整數(shù)且滿足，那么〔B〕A．1.B．2.C．3.D．4.解：由可推得或，分別代入即得。2．假設(shè)實數(shù)滿足等式，，那么可能取的最大值為〔C〕A．0.B．1.C．2.D．3.解：由，，∴.3．假設(shè)是兩個正數(shù)，且那么〔C〕A．.B．.C．.D．.解：當時，可計算得，從而。觀察4個選項，只能選C.4．假設(shè)方程的兩根也是方程的根，那么的值為〔A〕A．－13.B．－9.C．6.D．0.解：由：一定能被整除?！摺啵?．在△中，，D，E分別是邊AB，AC上的點，且，，,那么(B)A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.解：如圖，由，ADE是正三角形。作BF∥DE交AC于F，那么BD＝EF，從而EC＝DE+BD＝AB＝BF，DE＝FC，又∠1＝∠2＝120○，故ΔEDC≌ΔFCB.故.∵∠CDB＝2，∠BDE＝120○，∴，故由，得：.6．對于自然數(shù)，將其各位數(shù)字之和記為，如，，那么〔D〕A．28062.B．28065.C．28067.D．28068.解：將0，1，2，…，999這1000個自然數(shù)分為500個數(shù)組：〔0，999〕、〔1，998〕、〔2，997〕、…、〔499，500〕.注意到：這500個數(shù)組中，每個數(shù)組的兩個自然數(shù)各位數(shù)字之和均為9＋9＋9＝27，故0，1，2，…，999這1000個自然數(shù)各位數(shù)字之和等于.于是，1000，1001，1002，…，1999這1000個自然數(shù)各位數(shù)字之和等于13500＋1000＝14500.從而.顯然：，故：.二、填空題：〔此題總分值28分，每題7分〕1．實數(shù)滿足方程組那么13。解：2．二次函數(shù)的圖象與軸正方向交于A，B兩點，與軸正方向交于點C．，，那么．解：如圖，由可推得：，設(shè)，那么，由.3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC內(nèi)一點，且PA＝，PC＝5，那么PB＝．解：見上圖。4．將假設(shè)干個紅、黑兩種顏色的球擺成一行，要求兩種顏色的球都要出現(xiàn)，且任意中間夾有5個或10個球的兩個球必為同一種顏色的球.按這種要求擺放，最多可以擺放15個球.解：先畫一個“初始圖〞：○ABCDE○ABCDE○按照題目要求，逐一確定各個字母的顏色，得到：○○○○D○○○○○D○顯然，D應(yīng)為黑色。即：○○○○●○○○○○●○再按要求嘗試增加小球，確定最后結(jié)果如下：○○○○●○○○○○●○○○○第二試〔A〕一．〔此題總分值20分〕設(shè)整數(shù)〔〕為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù).解由等式可得①令，那么，其中均為自然數(shù).于是，等式①變?yōu)?，即②由于均為自然?shù)，判斷易知，使得等式②成立的只有兩組：和〔1〕當時，，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對應(yīng)可得到5個符合條件的三角形.〔2〕當時，，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，對應(yīng)可得到6個符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)為5＋6＝11.二．〔此題總分值25分〕等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分線與AB邊交于點P，M為△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC邊的切點，作MD//AC，交⊙I于點D.證明：PD是⊙I的切線.證明過點P作⊙I的切線PQ〔切點為Q〕并延長，交BC于點N.因為CP為∠ACB的平分線，所以∠ACP＝∠BCP.又因為PA、PQ均為⊙I的切線，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.又因為MD//AC，所以MD和MQ為同一條直線.又點Q、D均在⊙I上，所以點Q和點D重合，故PD是⊙I的切線.三．〔此題總分值25分〕二次函數(shù)QUOTEy=x2+bx-c的圖象的圖象經(jīng)過兩點P，Q.〔1〕如果都是整數(shù)，且，求的值.〔2〕設(shè)二次函數(shù)QUOTEy=x2+bx-c的圖象的圖象與軸的交點為A、B，與軸的交點為C.QUOTEfx如果關(guān)于的方程的兩個根都是整數(shù)，求△ABC的面積.解點P、Q在二次函數(shù)QUOTEy=x2+bx-c的圖象的圖象上，故，，解得，.〔1〕由知解得.又為整數(shù)，所以，，.(2)設(shè)QUOTEx1,x2是方程的兩個整數(shù)根，且.由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，消去，得，兩邊同時乘以9，得，分解因式，得.所以或或或解得或或或又是整數(shù)，所以后面三組解舍去，故.因此，，，二次函數(shù)的解析式為.易求得點A、B的坐標為〔1,0〕和〔2,0〕，點C的坐標為〔0,2〕，所以△ABC的面積為.第二試〔B〕一．〔此題總分值20分〕設(shè)整數(shù)為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)〔全等的三角形只計算1次〕.解不妨設(shè)，由等式可得①令，那么，其中均為自然數(shù).于是，等式①變?yōu)?，即②由于均為自然?shù)，判斷易知，使得等式②成立的只有兩組：和〔1〕當時，，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對應(yīng)可得到5個符合條件的三角形.〔2〕當時，，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，對應(yīng)可得到6個符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個數(shù)為5＋6＝11.二．〔此題總分值25分〕題目和解答與〔A〕卷第二題相同.三．〔此題總分值25分〕題目和解答與〔A〕卷第三題相同.第二試〔C〕一．〔此題總分值20分〕題目和解答與〔B〕卷第一題相同.二．〔此題總分值25分〕題目和解答與〔A〕卷第二題相同.三．〔此題總分值25分〕設(shè)是大于2的質(zhì)數(shù)，k為正整數(shù)．假設(shè)函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標至少有一個為整數(shù)，求k的值．解由題意知，方程的兩根中至少有一個為整數(shù)．由根與系數(shù)的關(guān)系可得，從而有①〔1〕假設(shè)，那么方程為，它有兩個整數(shù)根和．〔2〕