祖暅原理與幾何體的體積教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標1．了解祖暅原理．2．掌握柱體、錐體的體積公式，會利用它們求有關(guān)幾何體的體積．3．通過求柱體、錐體的體積，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．教學(xué)重點利用祖暅原理推導(dǎo)柱體、錐體的體積公式，并運用體積公式解決簡單的實際問題．教學(xué)難點結(jié)合祖暅原理，借助轉(zhuǎn)化與化歸的思想求棱柱、棱錐的體積．教學(xué)課時第一課時教學(xué)過程：一、課題導(dǎo)入同一摞書，當改變擺放書的形式時（如圖所示），這摞書的總體積是否會改變？由此能得到有關(guān)體積的什么結(jié)論？【設(shè)計思路】指導(dǎo)學(xué)生觀察圖所示的不同擺放方式的書所形成的幾何體，思考以下問題：它們的幾何特征有何異同？這些幾何體的體積是否相等？相關(guān)結(jié)論能否推廣到一般的情況？從而引入祖陋原理的學(xué)習(xí)．二、講授新課祖暅原理早在南北朝時期，祖沖之與他的兒子祖暅就研究了幾何體的體積，并在總結(jié)前人成果的基礎(chǔ)上提出了如下的祖暅原理．祖暅原理 冪勢既同，則積不容異．這就是說，夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果被平行于這兩個平面的任意平面所截，兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積一定相等，如圖所示．【補充祖暅原理的有關(guān)數(shù)學(xué)文化介紹：祖暅原理是一個涉及幾何體求積的著名命題．公元656年，唐代李淳風注《九章》時提到祖暅的開立圓術(shù)．祖暅在求球體積時使用一個原理：“冪勢既同，則積不容異”，“冪”是截面積，“勢”是立體的高，意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等．祖暅原理也稱祖氏原理，又名等冪等積定理，國外一般稱之為卡瓦列里原理，他的發(fā)現(xiàn)要比我國的祖暅晚1100多年．】祖暅原理充分體現(xiàn)了空間問題與平面問題相互轉(zhuǎn)化的思想．祖暅原理條件為：（1）兩個幾何體夾在兩平行平面中間，可以理解為這兩個幾何體平行面間的高度相等．（2）被平行于這兩個平面的任意平面所截，截得的兩個截面的面積總相等．教師可以進一步強調(diào)，兩個幾何體可以是任意形狀的．柱體的體積注意到柱體被平行于底面的平面所截時，得到的截面與底面全等，因此截面面積一定等于底面面積，從而由祖暅原理可知，等底面積、等高的兩個柱體，體積相等．我們小學(xué)就學(xué)過長方體的體積，我們以長方體的體積和祖暅原理為基礎(chǔ)推出柱體的體積公式．棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體．如圖所示，當錐體被平行于底面的平面所截時，得到的截面與底面相似，即△

A'B'C'∥△ABC，而且相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比，因此截面與底面的面積之比從而由祖暅原理可知，等底面積、等高的兩個錐體，體積相等．4．如圖所示的直三棱柱可以分成3個三棱錐，所得到的3個三棱錐的體積之間有什么關(guān)系？由此能得到三棱錐的體積計算公式嗎？教學(xué)中教師可以利用模具，設(shè)計實驗操作、觀察猜想、推理證明的教學(xué)過程，可以讓學(xué)生自備底等高的三棱柱和三棱錐容器，將三棱柱容器中的沙子倒入三棱錐中，觀察能夠倒幾次，進而猜兩者體積之間的關(guān)系．也可以利用實物演示將三棱柱分割成三個三棱錐的過程．從而得出三棱錐的體積計算公式．三、例題講授例1：如圖所示，在長方體ABCD

-

A'B'C'D'

中，求棱錐

D'

-

A'CD的體積與長方體的體積之比．解析：已知的長方體可以看成直四棱柱ADD'A'

-BCC'B'，設(shè)它的底面

ADD'A'面積為S，高為h，則長方體的體積為VADD'A'-BCC'B'

=Sh．因為棱錐D'-A'CD可以看成棱錐C-A'DD'，且△A'DD'的面積為，棱錐C-A'DD

的高是h，所以VD'

-A'CD=VC-A'DD'=因此所求體積之比為1:6．四、課堂總結(jié)1．祖暅原理．2．等底、等高的兩個柱體的體積相同．3．等底、等高的錐體和柱體的體積之間的關(guān)系可以通過實驗