冪級數(shù)求和的方法研究摘要：本文主要研究如何對冪級數(shù)進(jìn)行求和，主要通過運(yùn)用冪級數(shù)的定義、性質(zhì)所推導(dǎo)出的七種方法對冪級數(shù)求和，并且對這七種方法的典型例題的求解，加深了對冪級數(shù)求和方法的了解和運(yùn)用.此外本文最后簡單介紹了冪級數(shù)的四個應(yīng)用.關(guān)鍵詞：冪級數(shù);求和;應(yīng)用中圖分類號：O173.1StudyonSummationMethodsofPowerSeriesAbstract：ThispapermainlystudiesonhowtosummatePowerseriesbyapplyingsevenmethodsdeducedbythedefinitionandcharacterstosummatePowerseries.Andtypicalexamplesofthesesevenstrategiestosolvedeepenunderstandinganduseofthepowerseriessummationmethod.Besides,thispaperbrieflyintroduces4applicationsofPowerseries.Keywords：Powerseries;Summate;Application目錄TOC\o"1-3"\h\u1引言 冪級數(shù)求和的方法研究1引言級數(shù)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，其理論是在生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗推動下逐步形成和發(fā)展起來的.中國魏晉時期杰出的數(shù)學(xué)家劉徽于公元263年創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，其要旨是用圓內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，從而求得圓的面積.這種“割圓術(shù)”就已建立了級數(shù)的思想方法，即無限多個數(shù)的累加問題.而今，級數(shù)的理論已經(jīng)相當(dāng)豐富和完整，在諸多方面有著廣泛的應(yīng)用，可用來表示函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)，也是進(jìn)行數(shù)值計算的一種工具.冪級數(shù)是一類簡單的函數(shù)項級數(shù)，由于具有結(jié)果形式簡單和近似表達(dá)函數(shù)的靈活性的優(yōu)點(diǎn)，而作為一個極為有用的計算工具，數(shù)項級數(shù)求和就是一個重要的應(yīng)用.而求冪級數(shù)和函數(shù)的方法與技巧是多種多樣的，一般要綜合求導(dǎo)、拼湊、分解等來求解，因此它是一個難度較大、技巧較高的有趣的數(shù)學(xué)問題.它的基本理論依據(jù)是在一致收斂條件下，函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)連續(xù)，可導(dǎo)、可積，即求和運(yùn)算與極限運(yùn)算、求積運(yùn)算、求導(dǎo)運(yùn)算可以換序.而冪級數(shù)更具有收斂半徑易求，在上內(nèi)閉一致收斂以及在逐項求導(dǎo)或逐項積分收斂區(qū)間性質(zhì)相同，使得冪級數(shù)的無限求和運(yùn)算在收斂區(qū)間內(nèi)可以求極限、求導(dǎo)、求積運(yùn)算換序，這樣就為我們利用冪級數(shù)求數(shù)項和準(zhǔn)備了充分條件.2冪級數(shù)的定義、性質(zhì)2.1冪級數(shù)定義形如的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)，這里為實常數(shù)，稱為冪級數(shù)次項系數(shù).通項是非負(fù)次冪級數(shù)，其部分和是多項式.所以，冪級數(shù)是多項式的推廣，可看作為“無窮多項式”.2.2冪級數(shù)的性質(zhì)定理1[1]（阿貝爾第二定理）若冪級數(shù)的收斂半徑，則冪級數(shù)在內(nèi)閉一致收斂.即在任意區(qū)間上一致收斂；若冪級數(shù)在處收斂，則它在任意閉區(qū)間上一致收斂.根據(jù)阿貝爾第二定理，即得到冪級數(shù)的如下性質(zhì)：和函數(shù)的連續(xù)性：冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù).逐項可積性：冪級數(shù)在收斂域中的任意閉區(qū)間上可逐項求積分.定理2設(shè)和是冪級數(shù)收斂域內(nèi)的任意兩點(diǎn)，是冪級數(shù)的和函數(shù)，則.特別的，取，有逐項積分公式.逐項可導(dǎo)性：冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo)，且冪級數(shù)與冪級數(shù)具有相同的收斂半徑.3冪級數(shù)的求和方法冪級數(shù)是一種簡單的函數(shù)項級數(shù)，其應(yīng)用十分廣泛，因而探討冪級數(shù)和函數(shù)的求法對研究函數(shù)級數(shù)尤為重要.下面通過實例給出冪級數(shù)求和的若干方法.3.1定義法對冪級數(shù)，若前項和函數(shù)有極限，即存在則此冪級數(shù)收斂，且.例3.1求冪級數(shù)的和，其中≠，.解當(dāng)時，3.2逐項求導(dǎo)法根據(jù)冪級數(shù)的性質(zhì)3可知，通過對冪級數(shù)的逐項求導(dǎo)將其轉(zhuǎn)化為能求出和函數(shù)的冪級數(shù)，將得到的和函數(shù)做與之前相反的分析運(yùn)算，便得到所求冪級數(shù)的和函數(shù).例3.2[2]求級數(shù)的和函數(shù).解由于從而有,又,所以.例3.3[3]求冪級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解由于當(dāng)時，對應(yīng)的級數(shù)及均收斂，故冪級數(shù)的收斂域是.設(shè)則（3.1）則對式兩次求導(dǎo)，得（3.2）再對式兩端從到積分兩次,可得到：于是.又所以3.3逐項積分法根據(jù)冪級數(shù)的性質(zhì)2及定理2，即通過對冪級數(shù)的逐項積分將其轉(zhuǎn)化為能求出和函數(shù)的冪級數(shù)，再求導(dǎo)即可.例3.4求級數(shù)的和函數(shù)解.例3.5[4]求冪級數(shù)的和函數(shù).解設(shè),兩邊積分.即上式兩端求導(dǎo)得和函數(shù):.3.4代數(shù)方程法建立以所求冪級數(shù)的和為變量的代數(shù)方程，并求解.例3.6求冪級數(shù)的和函數(shù).解設(shè),則可寫為，則對于，，所以時，級數(shù)收斂，當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散，所以冪級數(shù)的收斂域為.從而，原冪級數(shù)時收斂，收斂區(qū)間為.當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散.所以，冪級數(shù)的收斂域.又運(yùn)用錯位相減法后，,所以.例3.7[5]求的和.解令則，,所以.3.5微分方程法利用冪級可以逐項求導(dǎo)的性質(zhì)，對于有的冪級數(shù)在求其和函數(shù)時可以先求出冪級數(shù)所滿足的微分方程及初始條件,再通過微分方程來求和函數(shù).例3.8求的和函數(shù).解由于，所以它的收斂半徑.故，而,解一階微分方程得所以,.例3.9求級數(shù)的和.解設(shè)則,即,解微分方程，得.3.6分項組合法 將冪級數(shù)的通項拆分成若干項，再分別計算拆得的若干項冪級數(shù)的和.例3.10[6]求的和函數(shù).解易知此級數(shù)的收斂域為，設(shè)則有，時，（3.6）≠時，（3.7）綜合、有.3.7柯西方法若冪級數(shù),收斂，則乘積也收斂,且,其中.例3.11[7]求的和.解由于以及有,,.例3.12求的和函數(shù).解令為絕對收斂級數(shù)，令，得,.4冪級數(shù)的應(yīng)用4.1計算極限[8]利用冪級數(shù)的和函數(shù)可以求一些數(shù)列的極限.對于無窮多項的和的極限，常用夾逼定理和定積分的定義，但對于形如：,這兩種方法都無法使用，這類極限常用求和的方法計算.利用冪級數(shù)和函數(shù)求此類極限也是一條有效而簡便的途徑.例4.1[9]求.解（解法一）設(shè),則,,,所以.（解法二）設(shè)..即.令,可得，,因此,.例4.2求.解（解法一）設(shè),,即所以.設(shè)則,,,,所以.（解法二）設(shè)則,所以.令,可得,,即.4.2三角函數(shù)的分析定義定義[10]設(shè)冪級數(shù)與的和函數(shù)分別是與，即與,稱是余弦函數(shù)，是正弦函數(shù).例4.3求冪級數(shù)的和函數(shù).解因為,即正弦函數(shù)的冪級數(shù)展開式與所給級數(shù)相近,因此考慮到用冪級數(shù)的性質(zhì),轉(zhuǎn)化為的冪級數(shù)展開式,再求出所給級數(shù)的和函數(shù).設(shè),則.所以.4.3解常微分方程的一個應(yīng)用[11]有些常微分方程的解不能用初等函數(shù)或積分表示，此時常常用冪級數(shù)求出它的解，注意到:如果方程中的與可在內(nèi)展為的冪級數(shù)，則在內(nèi)方程必有形如的解.由此，當(dāng)與為多項式時，方程必能用的冪級數(shù)求解.例如對方程的解可設(shè)為:把及代入原方程，比較系數(shù)得:,,令:,有:,其中為常數(shù).4.4數(shù)的近似計算[12]數(shù)是一個很重要的常數(shù),它在數(shù)學(xué)和物理應(yīng)用的頻率很高，近似計算數(shù),冪級數(shù)是一個理想的工具.已知函數(shù).令有或.若令,有或,如果取前項的部分和，即.根據(jù)Leibniz級數(shù)的余和估計:,即誤差不超過第項的絕對值，即.結(jié)束語本文通過對冪級數(shù)的性質(zhì)、定義分析，推導(dǎo)出了冪級數(shù)求和的七種方法，以及文章簡要介紹冪級數(shù)的四個應(yīng)用.冪級數(shù)的和函數(shù)的轉(zhuǎn)化有很多，求和的方法也有很多，關(guān)鍵是我們?nèi)绾芜x擇合適的方法從而達(dá)到解決問題的目的，本文通過介紹冪級數(shù)求和的幾種轉(zhuǎn)化和方法，并將其與化歸思想聯(lián)系在一起，對求冪級數(shù)和函數(shù)的相關(guān)問題起到了一定的幫助.方便了解決求和問題.參考文獻(xiàn)[1]劉士強(qiáng).數(shù)學(xué)分析（下冊）[M].南寧：廣西民族出版社，2000.[2]李玲.冪級數(shù)求和的聯(lián)想教學(xué)[J].科技信息，2009,(15):168.[3]周正遷.關(guān)于求密集數(shù)的和函數(shù)[J].科技信息，2010,(15):530-531.[4]杜道淵.冪級數(shù)的求和方法[J].價值工程，2010，(26):202.[5]陳金梅，葉國妍.冪級數(shù)求和法例談[J].石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2006,18,(2）：64-67.[6]趙志文.冪級數(shù)的和及其求法[J].吉林師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2004,（2）：108-109.[7]徐友仁.冪級數(shù)的和及其求法[J].松遼學(xué)刊（自然科學(xué)版），2002,(2):41-43.[8]劉志林.冪級數(shù)和函數(shù)的兩種應(yīng)用[J].泰州職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報，2005,5（3）61-63.[9]孫清華，孫昊.數(shù)學(xué)分析內(nèi)容、方法與技巧（下）[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2003.[10]劉玉璉,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義（第三版）[M].北京：高等教育出版社，1994.[11]吳奇峰.冪級數(shù)的若干應(yīng)用[J].韶關(guān)大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），1994,15（2）：41-48.[12]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006.致