考點測試23正弦定理和余弦定理5分、5分、12分，中、低等難度考綱 研讀掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題第r步狂刷小題,基礎(chǔ)練一、基礎(chǔ)小題TOC\o"1-5"\h\z.在△ABC43,若AB=8,A=120°,其面積為4小,則BC=( )A.213 B.413C.221 D.47答案C一一一. 1解析因為&ABC=2AB?AC-sinA=4淄，故AC=2;由余弦定理得， bC=Ag+aC—2AB?AQosA=84,故BC=2P.故選C..已知a,b,c為△ABC勺三個內(nèi)角A,B,C所對的邊，若3bcosC=c(1—3cosB),則sinC：sinA=( )A.2：3 B.4：3C.3：1 D.3：2答案C解析 由正弦定理得 3sinBcosC=sin C—3sin CcosB,即3sin( B+ C)=sin C,因為 A+B+C=兀，所以B+C=兀一A,所以3sinA=sinC,所以sinC：sinA=3：1,故選C..若△ABC勺內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知bsin2A=asinB,且c=2b,則a等于()4B-3D. 3C. 2D. 3答案D一.解析由 bsin2 A=asinB, 44 2sin Bsin AcosA=sin Asin B, 4# cosA=2.又c= 2b,由余弦定理得34+12b30sA=9+*布只=3b2,得b=#.故選D.△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知acsinB=10sinC,a+b=7,lC15皿且cos2=乎，則c=( )A.4B.5C.26D.7答案解析acsinB=10sinC.由正弦定理可得abc=10c,即ab=10.cos?=中5, cosC2 5lC15皿且cos2=乎，則c=( )A.4B.5C.26D.7答案解析acsinB=10sinC.由正弦定理可得abc=10c,即ab=10.cos?=中5, cosC2 5=2X詈c=qa2+b2—2abcosC=72-2X10-20X-=55.故選B.5.在^AB”:b2=tanA：tanB,則4ABC-定是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案D解析???a2:b2=tanA：tanB,由正弦定理可得,sin2AtanAsinAcosAsinAcosBsin2BtanBsinBsinBcosA'cosBsinAsinBw0,sinAcosBsinBcosA'sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B, 2A=2B或2A+I、 兀A=B或A+B=—,即△ABC^等腰或直角三角形.故選D.6.在銳角△ABC中，角AB,C所對的邊分別為=42,則b的值為（ ）A.3B.3,2A.3B.3,22D.C.22D.答案A解析 因為△ABC^銳角三角形，sinA=平，所以cosA=1.由Saabc=1bcsinA=寸2,得3 3 2bc=3.①b+ca2 2 4由cosA= -得b+c=6.②2bc聯(lián)立①②，解得b=V3,故選A..已知在△ABO4,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=3b,c=下,且cosC=慨,答案解析5 1 5a2答案解析5 1 5a2+b2—c29b2+b2—5a=3b，c=y5,且cosC=6",由于弦定理可得，cosC=6= 2ab =2x3bxb，解得b=1a=3..在△ABC4\角A, B, C所對的邊分別為 a, b, c, A=60。，且4 AB。卜接圓半徑為曠3,曠3,貝Ua=答案3歲,若b+c=3,：'3,則△ABC勺面積為,_ _ ，一、、一 a一一解析：A=60,且4ABO接圓半徑R為/,.?.由正弦定理而k2R可得a=2冏"=2x，3xsin60°=3,b+c=次/3,.,?由余弦定理 a2=b2+c2—2bccosA,可得9=b2+c2-bc=(b+c-bc=(b+c)2-3bc=27-3bc,解得bc=6,Sabc=2bcsinA=5X6X.133.3

~2=2.二、高考小題9.(2019?全國卷I)4ABC勺內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asinA—bsinB9.=4csinC,1…bcosA=4csinC,1…bcosA=—4,則c=( )A.B.C.D.答案解析asinA-解析asinA-bsinB=4csinC, 由正弦定理得a2—b2=4c2,即a2=4c2+b2.由余弦定理得cosA=b2+c2—a2b2+c理得cosA=b2+c2—a2b2+c2— 4c2+b2 -3c22bc2bc2bc14'b一，c=6故選A.10.(2018?全國卷n)在△ABC43,C5cOs2=_5",BC=1,AC=5,則AB=( )A.42C. 29A.42C. 29B.D.答案A解析因為2c/c解析因為2c/c、/cosC=2cos2—1=2x52"5"1=-|,所以aB"=bC+AC-2BC-ACcosC=15+25—2X1X5X-3=32,所以AB=4啦.故選A..(2018?全國卷出)^ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若^ABC的面積為a2+b2—c2nt一；一，則C=( )4A.-2B.7tA.-2B.7t3D.7t6答案C一― 一― 1, a2+b2—c2解析由題可知&abc=2absinC= 4 ,所以a2+b2—c2=2absinC.由余弦定理得a2+b2—c2=2abcosC,所以sinC=cosC因為CC（0,兀），所以C=：,故選C.4（2019?浙江高考）在△AB3\ZABC=90°,AEB=4,BC=3,點D在線段AC上.若/BDC=45,貝UBD=,cosZABD=.較案注*5 10解析如圖，易知sin/C=J,5cosZC=".5在△BD計，由正弦定理可得BDBCsin/Csin/BDC4BCsin/C3X51272…BD=sin/BDC-也一5~2由/ABC=/ABD-/CBD=90,可得cos/ABD=cos（90-ZCBD=sin/CBD=sin［兀一（/C+/BDC=sin（/C+/BDC=sin/C?cos/BDCFcos/C?sin/BDC4=-x4=-x5也盟2+5 2 10（2018?浙江高考）在4ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若a=<7b=2,A=60sinB=解得b2+答案解析a N得sinB=-sinA=sinAsinB ac=3（舍去負(fù)值）.三、模擬小題#1,由a2=b2+c2—2bccosA,彳導(dǎo)c2—2c—3=0,14.（2019?黃山一模）已知△ABC勺三邊滿足條件a2-b-c

bc2-=3,則A=(=2,A=60sinB=解得b2+答案解析a N得sinB=-sinA=sinAsinB ac=3（舍去負(fù)值）.三、模擬小題#1,由a2=b2+c2—2bccosA,彳導(dǎo)c2—2c—3=0,14.（2019?黃山一模）已知△ABC勺三邊滿足條件a2-b-c

bc2-=3,則A=(A.30°C.60°答案解析a2— b—c2 ,口—bc-=3整理可得—bc2bc 2bc1 ■ 。 。1.Ae（0。，180。），（2019?贛州中學(xué)模擬）在△ABC^,B.D.45°120°b2+c2—a2=—bc,由余弦定理可得cosA=A=120°.故選D.角A,B,C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c.若角A,B,C依次成等差數(shù)列，且a=1,b=V3.則SxABC=（B.-3答案解析D.???A,B,C依次成等差數(shù)列，.??B=60° ??由余弦定理得b2=a2+c2—2accosB,1 '3,得c=2, SLabn2acsinB=丁.故選C.（2019?廣東化州市高三模擬）在△ABC43,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊為a,b,c,若Saabc=2~\[3,a+b=6,acosB+bcosA=2cosC,貝Uc=( )2 '7C. 2 ,：34答案解析acosB+bcosAsinAsosB+sinBcosAsin A+BsinCT -=1,sin A+B即有2cosc=1,可得C由c2=a2+b2—2abcosC及abc=由c2=a2+b2—2abcosC=(a+b)2-2ab-ab=(a+b)2—3ab=62—3x8=12,解得c=2>/3.故選C.

（2019?曲靖一中質(zhì)量監(jiān)測）在銳角△ AB8, a, b, c分別是角A, B, C的對邊，R是△ABC勺外接圓半徑，且b+acosC+ccosA=2,：'2R則B=（ ）B.兀B.A.—6D.答案B.，一 .一、、一 1abc一解析 由正弦定理，得—^=—2R則a=2RsinAb=2FSinB,c=2RsinC,sinAsinBsinC由b+acosC+ccosA=2#R,得2FsinB+2RsinAcosC+2RsinCcosA=2xJ2R,即sinB+sinAcosC+sinCcosA=*^2,則sinB+sin（A+C）=\[2,即sinB+sin（兀一B）=sinB+sinB=2sinB=叵則sinB=*，因為△ABC^銳角三角形，所以B=j故選B.（2019?長春二模）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=、/2,acosB+bsinA=c,則^ABC勺面積的最大值為.答案二^解析acosB+bsinA=c,，由正弦定理得sinC=sinAcosB+sinBsinA①又A+B+C=兀，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,②.,.由①②得sinA=cosA,即tanA=1,又AC（0,兀），???A：。.a=@由余弦定理可得2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-V2bc>2bc-\/2bc=（2—，2）bc,可得bc<2+小,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立，??.△ABC勺面積S=；bcsinA=*bcw**（2+[2）="2尹，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時，等號成立，即面積的最大值為立，即面積的最大值為第2.步精做大題*能力練一■、tWj考大題1.（2019?全國卷I）4ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.設(shè)（sinB-sinQ2=

sin2A—sinBsinC(2)若也a+b=2c,求sinC解(1)由已知得sin2B+sin2C—sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=b+c-a=1.2bc2因為0°<A<180°,所以A=60°.(2)由⑴知B=120°—C,—C=2sin—C=2sinC1cosC+2sinC=2sinC,可得cos。60)一平.因為0°<C<120°,所以sin(C+60°)=平,故sinC=sin(C+60°—60°)=sin(C+60°)cos60°—cos(C+60°)sin606+可得cos。60)一平.因為0°<C<120°,所以sin(C+60°)=平,故sinC=sin(C+60°—60°)=sin(C+60°)cos60°—cos(C+60°)sin606+,242.1(2019?北京高考)在△ABC43,a=3,b-c=2,cosB=--.求b,c的值;(2)求sin(B-。的值.(1)由余弦定理b2=a2+c2—2accosB得b=3+c—2x3xcx因為b=c+2,所以(c+2)2=32+c2—2X3Xcx解得c=5,所以b=7./c、H 1 /日. 3(2)由cosB=—2,得sinB=2., 、一，r c5,3由正弦皿里得sinC=bsinB=寶.在△ABC4\/B是鈍角，所以/C為銳角,一 11所以cosC= 1—sinC=荷所以sin(B—C所以sin(B—C)=sinBcosC—cosBsinC=4」37.(2019?江蘇高考)在△ABC4\角A,B,C的對邊分別為a,b,c.⑴若a=3c,b=J2,cosB=2,求c的值；3#sinAcosB— 兀-(2)若——=^—,求sinB+—的值.a2b 2解(1)因為a=3c,b=，2,cosB=|,3由余弦定理，得cosB=a+：——,哼—Iy2解得。24所以T3 2X5cxc 3 3(2)因為sin(2)因為sinAcosB2b'由正弦定理ab/曰cosBsinBsin-^sin-B,4^-2b_=^,由正弦定理所以cosB=2sinB從而cos2B=(2sinE)2,即cos2B=4(1—cos2B),故cos2B=-.52,5

5因為sinB>0,所以cosB=2sinB>0,從而cosB=2,5

5因此sinB+—=cosB=二、模擬大題(2019?湖北四地七校聯(lián)考)如圖，A,B,C,D四點共圓，/A為鈍角且sinA=3,BA5=BC=10,BD=6\f5.(1)求邊AD的長；(2)設(shè)/BDG=a,/CBD=(3,求sin(2a+B)的值.. 3 解(1):sinA=三，且/A為鈍角,5cosA=—、/1一？2=一?.5 5在△ABm,由余弦定理得，AD2+Ad-2AD-ABdosA=bD,AD+16AD-80=0,解得AD=解得AD=4或AD=—20（舍去），故AD=4.（2）如圖，連接（2）如圖，連接AC則/BD匿/BAC=/AC2/AD2a,/CBD=/CAD=§2兀=/BCO/CDAF/BADF/CBA2兀=4a+2§+2/ABD+3+/abd=兀，2a+§與/ABDS2a+§與/ABDS補(bǔ)，于, ,, …bBDAD在AAB計，由正弦定理，得痛=s^FDsin/ABD=妥.（2019?寧夏二模）^ABC勺內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知一生三="2土”.cosAcosB(1)求角A;(2)若b=成，c=4,點D在△ABB,且BD=/，/BDC-/A=兀，求^BDM面積.cosAcosA2c—b

cosB'acosB=2ccosA—bcosA,，由正弦定理，可得sinAcosB=2sinCcosA—sinBcosA,可得sin(A+B)=sinC=小sinCcosA,2/2 ?！竤inO0,■.cosA=丁,「AC(0,兀),..A=~.

(2)?"=看,b=平,c=4,，由余弦定理可得,BC=：c2+b2—2bccosA]l6+2—2X4X???/BDG/A=Tt, BD點?，又BD=娘，由余弦定理可得BC=BD+CD—2BD-CD