第20章

基本數(shù)值方法

20.1二叉樹20.2采用二叉樹對股指、貨幣與期貨期權(quán)定價20.3對于支付股息股票的二叉樹模型20.4構(gòu)造樹形的其他方法20.5參數(shù)依賴于時間的情形20.6蒙特卡羅模擬法20.7方差縮減程序20.8有限差分法第20章基本數(shù)值方法1、從開始的上升到原先的倍，即到達(dá)；2、下降到原先的倍，即。

時間內(nèi)資產(chǎn)價格的變動把期權(quán)的有效期分為很多很小的時間間隔，并假設(shè)在每一個時間間隔內(nèi)證券價格只有兩種運動的可能：其中，.如圖所示。價格上升的概率假設(shè)為，下降的概率假設(shè)為。相應(yīng)地，期權(quán)價值也會有所不同，分別為和。20.1二叉樹構(gòu)造投資組合包括份股票多頭和1份看漲期權(quán)空頭當(dāng)。則組合為無風(fēng)險組合

此時

因為是無風(fēng)險組合，可用無風(fēng)險利率貼現(xiàn)，得將代入上式就可得到：

其中

無套利定價法：在對衍生產(chǎn)品定價時，可以假定世界是風(fēng)險中性的。在風(fēng)險中性世界里：（1）所有可交易證券的期望收益都是無風(fēng)險利率；（2）未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)。20.1.1風(fēng)險中性定價在風(fēng)險中性的條件下,參數(shù)值滿足條件：假設(shè)證券價格遵循幾何布朗運動，則：再設(shè)定：

（第三個條件的設(shè)定則可以有所不同，這是Cox、Ross和Rubinstein所用的條件）由以上三式可得，當(dāng)很小時：從而

以上可知，無套利定價法和風(fēng)險中性定價法具有內(nèi)在一致性。20.1.2確定p,u,d一般而言，在時刻，證券價格有種可能，它們可用符號表示為：其中由于，使得許多結(jié)點是重合的，從而大大簡化了樹圖。20.1.3資產(chǎn)價格的樹形

得到每個結(jié)點的資產(chǎn)價格之后，就可以在二叉樹模型中采用倒推定價法，從樹型結(jié)構(gòu)圖的末端T時刻開始往回倒推，為期權(quán)定價。

如果是歐式期權(quán)，可通過將時刻的期權(quán)價值的預(yù)期值在時間長度內(nèi)以無風(fēng)險利率貼現(xiàn)求出每一結(jié)點上的期權(quán)價值；

如果是美式期權(quán)，就要在樹型結(jié)構(gòu)的每一個結(jié)點上，比較在本時刻提前執(zhí)行期權(quán)和繼續(xù)再持有時間，到下一個時刻再執(zhí)行期權(quán)，選擇其中較大者作為本結(jié)點的期權(quán)價值。例20-1DerivaGem示范

20.1.4通過樹形倒推計算假設(shè)把一期權(quán)有效期劃分成N個長度為的小區(qū)間，同時用表示結(jié)點處的證券價格可得（以看漲期權(quán)為例）：其中假定期權(quán)不被提前執(zhí)行，則：（表示在時間時第j個結(jié)點處的歐式看漲期權(quán)的價值）若有提前執(zhí)行的可能性，則：20.1.5代數(shù)表達(dá)式20.1.6估計Delta與其他希臘值20.2采用二二叉樹樹對股股指、、貨幣幣與期期貨期期權(quán)進進行定定價當(dāng)對股股指、、貨幣幣和期期貨上上的期期權(quán)定定價時時，可可以將將這些些標(biāo)的的資產(chǎn)產(chǎn)看作作是提提供已已知收收益率率的資資產(chǎn)。。對于于股指指而言言，收收益率率就是是股指指中股股票組組合的的股息息收益益率；；對于于貨幣幣而言言，收收益率率等于于外幣幣無風(fēng)風(fēng)險利利率；；對于于期貨貨合約約而言言，收收益率率等于于無風(fēng)風(fēng)險利利率。。Derivagem求解解例20-3，，20-4假設(shè)股股息離離散支支付，，股息息收益益率已已知可通過過調(diào)整整在各各個結(jié)結(jié)點上上的股股票價價格，，算出出期權(quán)權(quán)價格格；如果時時刻在在除權(quán)權(quán)日之之前，，則結(jié)結(jié)點處處股票票價格格仍為為：如果時時刻在在除權(quán)權(quán)日之之后，，則結(jié)結(jié)點處處證券券價格格相應(yīng)應(yīng)調(diào)整整為：：若在期期權(quán)有有效期期內(nèi)有有多個個已知知紅利利率，，則時時刻結(jié)結(jié)點的的相應(yīng)應(yīng)的證證券價價格為為：（為為0時刻到到時時刻之之間所所有除除權(quán)日日的總總紅利利支付付率））20.3對于支支付股股息股股票的的二叉叉樹模模型20.3.1股股息息收益益率是是已知知的情情形20.3.2已已知知股息息數(shù)量量的情情形在某些些情形形下，，尤其其是當(dāng)當(dāng)期權(quán)權(quán)的期期限很很短時時，最最符合合現(xiàn)實實的做做法是是假設(shè)設(shè)已知知股息息支付付的數(shù)數(shù)量而而不是是股息息收益益率。。假設(shè)設(shè)股票票波動動率為為常數(shù)數(shù)，二二叉樹樹的形形狀如如下圖圖所示示。將股票票價格格分為為兩個個部分分：一一部分分是不不確定定的；；另一一部分分是期期權(quán)有有效期期內(nèi)所所有未未來股股息的的貼現(xiàn)現(xiàn)值。。假設(shè)設(shè)在期期權(quán)有有效期期內(nèi)只只有一一個除除息日日，則則在時時刻不不確確定部部分的的價值值為：：當(dāng)時時當(dāng)時時（（D為為股息息）對于原原股票票價格格S的的二叉叉樹，，在時時刻：：當(dāng)時時，股股票價價格為為：當(dāng)時時，股股票價價格為為：（為為零零時刻刻的值值）例20-5基本原原理：：期權(quán)權(quán)A和和期權(quán)權(quán)B的的性質(zhì)質(zhì)相似似，我我們可可以得得到期期權(quán)B的解解析定定價公公式，，而只只能得得到期期權(quán)A的數(shù)數(shù)值方方法解解。假設(shè)：：（（代代表表期權(quán)權(quán)B的的真實實價值值，表表示示關(guān)于于期權(quán)權(quán)A的的較優(yōu)優(yōu)估計計值，，和和表表示示用同同一個個二叉叉樹、、相同同的蒙蒙特卡卡羅模模擬或或是同同樣的的有限限差分分過程程得到到的估估計值值）則期權(quán)權(quán)A的的更更優(yōu)估估計值值為：：20.3.3控控制制變量量技術(shù)術(shù)該方法法優(yōu)點點在于于無論論和和如如何變變化，，概率率總是是不變變的缺點在在于二二叉樹樹圖中中的中中心線線上的的標(biāo)的的資產(chǎn)產(chǎn)價格格不會會再和和初始中心心值相相等。。20.4構(gòu)造樹樹形的的其他他方法法CRR方法法并不不是構(gòu)構(gòu)造二二叉樹樹的唯唯一方方法，，在確確定參參數(shù)、、和和時時，不不再假假設(shè)，，而而令，，可可得：：三叉樹樹圖每一個個時間間間隔隔內(nèi)內(nèi)證證券價價格有有三種種運動動的可可能：：1、從從開始始的上上升到到原先先的倍倍，，即到到達(dá)；；2、保保持不不變，，仍為為；；3、下下降到到原先先的倍倍，即即假定股股票支支付股股息收收益率率q，，以下下參數(shù)數(shù)可保保證樹樹形的的均值值和標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差與股股票價價格的的均值值和標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差相吻吻合1、利利率是是時間間依賴賴的情情形假設(shè)，，即在在時刻刻的的結(jié)結(jié)點上上，其其應(yīng)用用的利利率等等于到到時時間間內(nèi)的的遠(yuǎn)期期利率率，則則：這一假假設(shè)并并不會會改變變二叉叉樹圖圖的幾幾何形形狀，，改變變的是是上升升和下下降的的概率率，所所以我我們?nèi)匀匀豢煽梢韵笙笠郧扒耙粯訕訕?gòu)造造出二二叉樹樹圖，，不同同的是是貼現(xiàn)現(xiàn)時用用2、波動動率依賴賴于時間間20.5參數(shù)依賴賴于時間間的情形形MonteCarlo:BasedOnProbability&Chance基本思路路：由于大部部分期權(quán)權(quán)價值實實際上都都可以歸歸結(jié)為期期權(quán)到期期回報(payoff)的期期望值的的貼現(xiàn)；；因此，，盡可能能地模擬擬風(fēng)險中中性世界界中標(biāo)的的資產(chǎn)價價格的多多種運動動路徑，，計算每每種路徑徑結(jié)果下下的期權(quán)權(quán)回報均均值，之之后貼現(xiàn)現(xiàn)就可以以得到期期權(quán)價值值。20.6蒙特卡羅羅模擬法法等價形式式重復(fù)以上上的模擬擬至足夠夠大的次次數(shù)，計計算回報報值的平平均值，，折現(xiàn)后后就得到到了期權(quán)權(quán)的期望望值（是是從標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正態(tài)分分布中抽抽取的一一個隨機機樣本））假定在風(fēng)風(fēng)險世界界中，標(biāo)標(biāo)的市場場變量服服從，，為為了模擬擬變量S的路徑徑，將期期權(quán)期限限分割成成N個長長度為的的小區(qū)區(qū)間，其其近似方方程為：：實際中，，對lns進行行模擬結(jié)結(jié)果更準(zhǔn)準(zhǔn)確。由由伊藤引引理，因此，1、當(dāng)回回報僅僅僅取決于于到期時時的的最終終價值時時，可直直接用一一個大步步（））（假假設(shè)初始始時刻為為零時刻刻）來多多次模擬擬最終的的資產(chǎn)價價格，得得到期權(quán)權(quán)價值：：2、當(dāng)回回報依賴賴于多個個市場變變量時每次模擬擬運算中中對每個個變量的的路徑都都必須進進行抽樣樣，從樣樣本路徑徑進行的的每次模模擬運算算可以得得出期權(quán)權(quán)的終值值。的的離散散過程可可以寫為為：（期權(quán)依依賴于個個變變量，，為為的的波動動率，為為在風(fēng)險中中性世界界中的期期望增長長率，為為和和之之間間的瞬間相相關(guān)系數(shù)數(shù)）20.6.1多多個標(biāo)標(biāo)的變量量的情形形的產(chǎn)生：：是服從從標(biāo)準(zhǔn)正正態(tài)分布布的一個個隨機數(shù)數(shù)。如果只有有一個單單變量，，EXCEL中中的指令令=NORMSINV(RAND())用用來產(chǎn)生生一元標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布的的隨機樣樣本。如如果要產(chǎn)產(chǎn)生n元元聯(lián)合正正態(tài)分布布的隨機機抽樣，，用喬里里斯基分分解。如果對衍衍生產(chǎn)品品價格的的估計值值要求95％的置置信度，，則期權(quán)權(quán)價值應(yīng)應(yīng)（是是進行行運算的的個數(shù)，，為均均值，是是標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差））20.6.2由由正態(tài)態(tài)分布中中抽樣20.6.3模模擬次次數(shù)在每個節(jié)節(jié)點，取取0~1隨機數(shù)數(shù)，隨機機數(shù)<P,選擇擇上升分分支，否否則，選選擇下降降分支。。到達(dá)下下個節(jié)點點后，重重復(fù)上述述過程直直到到達(dá)達(dá)樹圖末末端。（（例20-9）其中，為為標(biāo)標(biāo)的變量量價格或或參數(shù)，，為為一般蒙蒙特卡羅羅法計算算的衍生生產(chǎn)品價價格，為為將值值增加時時計算出出的衍生生產(chǎn)品新新價格。。為減小小標(biāo)準(zhǔn)誤誤差，計計算這兩兩次衍生生產(chǎn)品價價格時，，選用的的時間區(qū)區(qū)間個數(shù)數(shù)N,選選用的隨隨機樣本本、模擬擬運算的的次數(shù)M都必須須相同20.6.5計計算希希臘值20.6.4通通過樹樹形取樣樣主要優(yōu)點點：1.可可以給出出估計值值的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)誤差，，可以處處理復(fù)雜雜的收益益形式。。2.可可用于收收益為變變量所遵遵循的整整個路徑徑的函數(shù)數(shù)，而不不只是變變量最終終值函數(shù)數(shù)的情形形。主要缺點點：1.只只能為歐歐式期權(quán)權(quán)定價，，難以處處理提前前執(zhí)行的的情形。。2.為為了達(dá)到到一定的的精確度度，一般般需要大大量的模模擬運算算。20.6.6應(yīng)應(yīng)用（一）對對偶變量量技術(shù)(antitheticvariabletechnique)（二）控控制變量量技術(shù)(controlvariatetechnique)（三）重重點抽樣樣法(importantsampling)（四）間間隔抽樣樣法(stratifiedsampling)（五）矩矩匹配法法(momentmatching)（六）利利用偽隨隨機數(shù)(quasi-randomsequency)20.7方差縮減減程序轉(zhuǎn)化為一一系列近近似的差差分方程程，之后后用迭代代法求解解，得到到期權(quán)價價值。20.8有限差分分法有限差分分方法的的主要思思想是：：應(yīng)用有有限差分分方法將將衍生證證券所滿滿足的偏偏微分方方程有限差分分網(wǎng)格①的的近似對于坐標(biāo)標(biāo)方格內(nèi)內(nèi)部的點點，，期權(quán)權(quán)價值對對資產(chǎn)價價格的一一階導(dǎo)數(shù)數(shù)可以用用三種差差分來表表示：、和②的的近似對于點點處的的，，我我們則采采取前向向差分近近似以使使時時刻刻的值和和時時刻刻的值相相關(guān)聯(lián)：：③的的近似點處處的的的后后向差分分近似為為，，因此此點處期期權(quán)價值值對標(biāo)的的資產(chǎn)價價格的二二階差分分為1.下面面介紹一一下、、和和的的差差分近似似20.8.1隱隱式有有限差分分法把以上三三個近似似代入布布萊克－－舒爾斯斯偏微分分方程，，整理得得到：其中，2.差分分方程①時刻刻看跌期期權(quán)的價價值為其中②當(dāng)股票票價格為為零時，，下方邊邊界上上所所有格點點的期權(quán)權(quán)價值：：③當(dāng)股票票價格趨趨于無窮窮時3.邊界界條件聯(lián)立個個方方程：和時時，時，時，解出每個個的的期期權(quán)價值值最后可以以計算出出，，當(dāng)當(dāng)?shù)鹊扔诔醭跏假Y產(chǎn)產(chǎn)價格時時，該格格點對應(yīng)應(yīng)的就就是是我們要要求的期期權(quán)價值值。4.求解解期權(quán)價價值隱式差分分法可以以理解為為從格點點圖內(nèi)部部向外推推知外部部格點的的期權(quán)價價值。如如圖所示示：顯式有限差分分法：其中，即直接從從時時刻的的三個相相鄰格點點的期權(quán)價值值求出時時刻資產(chǎn)產(chǎn)價格為為時時的期權(quán)價價值，可可理解為為從格點點圖外部部推知內(nèi)內(nèi)部格點期期權(quán)價值值的方法法20.8.2顯顯式有有限差分分法以lns為標(biāo)的的變量代代替以s為標(biāo)的的變量，，定義微微分方方程變?yōu)闉椋横槍設(shè)設(shè)定等距距離網(wǎng)格格，隱式式法中，，微分方方程變?yōu)闉榧雌渲?0.8.3變變量替替換顯示法中中，差分分方程為為即其中1.跳格格法（hopscotchmethod）2.Crank-Nicolson法20.8.5其其他差差分法有限差分分法可用用于適合合樹形方方法的衍衍生品定定價問題題。它們們既可以以處理歐歐式期權(quán)權(quán)定價也也可以處處理美式式期權(quán)定定價，但但這一方方法很難難用于衍衍生品收收益與標(biāo)標(biāo)的變量量歷史價價格有關(guān)關(guān)的情形形。有限限差分可可用于多多標(biāo)的變變量的情情形，但但計算時時間會大大大增大大，因為為這時圖圖20-15的的網(wǎng)格會會變成多多維的形形式。在有限差差分法中中，計算算希臘值值的方法法與樹形形法類似似。Delta、Gamma和Theta可以直直接由在在網(wǎng)網(wǎng)格上的的值得出出。對于于Vega，我我們需要要讓波動動率有一一個小的的變化，，然后再再由同一一個網(wǎng)格格計算衍衍生產(chǎn)品品的數(shù)值值解。20.8.6有有限差差分法的的應(yīng)用歸納小結(jié)結(jié)1.有限差分方方法和樹圖圖方法的分分析比較相同點：兩種方法都都用離散的的模型模擬擬資產(chǎn)價格格的連續(xù)運運動不同點：樹圖方法中中包含了資資產(chǎn)價格的的擴散和波波動率情形形；有限差差分方法中中的格點則則是固定均均勻的，只只是參數(shù)進進行了相應(yīng)應(yīng)的變化，，以反映改改變了的擴擴散情形。。有限差分方方法還可以以進一步推推廣到多個個標(biāo)的變量量的情形；；在標(biāo)的變量量小于三個個的時候，，這一方法法是相當(dāng)有有效率的；；但是超過過三個變量量時蒙特卡卡羅模擬方方法就更有有效了。同同時有限差差分方法也也不善于處處理期權(quán)價價值取決于于標(biāo)的變量量歷史路徑徑的情況。。2.有限差分法法和蒙特卡卡羅法的分分析比較3.隱形有限差差分法和顯顯性有限差差分法的分分析比較顯性方法計計算比較直直接方便，，無需象隱隱性方法那那樣需要求求解大量的的聯(lián)立方程程，工作量量小，易于于應(yīng)用。但但是，顯性性方法存在在一個缺陷陷：它的三三個“概率率”可能小小于零，這這導(dǎo)致了這這種方法的的不穩(wěn)定，，它的解有有可能不收收斂于偏微微分方程的的解。而隱隱性方法則則不存在這這個問題，，它始終是是有效的。。請老師與同同學(xué)們批評指正??！謝謝1月月-2301:28:5201:2801:281月月-231月月-2301:2801:2801:28:521月-231月-2301:28:522023/1/61:28:529、靜靜夜夜四四無無鄰鄰，，荒荒居居舊舊業(yè)業(yè)貧貧。。。。1月月-231月月-23Friday,January6,202310、雨中中黃葉葉樹，，燈下下白頭頭人。。。01:28:5201:28:5201:281/6/20231:28:52AM11、以我獨沈久久，愧君相見見頻。。1月-2301:28:5201:28Jan-2306-Jan-2312、故故人人江江海海別別，，幾幾度度隔隔山山川川。。。。01:28:5201:28:5201:28Friday,January6,202313、乍見翻疑夢夢，相悲各問問年。。1月-231月-2301:28:5201:28:53January6,202314、他鄉(xiāng)鄉(xiāng)生白白發(fā)，，舊國國見青青山。。。06一一月月20231:28:53上上午01:28:531月-2315、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。一月231:28上上午1月-2301:28January6,202316、行動出出成果，，工作出出財富。。。2023/1/61:28:5301:28:5306January202317、做前，能能夠環(huán)視四四周；做時時，你只能能或者最好好沿著以腳腳為起點的的射線向前前。。1:28:53上上午1:28上上午01:28:531月-239、沒有有失敗敗，只只有暫暫時停停止成成功！！。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多事事情努力力了未必必有結(jié)果果，但是是不努力力卻什么么改變也也沒有。。。01:28:5301:28:5301:281/6/20231:28:53AM11、成功功就是是日復(fù)復(fù)一日日那一一點點點小小小努力力的積積累。。。1月-2301:28:5301:28Jan-2306-Jan-2312、世間成成事，不不求其絕絕對圓滿滿，留一一份不足足，可得得無限完完美。。。01:28:5301:28:5301:28Friday,January6,202313、不知香香積寺，，數(shù)里入入云峰。。。1月-231月-2301:28:5301:28:53January6,202314、意志堅強強的人能把把世界放在在手中像泥泥塊一樣任任意揉捏。。06一月月20231:28:53上上午01:28:531月-2315、楚楚塞塞三三湘湘接接，，荊荊門門九九派派通通