第十三章期權的定價

第一節(jié)

期權價格的特性

一、

內在價值和時間價值期權價格等于期權的內在價值加上時間價值。（一）期權的內在價值期權的內在價值（）是指多方行使期權時可以獲得的收益的現值。歐式看漲期權的內在價值為()的現值。無收益資產歐式看漲期權的內在價值等于(),而有收益資產歐式看漲期權的內在價值等于()。無收益資產美式看漲期權價格等于歐式看漲期權價格,其內在價值也就等于()。有收益資產美式看漲期權的內在價值也等于()。無收益資產歐式看跌期權的內在價值為X()，有收益資產歐式看跌期權的內在價值為X()。無收益資產美式期權的內在價值等于，有收益資產美式期權的內在價值等于。當然，當標的資產市價低于協議價格時，期權多方是不會行使期權的，因此期權的內在價值應大于等于0。（二）期權的時間價值期權的時間價值（）是指在期權有效期內標的資產價格波動為期權持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。顯然，標的資產價格的波動率越高，期權的時間價值就越大。此外，期權的時間價值還受期權內在價值的影響。以無收益資產看漲期權為例，當()時，期權的時間價值最大。當()的絕對值增大時，期權的時間價值是遞減的，如圖13.1所示。二、

期權價格的影響因素（一）標的資產的市場價格與期權的協議價格（二）期權的有效期

（三）標的資產價格的波動率（四）無風險利率（五）標的資產的收益三、期權價格的上、下限（一）期權價格的上限1．看漲期權價格的上限在任何情況下，期權的價值都不會超過標的資產的價格。因此，對于對于美式和歐式看跌期權來說，標的資產價格都是看漲期權價格的上限：

（13.1）其中，c代表歐式看漲期權價格，C代表美式看漲期權價格，S代表標的資產價格。2．看跌期權價格的上限由于美式看跌期權多頭執(zhí)行期權的最高價值為協議價格（X），因此，美式看跌期權價格（P）的上限為X：

（13.2）

由于歐式看跌期權只能在到期日（T時刻）執(zhí)行，在T時刻，其最高價值為X，因此，歐式看跌期權價格（p）不能超過X的現值：

（13.3）其中，r代表T時刻到期的無風險利率，t代表現在時刻。（二）期權價格的下限1．歐式看漲期權價格的下限（1）無收益資產歐式看漲期權價格的下限為了推導出期權價格下限，我們考慮如下兩個組合：組合A：一份歐式看漲期權加上金額為的現金；組合B：一單位標的資產T時刻，組合A的價值為：

而組合B的價值為。由于，因此，在t時刻組合A的價值也應大于等于組合B，即:()≥S所以c≥()

由于期權的價值一定為正，因此無收益資產歐式看漲期權價格下限為（13.4）（2）有收益資產歐式看漲期權價格的下限我們只要將上述組合A的現金改為，并經過類似的推導，就可得出有收益資產歐式看漲期權價格的下限為：

（13.5）

2．歐式看跌期權價格的下限（1）無收益資產歐式看跌期權價格的下限考慮以下兩種組合：組合C：一份歐式看跌期權加上一單位標的資產組合D：金額為的現金在T時刻，組合C的價值為：（，X）假定組合D的現金以無風險利率投資，則在T時刻組合D的價值為X。由于組合C的價值在T時刻大于等于組合D，因此組合C的價值在t時刻也應大于等于組合D，即：

由于期權價值值一定為正，，因此無收益益資產歐式看看跌期權價格格下限為：（13.6））（2）有收益益資產歐式看看跌期權價格格的下限我們只要將上上述組合D的的現金改為就可得到有收收益資產歐式式看跌期權價價格的下限為為：（13.7））從以上分析可可以看出，歐歐式期權的下下限實際上就就是其內在價價值。四、提前執(zhí)行行美式期權的的合理性（一）提前執(zhí)執(zhí)行無收益資資產美式期權權的合理性1．看漲期權權由于現金會產產生收益，而而提前執(zhí)行看看漲期權得到到的標的資產產無收益，再再加上美式期期權的時間價價值總是為正正的，因此我我們可以直觀觀地判斷提前前執(zhí)行是不明明智的。為了精確地推推導這個結論論，我們考慮慮如下兩個組組合：組合A：一份份美式看漲期期權加上金額額為的的現金組合B：一單單位標的資產產T時刻組合A的價值為（（，X），而而組合B的價價值為，可見見組合A在T時刻的價值值一定大于等等于組合B。。即如果不提提前執(zhí)行，組組合A的價值值一定大于等等于組合B。。若在時時刻提前執(zhí)執(zhí)行，則此時時組合A的價價值為：，而組合B的的價值為。。由于因因此此即：若提前執(zhí)執(zhí)行美式期權權，組合A的的價值將小于于組合B。比較兩種情況況可得：提前前執(zhí)行無收益益資產美式看看漲期權是不不明智的。因因此，同一種種無收益標的的資產的美式式看漲期權和和歐式看漲期期權的價值是是相同的，即即：（13.8））根據（13.4），我們們可以得到無無收益資產美美式看漲期權權價格的下限限：（13.9））2．看跌期權權為考察提前執(zhí)執(zhí)行無收益資資產美式看跌跌期權是否合合理，我們考考察如下兩種種組合：組合A：一份份美式看跌期期權加上一單單位標的資產產組合B：金額額為的的現現金若不提前執(zhí)行行，則到T時時刻，組合A的價值為（（X，），組組合B的價值值為X，組合合A的價值大大于等于組合合B。若在t時刻提提前執(zhí)行，則則組合A的價價值為X，組組合B的價值值為(τ)，，因此組合A的價值也高高于組合B。。故：是否提前前執(zhí)行無收益益資產的美式式看跌期權，，主要取決于于期權的實值值額（）、無無風險利率水水平等因素。。一般來說，，只有當S相相對于X來說說較低，或者者r較高時，，提前執(zhí)行無無收益資產美美式看跌期權權才可能是有有利的。由于美式期權權可提前執(zhí)行行，因此其下下限比（13.6）更嚴嚴格：（13.10）（二）提前前執(zhí)行有收益益資產美式期期權的合理性性1．看漲期權權由于在無收益益的情況下，，不應提前執(zhí)執(zhí)行美式看漲漲期權，據此此可知：在有有收益情況下下，只有在除除權前的瞬時時時刻提前執(zhí)執(zhí)行美式看漲漲期權方有可可能是最優(yōu)的的。我們先來考察察在最后一個個除權日（））提前執(zhí)行的的條件。如果果在時刻提前前執(zhí)行，則期期權多方獲得得的收益。若若不提前執(zhí)行行，則標的資資產價格將由由于除權降到到。根據式（13.5），在在時刻期權的的價值（）因此，如果：：即：（13.11）則在提前執(zhí)行行是不明智的的。相反，如果（13.12）則在提前執(zhí)行行有可能是合合理的。實際際上，只有當當時刻標的資資產價格足夠夠大時，提前前執(zhí)行美式看看漲期權才是是合理的。同樣，在時刻刻不能提前執(zhí)執(zhí)行有收益資資產的美式看看漲期權條件件是：（13.13）由于存在提前前執(zhí)行更有利利的可能性，，有收益資產產的美式看漲漲期權價值大大于等于歐式式看漲期權，，其下限為：：（13.14）2．看跌期權權由于提前執(zhí)行行有收益資產產的美式期權權意味著自己己放棄收益權權，因此收益益使美式看跌跌期權提前執(zhí)執(zhí)行的可能性性變小，但還還不能排除提提前執(zhí)行的可可能性。通過同樣的分分析，我們可可以得出美式式看跌期權不不能提前執(zhí)行行的條件是：：由于美式看跌跌期權有提前前執(zhí)行的可能能性，因此其其下限為：（13.15）五、期權價格格曲線的形狀狀（一）看漲期期權價格曲線線無收益資產看看漲期權價格格曲線如圖13-2所示示。有收益資產看看漲期權價格格曲線與圖13.2類似似，只是把X()換成成X()。。（二）看跌期期權價格曲線線1．歐式看跌跌期權價格曲曲線無收益資產歐歐式看跌期權權價格曲線如如圖13-3所示。圖13.3無無收益資資產歐式看跌跌期權價格曲曲線有收益資產期期權價格曲線線與圖13.3相似，只只是把換為2．美式看跌跌期權價格曲曲線無收益資產美美式看跌期權權價格曲線如如圖13-4所示。有收益美式看看跌期權價格格曲線與圖13.4相似似，只是把X換成。六、看漲期權權與看跌期權權之間的平價價關系（一）歐式看看漲期權與看看跌期權之間間的平價關系系1．無收益資資產的歐式期期權考慮如下兩個個組合：組合A：一份份歐式看漲期期權加上金額額為的的現金組合B：一份份有效期和協協議價格與看看漲期權相同同的歐式看跌跌期權加上一一單位標的資資產在期權到期時時，兩個組合合的價值均為為()。由于于歐式期權不不能提前執(zhí)行行，因此兩組組合在時刻t必須具有相相等的價值，，即：（13.16）這就是無收益益資產歐式看看漲期權與看看跌期權之間間的平價關系系。它表明歐歐式看漲期權權的價值可根根據相同協議議價格和到期期日的歐式看看跌期權的價價值推導出來來，反之亦然然。如果式（13.16）不不成立，則存存在無風險套套利機會。套套利活動將最最終促使式（（13.16）成立。2．有收益資資產歐式期權權在標的資產有有收益的情況況下，我們只只要把前面的的組合A中的的現金改為，，我們就可可推導有收益益資產歐式看看漲期權和看看跌期權的平平價關系：（13.17）（二）美式看看漲期權和看看跌期權之間間的關系1．無收益資資產美式期權權。由于P>p,從式（13.16）中中我們可得：：對于無收益資資產看漲期權權來說，由于于，因此：（13.18）為了推出C和和P更嚴密的的關系，我們們考慮以下兩兩個組合：組合A：一份份歐式看漲期期權加上金額額為X的現金金組合B：一份份美式看跌期期權加上一單單位標的資產產如果美式期權權沒有提前執(zhí)執(zhí)行，則在T時刻組合B的價值為()，而此時時組合A的價價值為。因此此組合A的價價值大于組合合B。如果美式期權權在τ時刻提提前執(zhí)行，則則在τ時刻，，組合B的價價值為X，而而此時組合A的價值大于于等于X。因因此組合A的的價值也大于于組合B。這就是說，無無論美式組合合是否提前執(zhí)執(zhí)行，組合A的價值都高高于組合B，，因此在t時時刻，組合A的價值也應應高于組合B，即：>由于，因此，，>>結合式（13.18），，我們可得：：（13.19）由于美式期權權可能提前執(zhí)執(zhí)行，因此我我們得不到美美式看漲期權權和看跌期權權的精確平價價關系，但我我們可以得出出結論：無收收益美式期權權必須符合式式（13.19）的不等等式。2．有收益資資產美式期權權同樣，我們只只要把組合A的現金改為為，就可得到到有收益資產產美式期權必必須遵守的不不等式：（）（（13.20）第二節(jié)期權權組合的盈虧虧分布期權交易的精精妙之處在于于可以通過不不同的期權品品種構成眾多多具有不同盈盈虧分布特征征的組合。投資者可以根根據各自對未未來標的資產產現貨價格概概率分布的預預期，以及各各自的風險收收益偏好，選選擇最適合自自己的期權組組合。在以下的分析析中同組合中中的期權標的的資產均相同同。一、標的資產產與期權組合合通過組建標的的資產與各種種期權頭寸的的組合，我們們可以得到與與各種期權頭頭寸本身的盈盈虧圖形狀相相似但位置不不同的盈虧圖圖，如圖13.5表示。。圖13.5（（a）反映了了標的資產多多頭與看漲期期權空頭組合合的盈虧圖，，該組合稱為為有擔保的看看漲期權（））空頭。標標的資產空頭頭與看漲期權權多頭組合的的盈虧圖，與與有擔保的看看漲期權空頭頭剛好相反。。圖13.5（（b）反映了了標的資產多多頭與看跌期期權多頭組合合的盈虧圖，，標的資產空空頭與看跌期期權空頭組合合的盈虧圖剛剛好相反。從從圖13.5可以看出,組合的盈盈虧曲線可以以直接由構成成這個組合的的各種資產的的盈虧曲線疊疊加而來。二、差價組組合差價（）組合合是指持有相相同期限、不不同協議價格格的兩個或多多個同種期權權頭寸組合（（即同是看漲漲期權，或者者同是看跌期期權），其主主要類型有牛牛市差價組合合、熊市差價價組合、蝶式式差價組合等等。1．牛市差差價（）組組合。牛市差差價組組合是是由一一份看看漲期期權多多頭與與一份份同一一期限限較高高協議議價格格的看看漲期期權空空頭組組成。。由于于協議議價格格越高高，期期權價價格越越低，，因此此構建建這個個組合合需要要初始始投資資。牛市差差價組組合牛市差差價組組合在在不同同情況況下的的盈虧虧可用用表13.2表表示。。表13.2牛牛市市差價價期權權的盈盈虧狀狀況表13.2結果果可用用圖13.6表表示，，從圖圖可看看出，，到期期日現現貨價價格升升高對對組合合持有有者較較有利利，故故稱牛牛市差差價組組合。。標的資產價格范圍看漲期權多頭的盈虧看漲期權空頭的盈虧總盈虧X2―X1―c1X2―2X2―X12―c1X1<<X2―X1―c1c2―X12―c1X11c2c2―c1通過比比較標標的資資產現現價與與協議議價格格的關關系，，我們們可以以把牛牛市差差價期期權分分為三三類：：兩兩虛值值期權權組合合，指指兩個個協議議價格格均比比現貨貨價格格高；；多多頭實實值期期權加加空頭頭虛值值期權權組合合，指指多頭頭期權權的協協議價價格比比現貨貨價格格低，，而空空頭期期權的的協議議價格格比現現貨價價格高高；兩實實值期期權組組合，，指兩兩個協協議價價格均均比現現貨價價格低低。此外，，一份份看跌跌期權權多頭頭與一一份同同一期期限、、較高高協議議價格格的看看跌期期權空空頭組組合也也是牛牛市差差價組組合，，如圖圖13.7所示示。比較看看漲期期權的的牛市市差價價與看看跌期期權的的牛市市差價價組合合可以以看，，前者者期初初現金金流為為負，，后者者為正正，但但前者者的最最終收收益可可能大大于后后者。。2．熊熊市市差價價組合合熊市差差價（（））組合合剛好好跟牛牛市差差價組組合相相反，，它可可以由由一份份看漲漲期權權多頭頭和一一份相相同期期限、、協議議價格格較低低的看看漲期期權空空頭組組成（（如圖圖13.8所示示）也也可以以由一一份看看跌期期權多多頭和和一份份相同同期限限、協協議價價格較較低的的看跌跌期權權空頭頭組成成（如如圖13.9所所示））?？礉q期期權的的熊市市差價價組合合和看看跌期期權的的熊市市差價價組合合的差差別在在于，，前者者在期期初有有正的的現金金流，，后者者在期期初則則有負負的現現金流流，但但后者者的最最終收收益可可能大大于前前者。。通過比比較牛牛市和和熊市市差價價組合合可以以看出出，對對于同同類期期權而而言，，凡““買低低賣高高”的的即為為牛市市差價價策略略，而而“買買高賣賣低””的即即為熊熊市差差價策策略，，這里里的““低””和““高””是指指協議議價格格。兩兩者的的圖形形剛好好與X軸對對稱。。3．蝶蝶式式差價價組合合蝶式差差價（（））組合合是由由四份份具有有相同同期限限、不不同協協議價價格的的同種種期權權頭寸寸組成成。若X1<X2<X3，，且X2=（X13）/2，，則蝶蝶式差差價組組合有有如下下四種種：看漲漲期權權的正正向蝶蝶式差差價組組合，，它由由協議議價格格分別別為X1和和X3的看看漲期期權多多頭和和兩份份協議議價格格為X2的的看漲漲期權權空頭頭組成成，其其盈虧虧分布布圖如如圖13.10所示示；看漲漲期權權的反反向蝶蝶式差差價組組合，，它由由協議議價格格分別別為X1和和X3的看看漲期期權空空頭和和兩份份協議議價格格為X2的的看漲漲期權權多頭頭組成成，其其盈虧虧圖剛剛好與與圖13.10相相反；；看跌跌期權權的正正向蝶蝶式差差價組組合，，它由由協議議價格格分別別為X1和和X3的看看跌期期權多多頭和和兩份份協議議價格格為X2的的看跌跌期權權空頭頭組成成，其其盈虧虧圖如如圖13.11所示示?？吹跈鄼嗟姆捶聪虻讲畈顑r組組合，，它由由協議議價格格分別別為X1和和X3的看看跌期期權空空頭和和兩份份協議議價格格為X2的的看跌跌期權權多頭頭組成成，其其盈虧虧圖與與圖13.11剛好好相反反。圖13.10看看漲漲期權權的正正向蝶蝶式差差價組組合圖圖13.11看看跌期期權的的正向向蝶式式差價價組合合三、差差期期組合合差期（（））組合合是由由兩份份相同同協議議價格格、不不同期期限的的同種種期權權的不不同頭頭寸組組成的的組合合。它它有四四種類類型：：一份份看漲漲期權權多頭頭與一一份期期限較較短的的看漲漲期權權空頭頭的組組合，，稱看看漲期期權的的正向向差期期組合合。一份份看漲漲期權權多頭頭與一一份期期限較較長的的看漲漲期權權空頭頭的組組合，，稱看看漲期期權的的反向向差期期組合合。一份份看跌跌期權權多頭頭與一一份期期限較較短的的看跌跌期權權空頭頭的組組合，，稱看看跌期期權的的正向向差期期組合合。一份份看跌跌期權權多頭頭與一一份期期限較較長的的看跌跌期權權空頭頭的組組合，，稱看看跌期期權的的反向向差期期組合合?？礉q期期權的的正向向差期期組合合的盈盈虧分分布情情況見見表13.3。。表13.3看漲漲期權權的正正向差差期組組合的的盈虧虧狀況況根據表表13.3，我我們可可以畫畫出看看漲期期權正正向差差期組組合的的盈虧虧分布布圖如如圖13.12所示示。的范圍看漲期權多頭的盈虧看漲期權空頭的盈虧總盈虧趨近―X―c1X―2趨近c2―c1c1T―c1c2c2―c11T0趨近1c2趨近c2―c1用同樣樣的分分析法法我們們可以以畫出出看跌跌期權權正向向差期期組合合的盈盈虧分分布圖圖如圖圖13.13所所示。?？吹跈鄼喾聪蛳虿钇谄诮M合合的盈盈虧分分布圖圖正好好與圖圖13.13相相反，，也從從略。。四、對對角組組合對角組組合（（））是指指由兩兩份協協議價價格不不同（（X1和X2，，且X1<X2）、、期限限也不不同（（T和和T*，且且T<T*）的的同種種期權權的不不同頭頭寸組組成。。它有有八種種類型型：1．看看漲漲期權權的（（X1，T*））多頭頭加（（X2，T）空空頭組組合。。表13.4看看漲漲期權權的正正向差差價和和差期期組合合根據表表13.4，我我們可可以畫畫出看看漲期期權的的正向向差價價和差差期組組合的的盈虧虧分布布圖如如圖13.14所示示。2.看漲期期權的（X1，T*）空頭加加（X2，，T）多頭頭組合。其其盈虧圖與與圖13.14剛好好相反的范圍(X1,T*)多頭的盈虧(X2,T)空頭的盈虧總盈虧趨近于―X1―c1X2―2趨近X2―X12－c12X2―X11T―c1c2X2―X12―c11T0趨近1c2趨近c2―c13.看看漲期權的的（X2，，T*）多多頭加（X1，T））空頭組合合。4.看看漲期權的的（X2，，T*）空空頭加（X1，T））多頭組合合，其盈虧虧分布圖與與圖13.15剛好好相反。5.看看跌期權的的（X1，，T*）多多頭加（X2，T））空頭組合合，其盈虧虧圖如圖13.16所示。6.看看跌期權權的（X1，T*））空頭加（（X2，T）多頭組組合，其盈盈虧圖與圖圖13.16剛好相相反。7.看跌跌期權的（（X2，T*）多頭頭加（X1，T）空空頭組合，，其盈虧圖圖如圖13.17所所示。8.看跌跌期權的（（X2，T*）空頭頭加（X1，T）多多頭組合，，其盈虧圖圖與圖13.17剛剛好相反。。五、混合期期權1．跨式式組合（））：由具有有相同協議議價格、相相同期限的的一份看漲漲期權和一一份看跌期期權組成。?？缡浇M合合分為兩種種：底部跨跨式組合和和頂部跨式式組合。前前者由兩份份多頭組成成，后者由由兩份空頭頭組成。底部跨式組組合的盈虧虧圖如圖13.18所示，頂頂部跨式組組合的盈虧虧圖與圖13.18剛好相反反。2．條條式組合合和帶式式組合條式組合合（）由由具有相相同協議議價格、、相同期期限的一一份看漲漲期權和和兩份看看跌期權權組成。。條式組組合也分分底部和和頂部兩兩種，前前者由多多頭構成成，后者者由空頭頭構成。。底部條式式組合的的盈虧圖圖如圖13.19所示示，頂部部條式組組合的盈盈虧圖剛剛好相反反。帶式組合合（）由由具有相相同協議議價格、、相同期期限的資資產的兩兩份看漲漲期權和和一份看看跌期權權組成，，帶式組組合也分分底部和和預部兩兩種，前前者由多多頭構成成，后者者由空頭頭構成。。底部帶式式組合的的盈虧圖圖如圖13.20所示示，頂部部帶式組組合的盈盈虧圖剛剛好相反反。3．寬寬跨式組組合。寬跨式組組合（））由相同同到期日日但協議議價格不不同的一一份看漲漲期權和和一份看看跌期權權組成，，其中看看漲期權權的協議議價格高高于看跌跌期權。。寬跨式式組合也也分底部部和頂部部，前者者由多頭頭組成，，后者由由空頭組組成。前前者的盈盈虧圖如如圖13.21所示。。后者的的盈虧圖圖剛好相相反。第三節(jié)期期權權定價的的理論基基礎一、弱式式效率市市場假說說與馬爾爾可夫過過程1965年，法法瑪（EF）提出出了著名名的效率率市場假假說。該該假說認認為，投投資者都都力圖利利用可獲獲得的信信息獲得得更高的的報酬；；證券價價格對新新的市場場信息的的反應是是迅速而而準確的的，證券券價格能能完全反反映全部部信息；；市場競競爭使證證券價格格從一個個均衡水水平過渡渡到另一一個均衡衡水平，，而與新新信息相相應的價價格變動動是相互互獨立的的，或稱稱隨機的的，因此此效率市市場假說說又稱隨隨機漫步步理論。。效率市場場假說可可分為三三類：弱弱式、半半強式和和強式。。弱式效率率市場假假說認為為，證券券價格變變動的歷歷史不包包含任何何對預測測證券價價格未來來變動有有用的信信息，也也就是說說不能通通過技術術分析獲獲得超過過平均收收益率的的收益。。半強式效效率市場場假說認認為，證證券價格格會迅速速、準確確地根據據可獲得得的所有有公開信信息調整整，因此此以往往的價格格和成交交量等技技術面信信息以及及已公布布的基本本面信息息都無助助于挑選選出價格格被高估估或低估估的證券券。強式效率率市場假假說認為為，不僅僅是已公公布的信信息，而而且是可可能獲得得的有關關信息都都已反映映在股價價中，因因此任何何信息（（包括““內幕信信息”））對挑選選證券都都沒有用用處。效率市場場假說提提出后，，許多學學者運用用各種數數據對此此進行了了實證分分析。結結果發(fā)現現，發(fā)達達國家的的證券市市場大體體符合弱弱式效率率市場假假說。弱式效率率市場假假說可用用馬爾可可夫隨機機過程（（））來表述述。所謂隨機機過程是是指某變變量的值值以某種種不確定定的方式式隨時間間變化的的過程。。根據時時間是否否連續(xù)，，隨機過過程可分分為離散散時間隨隨機過程程和連續(xù)續(xù)時間隨隨機過程程，前者者是指變變量只能能在某些些分離的的時間點點上變化化的過程程，后者者指變量量可以在在連續(xù)的的時間段段變化的的過程。。根據變變量取值值范圍是是否連續(xù)續(xù)劃分，，隨機過過程可分分為離散散變量隨隨機過程程和連續(xù)續(xù)變量隨隨機過程程，前者者指變量量只能取取某些離離散值，，而后者者指變量量可以在在某一范范圍內取取任意值值。馬爾可夫夫過程是是一種特特殊類型型的隨機機過程。。在這個個過程中中，只有有變量的的當前值值才與未未來的預預測有關關，變量量過去的的歷史和和變量從從過去到到現在的的演變方方式與未未來的預預測無關關。（一）標標準布朗朗運動設代代表一一個小的的時間間間隔長度度，代代表變變量z在在時間內的的變化，，遵循標標準布朗朗運動的的具有兩兩種特征征：特征1：：和和的的關關系滿足足＝（（13.21））特征2：：對于任任何兩個個不同時時間間隔隔，，的值相互互獨立。。從特征1可知，，本本身也具具有正態(tài)態(tài)分布特特征，其其均值為為0，標標準差為為，，方方差為。。從特征2可知，，標準布布朗運動動符合馬馬爾可夫夫過程，，因此是是馬爾可可夫過程程的一種種特殊形形式?，F在我們們來考察察遵循標標準布朗朗運動的的變量z在一段段較長時時間T中中的變化化情形。。我們用用z（T）－z(0)表示變變量z在在T中的的變化量量，它可可被看作作是在N個長度度為的的小小時間間間隔中z的變化化總量，，其中，，因因此，（13.22））其中(1，，2，………N））是標準準正態(tài)分分布的隨隨機抽樣樣值。從從特征2可知，，是相互互獨立的的，因此此z（T）（0）也具具有正態(tài)態(tài)分布特特征，其其均值為為0，方方差為N，標標準差為為。。由此我們們可以發(fā)發(fā)現兩個個特征：：在任任意長度度的時間間間隔T中，遵遵循標準準布朗運運動的變變量的變變化值具具有均值值為0，，標準差差為的正正態(tài)分布布。對對于相互互獨立的的正態(tài)分分布，方方差具有有可加性性，而標標準差不不具有可可加性。。當0時時，我們們就可以以得到極極限的標標準布朗朗運動：：（13.23））（二）普普通布朗朗運動為了得到到普通的的布朗運運動，我我們必須須引入兩兩個概念念：漂移移率和方方差率。。漂移率率（））是指單單位時間間內變量量z均值值的變化化值。方方差率（（）是是指單位位時間的的方差。。標準布朗朗運動的的漂移率率為0，，方差率率為1.0。漂漂移率為為0意味味著在未未來任意意時刻z的均值值都等于于它的當當前值。。方差率率為1.0意味味著在一一段長度度為T的的時間段段后，z的方差差為1.0T。我們們令漂移移率的期期望值為為a,方方差率的的期望值值為b2，就可可得到變變量x的的普通通布朗運運動：從式（13.21）和和（13.24）可知知，在短短時間后后，x值值的變化化值為：：因此，ΔΔx也具具有正態(tài)態(tài)分布特特征，其其均值為為，，標標準差為為，，方差差為。。同樣，，在任意意時間長長度T后后x值的的變化也也具有正正態(tài)分布布特征，，其均值值為，標標準差為為，，方差差為b2T。三、證券券價格的的變化過過程證證券價價格的變變化過程程可以用用普遍布布朗運動動來描述述。但由由于投資資者關心心的是證證券價格格的變動動幅度而而不是變變動的絕絕對值，，因此我我們可以以用證券券價格比比例的方方式來定定義證券券價格的的布朗運運動：（13.25））其中S表表示證券券價格，，μ表示示證券在在單位時時間內以以連續(xù)復復利計算算的期望望收益率率（又稱稱預期收收益率）），表表示示證券收收益率單單位時間間的方差差，表表示示證券收收益率單單位時間間的標準準差，簡簡稱證券券價格的的波動率率（），，遵循標標準布朗朗運動。。從（13.21）和上上式可知知，在短短時間后后，，證券價價格比率率的變化化值為：：則可得（（13.26）我們將在在下文證證明，衍衍生證券券的定價價與標的的資產的的預期收收益率是是無關的的。相反反，證券券價格的的波動率率對于衍衍生證券券的定價價則是相相當重要要的。應該注意意的是，，由于比比例變化化不具有有可加性性，因因此我們們并不能能象以前前一樣推推導出在在任意時時間長度度T后證證券價格格比例變變化的標標準差為為。。四、伊藤藤過程和和伊藤引引理普通布朗朗運動假假定漂移移率和方方差率為為常數，，若把變變量x的的漂移率率和方差差率當作作變量x和時間間t的函函數，我我們可以以從公式式（13.24）得到到伊藤過過程（））：（（13.27）其中，是是一個標標準布朗朗運動，，a、b是變量量x和t的函數數，變量量x的漂漂移率為為a，方方差率為為b2。。在伊藤過過程的基基礎上，，伊藤進進一步推推導出：：若變量量x遵循循伊藤過過程，則則變量x和t的的函數G將遵循循如下過過程：（13.28）公式（13.28）就是是著名的伊藤藤引理。從式（13.25）中，，我們可得：：（13.29）我們知道，衍衍生證券的價價格是標的證證券價格S和和時間t的函函數。根據伊伊藤引理，衍衍生證券的價價格G應遵循循如下過程：：（13.30）比較式（13.29）和和(13.30)可看出出，衍生證券券價格G和標標的證券價格格S都受同一一個基本的不不確定性來源源的影響，這這點對于以后后推導衍生證證券的定價公公式很重要。。五、證券價格格自然對數變變化過程我們可用伊藤藤引理來推導導證券價格自自然對數變化化所遵循的隨隨機過程。令我們就可得出出證券價格對對數G所遵循循的隨機過程程為：令t時刻G的的值為，T時時刻G的值為為，其中S表表示t時刻（（當前時刻））的證券價格格，表示T時時刻（將來時時刻）的證券券價格，則在在T－t期間間G的變化為為：這意味著：（（13.31）根據正態(tài)分布布的特性，從從式（13.31）可以以得到：（13.32）這表明服從對對數正態(tài)分布布。的標準差差與成比例，，這說明證券券價格對數的的不確定性（（用標準差表表示）與我們們考慮的未來來時間的長度度的平方根成成正比。這就就解決了前面面所說的證券券價格比例變變化的標準差差與時間不成成正比的問題題。根據式（13.32）和和對數正態(tài)分分布的特性,可知的期望望值E()為為：這與作為預期期收益率的定定義相符。的的方差()為為:第四節(jié)布布萊克——舒舒爾斯期權定定價模型一、布萊克———舒爾斯微微分方程推導布萊克———舒爾斯微微分方程需要要用到如下假假設：證券價格遵循循幾何布朗過過程，即和為為常數；允許賣空標的的證券；沒有交易費用用和稅收，所所有證券都是是完全可分的的；在衍生證券有有效期內標的的證券沒有現現金收益支付付；不存在無風險險套利機會；；證券交易是連連續(xù)的，價格格變動也是連連續(xù)的；在衍生證券有有效期內，無無風險利率r為常數。實際上，有些些假設條件我我們可以放松松，如、和r可以是t的的函數。（一）布萊克克——舒爾斯斯微分方程的的推導（13.35）（13.36）我們可以構建建一個包括一一單位衍生證證券空頭和單單位標標的證券多頭頭的組合。令代表該投投資組合的價價值，則：（13.37）在時間后，該該投資組合的的價值變化為為：在沒有套利機機會的條件下下：我們代入和和，，則可得著著名的布萊克克——舒爾斯斯微分分程：：布萊克——舒舒爾斯微分分分程適用于其其價格取決于于標的證券價價格S的所有有衍生證券的的定價。應該注意的是是，當S和t變化時，的的值也也會變化，因因此上述投資資組合的價值值并不是永遠遠無風險的，，它只是在一一個很短的時時間間隔中才才是無風險的的。在一個較較長時間中，，要保持該投投資組合無風風險，必須根根據的的變化而相應應調整標的證證券的數量。。當然，推導導布萊克———舒爾斯微分分方程并不要要求調整標的的證券的數量量，因為它只只關心中中的變化。。（二）風險中中性定價原理理從上可以看出出受制于主觀觀的風險收益益偏好的標的的證券預期收收益率并未包包括在衍生證證券的價值決決定公式中。。這意味著，無無論風險收益益偏好狀態(tài)如如何，都不會會對f的值產產生影響。于是，我們就就可以利用布布萊克——舒舒爾斯微分方方程所揭示的的這一特性，，作出一個可可以大大簡化化我們工作的的簡單假設：：在對衍生證券券定價時，所所有投資者都都是風險中性性的。這就是是風險中性定定價原理。為了更好地理理解風險中性性定價原理，，我們可以舉舉一個簡單的的例子來說明明。（見書書）二、布萊克———舒爾斯期期權定價公式式在風險中性的的條件下，歐歐式看漲期權權到期時（T時刻）的期期望值為：根據風險中性性定價原理，，歐式看漲期期權的價格c等于將此期期望值按無風風險利率進行行貼現后的現現值，即：（13.41）對式（13.41）右邊邊求值是一種種積分過程，，結果為：其中，由于歐式看漲漲期權和看跌跌期權之間存存在平價關系系,可得(d1)是的的價值(d2)是X份看漲期權權空頭的價值值。N(d2)是是在風險中性性世界中期權權被執(zhí)行的概概率，或者說說大于X的概概率，(d2)是X的的風險中性期期望值的現值值。(d1)是得到的的風險中性期期望值的現值值。是復制交易策策略中股票的的數量，（d1)就是股股票的市值,(d2)則是復制交交易策略中負負債的價值。。三、有收益資資產的期權定定價公式（一）有收益益資產歐式期期權的定價公公式在收益已知情情況下，我們們可以把標的的證券價格分分解成兩部分分：期權有效效期內已知現現金收益的現現值部分和一一個有風險部部分。當標的證券已已知收益的現現值為I時，，我們只要用用（S－I））代替S即可可求出固定收收益證券歐式式看漲和看跌跌期權的價格格。當標的證券的的收益為按連連續(xù)復利計算算的固定收益益率q（單位位為年）時，，我們只要將將代替S就可可求出支付連連續(xù)復利收益益率證券的歐歐式看漲和看看跌期權的價價格，從而使使布萊克———舒爾斯的歐歐式期權定價價公式適用歐歐式貨幣期權權和股價指數數期權的定價價。對于歐式期貨貨期權，布萊萊克教授也給給出了定價公公式：其中，例子見書.（二）有收益益資產美式期期權的定價1．美式看漲漲期權當標的資產有有收益時，美美式看漲期權權就有提前執(zhí)執(zhí)行的可能，，因此有收益益資產美式期期權的定價較較為復雜，布布萊克提出了了一種近似處處理方法。該該方法是先確確定提前執(zhí)行行美式看漲期期權是否合理理，其方法我我們在本章第第一節(jié)已論述述過。若不合合理，則按歐歐式期權處理理；若在提前前執(zhí)行有可能能是合理的，，則要分別計計算在T時刻刻和時刻到期期的歐式看漲漲期權的價格格，然后將二二者之中的較較大者作為美美式期權的價價格。在大多多數情況下，，這種近似效效果都不錯。。2．美式看跌跌期權由于收益雖然然使美式看跌跌期權提前執(zhí)執(zhí)行的可能性性減小，但仍仍不排除提前前執(zhí)行的可能能性，因此有有收益美式看看跌期權的價價值仍不同于于歐式看跌期期權，它也只只能通過較復復雜的數值方方法來求出。。第五節(jié)二二叉樹期權定定價摸型由于美式看跌跌期權無法用用布萊克———舒爾斯期權權定價公式進進行精確定價價，因此要用用其它替代方方法，如二叉叉樹期權定價價模型，該模模型是由科克克斯（）、羅羅斯()和魯魯賓斯坦()于1979年首先提出出的。一、無收益資資產期權的定定價二叉樹模型首首先把期權的的有效期分為為很多很小的的時間間隔，，并假設在每每一個時間間間隔內證券價價格從開始的的S運動到兩兩個新值和中中的一個，如如圖13.22所示。其其中，u>1，d<1，，且1圖13.22T時間內內證券價格的的變動為了對期權進進行定價，二二叉樹模型也也應用風險中中性定價原理理并假定：（1）所有可可交易證券的的期望收益都都是無風險利利率；（2）未來現現金流可以用用其期望值按按無風險利率率貼現來計算算現值。S0u

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–p)（一）參數p、u和d的的確定參數p、u和和d的值必須須滿足這個要要求，即：根據本章第2節(jié)的討論，，在一個小時時間段內證券券價格變化的的方差是。。根據方差的的定義，變量量X的方差等等于X2的期期望值與X期期望值平方之之差，因此：：由上可得，，（二）證券券價格的樹樹型結構應用二叉樹樹模型來表表示證券價價格變化的的完整樹型型結構如圖圖13.23所示。。圖13.23證證券價格的的樹型結構構當時間為0時，證券券價格為S。時間間為t時時，證券價價格要么上上漲到，要要么下降到到；時間為為2t時，證券券價格就有有三種可能能：2、（（等于S））和2，以以此類推。。一般而言言，在時刻刻it，證券券價格有1種可能，，它們可用用符號表示示為：其中0，1，2，………，i（三）倒推推定價法由于在T時時刻的期權權價值是已已知的。所所以在二二叉樹模型型中，期權權定價從樹樹型結構圖圖的末端T時刻開始始，采用倒倒推法定價價。例：S0=50;X=50;r=10%;s=40%;T=5=0.4167;=1=0.0833則可得：u=1.1224;d=0.8909;a=1.0084;p=0.5076據此我們可可以畫出該該股票在期期權有效期期內的樹型型圖，如下下圖：在時刻，股股票在第j個結點（（0，1，，2，………i）的價價格等于。。例如，F結點（4，1）的的股價等于于。在最后后那些結點點處，期權權價值等于于。例如，，G結點的的期權價格格等于50－35.36=14.64。從最后一列列結點處的的期權價值值可以計算算出倒數第第二列結點點的期權價價值。首先先，我們假假定在這些些結點處期期權沒被提提前執(zhí)行。。這意味著著所計算的的期權價值值是時間內內期權價值值期望值的的現值。如如E結點點處的期權權價值等于于：而F結點處處的期權價價值等于：：然后，我們們要檢查提提前執(zhí)行期期權是否較較有利。在在E結點，，提前執(zhí)行行將使期權權價值為0，所以以不應提前前執(zhí)行。而而在F結點點，如果提提前執(zhí)行，，期權價值值等于50.00－－39.69元，等等于10.31元，，大于上述述的9.90元。因因此，若股股價到達F結點，就就應提前執(zhí)執(zhí)行。用相同的方方法我們可可以算出各各結點處的的期權價值值，并最終終倒推算出出初始結點點處的期權權價值為4.48元元。（四）美式式看跌期權權的定價公公式其中0，1，2，………，N假定期權不不被提前執(zhí)執(zhí)行，則在在風險中性性條件下：：如果考慮提提前執(zhí)行的的可能性的的話，式中中的必須與與期權的內內在價值比比較，由此此可得：按這種倒推推法計算，，當時間區(qū)區(qū)間的劃分分趨于無窮窮大，或者者說當每一一區(qū)間趨于于0時，就就可以求出出美式看跌跌期權的準準確價值。。根據實踐踐經驗，一一般將時間間區(qū)間分成成30個就就可得到較較為理想的的結果。二、有收益益資產期權權的定價（一）支付付連續(xù)復利利收益率資資產的期權權定價當標的資產產支付連續(xù)續(xù)復利收益益率q的收收益時，在在風險中性性條件下，，證券價格格的增長率率應該為r－q，因因此可得得：對于股價指指數期權來來說，q為為股票組組合的紅利利收益率；；對于外匯匯期來說，，q為國外外無風險利利率，因此此上式也可可用于股價價指數和外外匯的美式式看跌期權權的定價。。對于期貨期期權來說，，布萊克曾曾證明，在在對期貨期期權定價時時期貨的價價格可以和和支付連續(xù)續(xù)紅利率r的證券同同樣對待，，因此對于于期貨期權權而言，，，即：因此，也就就可用于美美式期貨看看跌期權的的定價。（二）支付付已知收益益資產的期期權定價1．已知紅紅利率若標的資產產在未來某某一確定時時間將支付付已知收益益率，我我們只要調調整在各個個結點上的的證券價格格就可算出出期權價格格。調整方方法如下：：如果時刻i在除權權日之前，，則結點處處證券價格格仍為：如果時刻i在除權權日之后，，則結點處處證券價格格相應調整整為：0，1，………對在期權有有效期內有有多個已知知紅利率的的情況，也也可進行同同樣處理。。若δi為為0時刻到到時刻之間間所有除權權日的紅利利支付率，，則時刻結結點的相應應的證券價價格為：2．已知紅紅利額若標的資產產在未來某某一確定日日期將支付付已知數額額的收益，，則除權后后樹枝將不不再重合，，這意味著著所要估算算的結點的的數量可能能變得很大大，特別是是如果支付付多次已知知數額收益益的話。為了簡化起起見，我們們仍可以把把證券價格格分為兩個個部分：一一部分是不不確定的，，而另一部部分是期權權有效期內內所有未來來紅利的現現值。假設設在期權有有效期內只只有一個除除息日，而且x時刻不確確定部分的的價值S*為：：當x>時當x<=時其中D表示收益金金額。設為為S*的標準差，，假設是是常數數，這樣就就可用通常常的方法構構造出模擬擬S*的二叉樹了了。通過把未來來收益現值值加在每個個結點的證證券價格上上，就會使使原來的二二叉樹轉化化為另一個個模擬S的二叉樹。。在iDt時