第四章三角函數、解三角形第一節(jié)任意角的概念與弧度制、任意角的三角函數【教材·知識梳理】1.任意角的概念(1)角的概念：角可以看成平面內一條射線繞著它的_____從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形.(2)角的分類：按旋轉方向分為___角、___角、___角；按終邊位置分為_____角、_____角.(3)終邊相同的角：與角α終邊相同的角的集合：S={β|β=__________________}.端點正負零象限軸線α+k·360°，k∈Z2.弧度制(1)長度等于_______的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角；1弧度=______.(2)弧長、扇形面積的公式：設扇形的弧長為l，圓心角大小為α(rad)，半徑為r，則l=______，扇形的面積為S=______=__________.半徑長α·r3.任意角的三角函數(1)定義設點P(x，y)是角α終邊上任意一點且不與原點重合，r=|OP|，則sinα=，cosα=，tanα=.(x≠0).(2)三角函數線【常用結論】1.明晰角的概念(1)第一象限角未必是銳角，但銳角一定是第一象限角.(2)不相等的角未必終邊不相同，終邊相同的角也未必相等.2.兩個關注點(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.(2)在同一個問題中采用的度量制度必須一致，不能混用.3.一個口訣三角函數值在各象限的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦.4.三角函數定義的推廣設點P(x，y)是角α終邊上任意一點且不與原點重合，r=|OP|，則sinα=，cosα=，tanα=.【知識點辨析】(正確的打“√”，錯誤的打“×”)

(1)小于90°的角是銳角. (

)(2)銳角是第一象限角，反之亦然. (

)(3)將表的分針撥快5分鐘，則分針轉過的角度是30°. (

)(4)相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等. (

)提示：(1)×.銳角的取值范圍是.(2)×.第一象限角不一定是銳角.(3)×.順時針旋轉得到的角是負角.(4)×.終邊相同的角不一定相等.【易錯點索引】序號易錯警示典題索引1結果要表示成集合形式考點一、T22在弧長公式中，注意角的大小用弧度制，不是角度制考點二、T13用定義求三角函數值，注意判斷符號考點三、角度3T2【教材·基礎自測】1.(必修4P5例2改編)角-870°的終邊所在的象限是(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.-870°=-2×360°-150°，-870°和-150°的終邊相同，所以-870°的終邊在第三象限.2.(必修4P12練習BT5改編)下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是(

)A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)【解析】選C.由定義知終邊相同的角的表達式中不能同時出現角度和弧度,應為+2kπ或k·360°+45°(k∈Z).3.(必修4P17練習AT1改編)已知角α的終邊過點P(8m,3),且cosα=-,則m的值為 (

)A.- B. C.- D.【解析】選A.由已知得m<0且,解得m=-.4.(必修4P6例4改編)在-720°～0°范圍內,所有與角α=45°終邊相同的角β構成的集合為________.

【解析】所有與角α終邊相同的角可表示為:β=45°+k×360°(k∈Z),則令-720°≤45°+k×360°<0°(k∈Z),得-765°≤k×360°<-45°(k∈Z).解得k=-2或k=-1,所以β=-675°或β=-315°.答案:{-675°,-315°}核心素養(yǎng)直觀想象——利用三角函數線解不等式

【典例】函數y=lg(3-4sin2x)的定義域為________.

【解析】因為3-4sin2x>0,所以sin2x<,所以-<sinx<.利用三角函數線畫出x滿足條件的終邊范圍(如圖陰影部分所示),

所以x∈(k∈Z).答案:(k∈Z)【思想方法指導】根據三角函數值的范圍,確定角的終邊在單位圓中的區(qū)域,可寫出解集.【遷移應用】在(0,2π)內,使sinx>cosx成立的x的取值范圍為________.

【解析】如圖所示,找出在(0,2π)內