基于切線特征的數(shù)碼相機(jī)定位摘要本文依據(jù)成像原理，通過應(yīng)用圖像處理和物、像的不變性質(zhì)來確定坐標(biāo)。采用了幾何線性定標(biāo)模型來標(biāo)定相機(jī)的相對(duì)位置。對(duì)于問題一，本文建立了基于圖像處理的圓心搜索模型，模型在對(duì)公切線定點(diǎn)可行性的論證根底上，建立了圖像圓心搜索算法，從而確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo)。對(duì)于問題二，運(yùn)用了技術(shù)對(duì)具體圖像進(jìn)行去噪處理，按照?qǐng)A心搜索算法對(duì)任一個(gè)圓相對(duì)其余各圓求解圓心在像坐標(biāo)上的多個(gè)估計(jì)值，計(jì)值求均值消除誤差后作為圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo)。具體結(jié)果見下表〔以像素坐標(biāo)系的結(jié)果見正文表3〕：圓圓心坐標(biāo)圓A圓B圓C圓D圓E圖像坐標(biāo)系x坐標(biāo)值-54.2857-49.51-44.673131.35y坐標(biāo)值-50.1455-24.4634.3419.74-59.25對(duì)于問題三，基于三個(gè)在同一條直線上的圓心其像在像平面坐標(biāo)仍在一條直線上，通過相機(jī)拍攝試驗(yàn)分別找到不同相機(jī)分辨力不同角度下的相片對(duì)其處理，檢驗(yàn)三個(gè)圓心兩兩連線的夾角，得到誤差偏角。誤差偏角的均值反響了模型的精度，方差變化影響穩(wěn)定性。這里求得誤差偏角的均值在0.02，方差在0.002以內(nèi)。對(duì)于問題四，建立幾何線性定位模型，得到兩個(gè)相機(jī)的外部參數(shù)。通過兩個(gè)相機(jī)外部參數(shù)求解得到兩個(gè)相機(jī)間的旋轉(zhuǎn)矩陣，平移向量及距離見正文表6。關(guān)鍵詞：幾何模型算法切線幾何線性定標(biāo)一、問題重述數(shù)碼相機(jī)定位是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相片確定物體外表某些特征點(diǎn)的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機(jī)來定位。該方法的根本思想是首先用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝得物體的像，分別獲得物體上一個(gè)特征點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)；然后根據(jù)兩部相機(jī)精確的相對(duì)位置，利用幾何的知識(shí)確定該點(diǎn)的位置。對(duì)于雙目定位，精確地標(biāo)定兩部相機(jī)的相對(duì)位置就是關(guān)鍵。標(biāo)定的一種方法是設(shè)計(jì)一個(gè)靶標(biāo)，靶標(biāo)可以由假設(shè)干個(gè)圓組成，同時(shí)用這兩部相機(jī)照相，分別得到各圓圓心在他們像平面的像點(diǎn)，根據(jù)像點(diǎn)的幾何關(guān)系就可以得到這兩部相機(jī)的相對(duì)位置?，F(xiàn)在設(shè)計(jì)靶標(biāo)如下：取1個(gè)邊長為100mm的正方形，分別以四個(gè)頂點(diǎn)〔對(duì)應(yīng)為A、C、D、E〕為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點(diǎn)30mm處的B為圓心，半徑作圓。同時(shí)給定了一部固定相機(jī)所攝的像?，F(xiàn)就相機(jī)定位理論以及給定的靶標(biāo)解決以下幾個(gè)問題：1.建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo),這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的光學(xué)中心，平面平行于像平面；2.根據(jù)問題給出的靶標(biāo)及其像，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo),該相機(jī)的像距〔即光學(xué)中心到像平面的距離〕是1577個(gè)像素單位(1毫米約為3.78個(gè)像素單位)，相機(jī)分辨率為1024×768；3.設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)?zāi)銈兊哪Ｐ?，并?duì)方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行討論；4.建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的數(shù)學(xué)模型和方法。二、模型假設(shè)與符號(hào)說明1.模型的假設(shè)：1〕.問題中所給的圖片真實(shí)可靠。2〕.假設(shè)相機(jī)的攝像過程中，靶標(biāo)同一條直線上的所有點(diǎn)的投影像仍然在同一條直線上。不考慮非線性畸變的影響。2.符號(hào)說明：圖像信息儲(chǔ)存矩陣.第個(gè)圓在圖像中的信息矩陣.世界坐標(biāo)系.照相機(jī)坐標(biāo)系.圖像坐標(biāo)系.像素坐標(biāo)系.固定照相機(jī)偏航角.固定照相機(jī)俯仰角.固定照相機(jī)旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)矩陣，屬于相機(jī)的外部參數(shù).平移向量，屬于相機(jī)的外部參數(shù).三、問題分析所謂照相機(jī)的定位就是確定照相機(jī)內(nèi)部和外部參數(shù)。而相機(jī)參數(shù)確實(shí)定關(guān)鍵在于點(diǎn)在像平面的坐標(biāo)值的計(jì)算。點(diǎn)在像平面的坐標(biāo)值越精確，相機(jī)參數(shù)的計(jì)算越理想，標(biāo)定結(jié)果就越優(yōu)。對(duì)于問題一，考慮到任意兩個(gè)遠(yuǎn)離的圓的兩條平行的公切線的切點(diǎn)在同一個(gè)圓上的連線必過圓心這一性質(zhì)，利用三個(gè)圓間的關(guān)系在每個(gè)圓內(nèi)作兩條直線，就可以對(duì)圓心進(jìn)行標(biāo)定，又考慮到照相機(jī)成像的過程可以用針孔攝像機(jī)模型進(jìn)行模擬，所以只要找尋同一個(gè)圓在像坐標(biāo)平面對(duì)應(yīng)的標(biāo)定點(diǎn)通過平面兩條不平行直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)即可求到靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo)。對(duì)于問題二，對(duì)圖2和圖3按問題一的算法思路進(jìn)行圖像識(shí)別，得到任意兩個(gè)圓的公切線確定的切點(diǎn)所在直線，有4或3條。對(duì)其進(jìn)行兩兩組合，假設(shè)有4條那么可得到種直線相交的方式。即有6個(gè)交點(diǎn)。這6個(gè)點(diǎn)都是靶標(biāo)圓心在像平面的像坐標(biāo)。對(duì)其進(jìn)行平均處理即可求解。對(duì)于問題三，考慮三個(gè)在同一條直線上的圓心在像平面的投影點(diǎn)仍在一條直線上，可以通過相機(jī)拍攝試驗(yàn)分別找到不同相機(jī)分辨率不同角度下的相片對(duì)其處理求取圓心在像平面的坐標(biāo)。檢驗(yàn)三個(gè)圓心兩兩連線的夾角，通過角度的大小及變化關(guān)系討論模型的精度及穩(wěn)定性。對(duì)于問題四，數(shù)碼相機(jī)的定位過程就是相機(jī)內(nèi)外參數(shù)確實(shí)定的過程。模型可以從攝像坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換考慮，建立照相機(jī)成像過程中最主要的三個(gè)坐標(biāo)系：世界坐標(biāo)系、照相機(jī)坐標(biāo)系和圖像坐標(biāo)系。找到各個(gè)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系即可以建立靶標(biāo)圓心坐標(biāo)和圖像圓心坐標(biāo)的線性關(guān)系。求解線性方程，即可得到相機(jī)的各種參數(shù)。四、模型的建立與求解1.問題一基于圖像處理的圓心搜索模型的建立從問題分析的思路，靶標(biāo)上圓的圓心在相機(jī)像平面的像坐標(biāo)確實(shí)定過程應(yīng)該包括模型思路可行性的討論以及具體算法的研究兩個(gè)步驟。1.1.模型思路可行性討論：分析靶標(biāo)上圓心在相機(jī)像平面上的像坐標(biāo)，可以從靶標(biāo)圓心確實(shí)定出發(fā)，通過圓的一般性質(zhì)確定圓心的具體位置。然后考慮相機(jī)攝像的線性畸變特性〔即任一條直線通過相機(jī)攝像后仍然為直線〕，確定圓心的兩條直線在像坐標(biāo)仍然為兩條相交的直線。1〕.靶標(biāo)上圓心的幾何標(biāo)定：在平面幾何中，在同一個(gè)平面內(nèi)，兩條相互不平行的直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)。所以為了標(biāo)定圓心的位置，至少要在圓內(nèi)找到兩條以上的過圓心的直線。考慮兩點(diǎn)確定一條直線，所以至少要三個(gè)圓心不在同一條直線上的圓兩兩作平行公切線才能確定某個(gè)圓的圓心。在靶標(biāo)中任意取三個(gè)圓心不在同一條直線上的圓，分別對(duì)其兩兩求平行的公切線，如下列圖所示：CC4B2C3CA1B1ABA2A3A4B3B4C1C2圖1.靶標(biāo)上圓的圓心標(biāo)定示意圖分析圖形可得，任一個(gè)圓上平行切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)連線在一條直線上并且經(jīng)過圓心?！部梢韵茸C明四邊形和分別為矩形，再證明∠A1AA3為平角?！彻十?dāng)考慮三個(gè)以上圓兩兩作平行公切線時(shí)，任意考慮一個(gè)圓A，其與圓B和圓C所作兩條平行公切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)連線A1A3和A2A4必然都過圓A的圓心A。根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，可以準(zhǔn)確確定A圓的圓心。通過上述方式可以對(duì)各個(gè)圓的圓心進(jìn)行標(biāo)定。2〕.靶標(biāo)上圓與切線關(guān)系的投影不變性討論：照相機(jī)的攝像過程可以通過針孔攝像機(jī)模型進(jìn)行模擬[1]，針孔攝像機(jī)攝像過程滿足光線的直線傳播的性質(zhì)。任意一條直線的經(jīng)針孔攝像后在像平面仍然是直線。所以對(duì)于任意一個(gè)圓在物平面的切線，投影到像平面的像必然是靶標(biāo)圓的像的切線。這里可以用反證法進(jìn)行證明。對(duì)于實(shí)物平面任意一個(gè)圓m，直線l為它的切線。假設(shè)它們經(jīng)過照相機(jī)成像后不再是相切的關(guān)系。只有兩種情況，直線的像與圓的像遠(yuǎn)離或者相割，如果兩者遠(yuǎn)離時(shí)，那么物平面的切點(diǎn)必然對(duì)應(yīng)像平面的兩個(gè)不同點(diǎn)，一個(gè)在圓的像上，另一個(gè)在直線的像上。而根據(jù)針孔成像過程中光線的直線傳播過程，這是不可能的。同理可以證明相割也是不合理的。排除以上兩種情況即得證結(jié)論。根據(jù)以上證明可以對(duì)標(biāo)定實(shí)平面的兩條過切點(diǎn)的直線的像進(jìn)行處理，其交點(diǎn)即為所求的圓心的像平面坐標(biāo)。1.2.圓心搜索算法的研究確定圖像中的各圓的圓心的像坐標(biāo)首先可以讀取圖片得到像素平面上各個(gè)圓的信息，然后找尋靶標(biāo)平面切線的像的關(guān)系，最后將像素平面轉(zhuǎn)換到圖像坐標(biāo)系，具體算法思想如下：創(chuàng)立二維矩陣A，存儲(chǔ)灰度化后的照相機(jī)照攝到的像平面信息。對(duì)圖像信息矩陣A進(jìn)行邊緣檢測，得到像平面中各圓的邊緣線。創(chuàng)立圓信息矩陣，儲(chǔ)存各個(gè)圓的投影在圖像中的邊緣信息。n為靶標(biāo)上圓的個(gè)數(shù)。取兩個(gè)圓的信息矩陣，通過全局搜索找尋圓上平行公切線對(duì)應(yīng)公切點(diǎn)所確定的直線，圓心必在這條直線上。當(dāng)求得兩條以上此直線時(shí)即可以確定圓心。將像素坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到以光心為原點(diǎn)的像平面坐標(biāo)系。的像平面公切線具體算法步驟：1.取兩個(gè)圓的信息矩陣，設(shè)中有個(gè)像素，中有個(gè)像素，分別從中各取一個(gè)點(diǎn)和，作出過這兩點(diǎn)的直線：。2.遍歷上的點(diǎn)，令。3.遍歷上的點(diǎn)，令。4.令，假設(shè)那么直線為圓的外公切線，點(diǎn)和為所求的切點(diǎn)。5.由同一個(gè)圓上的兩個(gè)公切點(diǎn)作直線。那么圓心必在這條直線上。算法具體流程圖見附錄圖。2.問題二的求解：2.1.圖像的預(yù)處理由于圖3在拍攝過程會(huì)受外界噪聲等因素的影響，所以在圖像讀取的過程中，個(gè)別點(diǎn)像素值出現(xiàn)奇異值，對(duì)問題的精確求解產(chǎn)生比擬大的干擾。圖像處理中減少噪聲的常用方法主要是圖像的平滑，而圖像的平滑處理一般由噪聲本身的特性而定。這里考慮噪聲點(diǎn)的隨機(jī)性比擬大，并且兩個(gè)噪聲信號(hào)間的關(guān)系脈寬比擬大，調(diào)用命令利用十字絲窗口對(duì)圖像中的點(diǎn)進(jìn)行中值濾波進(jìn)行去除噪聲處理[2]。2.2.對(duì)圖2進(jìn)行物平面的標(biāo)定BA4BA4圖2.圓B與其它圓的公切線關(guān)系以圓B為例，分別畫出圓B與其它各圓的公切線如上圖所示。一般情況下，與圓B相切的平行的外公切線有4對(duì)，由于圓A,B,C的圓心在同一條直線上，所以這里只有3對(duì)。由這3對(duì)公切線在圓B上的切點(diǎn)可以確定三條直線。由問題一的證明這三條直線必然相交于圓心。在像平面內(nèi)，在圓的像內(nèi)的三條直線從理論上也是相交于一點(diǎn)的。此點(diǎn)就是圓B的圓心在像坐標(biāo)系的像點(diǎn)。2.3.基于問題一算法的求解：對(duì)預(yù)處理后的圖像進(jìn)一步處理，按照問題一算法的思路，得到5個(gè)圓信息矩陣，按照的像平面公切線具體算法步驟求解5個(gè)圓兩兩間的公切線與圓的切點(diǎn)確定的直線。根據(jù)各直線間的相交關(guān)系，得到每個(gè)圓圓心在像平面的像素坐標(biāo)估計(jì)值。程序見附錄。這里以圓A為例得到各種情況下的坐標(biāo)值：表1：圓A在像素坐標(biāo)系的坐標(biāo)值作用圓BE-ABD-ACE-ACD-AED-A平均值坐標(biāo)188.52186.83188.52186.83188.29187.8坐標(biāo)322.6322.95322.6322.95321.14322.45注：表格“作用圓〞行中，橫桿以前的兩個(gè)字母表示確定公切線關(guān)系的兩個(gè)圓，橫桿后面的點(diǎn)表示所求圓的圓心。如BE-A表示圓B和E與圓A作平行公切線得到切點(diǎn)確實(shí)定的坐標(biāo)值，這里為〔188.52，322.6〕。從表格可以看出，不同情況下求得的圓心的像素坐標(biāo)值是有波動(dòng)的。為了消除這種波動(dòng)誤差，這里對(duì)不同情況下求得的圓心坐標(biāo)進(jìn)行平均，即：，，即可得到A圓圓心在像坐標(biāo)系的坐標(biāo)值〔見上表格中的平均值〕。像素坐標(biāo)系的坐標(biāo)值是建立在像素單元的根底上，坐標(biāo)原點(diǎn)是圖像的左上角，按照問題的要求，靶標(biāo)圓的圓心在像平面的坐標(biāo)值，應(yīng)該是原點(diǎn)在相機(jī)的光心，x-y平面平行于像平面的坐標(biāo)系上的值。根據(jù)題設(shè)給出的條件可以得到：單個(gè)像素單元的寬度是像坐標(biāo)系的原點(diǎn)為；坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式為：根據(jù)以上坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換公式得到像平面的坐標(biāo)值為表2：表2：圓A在像平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)值作用圓BE-ABD-ACE-ACD-ADE-A平均值x坐標(biāo)-54.10-54.54-54.10-54.54-54.16-54.29y坐標(biāo)-50.11-50.01-50.11-50.01-50.50-50.15表格中“作用圓〞行的解釋與表格1相同。這里單位為。用同樣方法可以得到各個(gè)圓的圓心坐標(biāo)如下表：表3：其余各圓在像平面坐標(biāo)系的均值坐標(biāo)值圓圓心坐標(biāo)圓B圓C圓D圓E坐標(biāo)196.87215.15501.17502.52坐標(biāo)419.53641.79586.62288.02x坐標(biāo)-49.51-44.673131.35y坐標(biāo)-24.4634.3419.74-59.25這里坐標(biāo)的單位為。綜合考慮上面兩個(gè)表格，由于像素坐標(biāo)系原點(diǎn)從圖像的左上角開始，靶標(biāo)平面圓心在一條線上的A，B，C三個(gè)圓心坐標(biāo)在像素平面上依次增大，呈現(xiàn)在圖像上是依次下降的過程，這與照相機(jī)圖像中圓位置變化是吻合的。其余相關(guān)數(shù)值見文章附錄表1到表4。3.問題三檢驗(yàn)方法確實(shí)定與討論本文采用試驗(yàn)的方法進(jìn)行檢驗(yàn)。建立靶標(biāo)如下列圖3AABCD圖3.試驗(yàn)靶標(biāo)其中，A,B,C三個(gè)圓的圓心在同一直線上，圓D是求解A,B,C三個(gè)圓的圓心在相機(jī)像平面的像素坐標(biāo)的參考圓。利用模型一求出A,B,C三個(gè)圓的圓心在相機(jī)像平面的像素坐標(biāo)，，，模型算法的誤差導(dǎo)致三個(gè)像坐標(biāo)不在同一直線上，CA與CB之間存在一個(gè)夾角，定義該夾角為誤差偏角。用三個(gè)不同分辨率的數(shù)碼相機(jī)分別從不同的角度拍攝三張靶標(biāo)的像，局部圖像〔不同分辨率圖像各附一張〕見下列圖4分辨率為640480分辨率為16001200分辨率為20481536圖4.不同分辨率圖像通過問題一模型算法求得進(jìn)而求得誤差偏角，具體數(shù)據(jù)如下：表4：誤差偏角的數(shù)據(jù)分辨率6404801600120020481536圖像123123123誤差偏角0.0120.0110.0110.0070.0060.0060.0040.0040.0053．1對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理：分別對(duì)三種不同分辨率條件下的三個(gè)圖像所對(duì)應(yīng)的三個(gè)誤差偏角求平均值和方差得到如下結(jié)果：表5：誤差偏角的平均值與方差分辨率誤差偏角的平均值誤差偏角的方差6404800.0110.001242160012000.0060.001327204815360.0040.0011963．2精度及穩(wěn)定性分析：模型的精度是指模型的測量值與實(shí)際值之間的偏差，本文問題一的模型的精度可由誤差偏角的大小來反響；而穩(wěn)定性是指在某些參數(shù)改變的情況下，而不影響模型的適用性，該模型可由誤差偏角的方差來反映。分析上述試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到模型算法的誤差偏角控制在0.02弧度以內(nèi)，充分說明模型算法的精度是比擬高的。針對(duì)模型的精度隨分辨率增大而提高的分析，我們所建立的模型的關(guān)鍵是對(duì)拍攝的圖像的處理，當(dāng)圖像的分辨率增大時(shí)，其必然提高我們圖象處理的精度，誤差偏角必然會(huì)下降，因此該試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)模型準(zhǔn)確性的驗(yàn)證提供了一個(gè)有利的依據(jù)。針對(duì)穩(wěn)定性的分析，從試驗(yàn)數(shù)據(jù)中我們可以發(fā)現(xiàn)在任何一種分辨率的條件下誤差偏角的方差均控制在0.002以內(nèi)并且方差相比照擬接近，這說明在任何一種分辨率的條件下模型算法是相對(duì)穩(wěn)定的。4.問題四模型的建立與求解：問題四是對(duì)兩個(gè)相機(jī)相對(duì)位置的標(biāo)定過程。相機(jī)位置標(biāo)定充分展現(xiàn)了二維圖像提取三維空間信息的過程。根據(jù)光線的直線傳播原理，即透鏡成像的根本原理，空間點(diǎn)通過相機(jī)在像平面上所成像點(diǎn)的位置與其本身位置之間存在著一定的幾何關(guān)系。具體分析這種關(guān)系既可得到相機(jī)成像的幾何模型。1.幾何線性定標(biāo)模型的建立[1，3]空間點(diǎn)通過相機(jī)的成像的幾何模型其實(shí)就是空間三個(gè)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換過程。該幾何模型的參數(shù)分為由相機(jī)內(nèi)在屬性決定的內(nèi)參數(shù)和相機(jī)坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系的位置關(guān)系決定的外部參數(shù)。而這些參數(shù)一般都是可以確定的。1.1各坐標(biāo)系確實(shí)定。在照相機(jī)成像的幾何模型中，主要包括三個(gè)主要坐標(biāo)系：世界坐標(biāo)系、照相機(jī)坐標(biāo)系和圖像坐標(biāo)系。世界坐標(biāo)系()是為了描述任意位置的相機(jī)和實(shí)物而假象的一個(gè)坐標(biāo)系，一般用作參考，可以根據(jù)具體情況來選取。照相機(jī)坐標(biāo)系()是安置固定相機(jī)的坐標(biāo)系，與相機(jī)的位置有關(guān)。原點(diǎn)定義在相機(jī)的光心上，軸為光軸，和與像平面的水平軸和垂直軸相平行。圖像坐標(biāo)系〔〕是經(jīng)過數(shù)模轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換后的數(shù)字圖像〔這里考慮灰色圖像，假設(shè)是彩色圖像有RGB三個(gè)顏色通道，那么為三維坐標(biāo)系〕。圖像坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)為光軸與像平面的交點(diǎn)，和軸即為像平面的水平軸和垂直軸。1.2.從世界坐標(biāo)系到照相機(jī)坐標(biāo)系的變換過程：從世界坐標(biāo)系到照相機(jī)坐標(biāo)系的變換過程考慮固定相機(jī)的角度變化。主要包括偏航角，俯仰角和旋轉(zhuǎn)角。由這三個(gè)角度可以確定這兩個(gè)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣R。綜合考慮兩個(gè)坐標(biāo)系間的水平距離關(guān)系，可以得到兩個(gè)坐標(biāo)系的關(guān)系如下：〔1〕其中為照相機(jī)坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)值，為世界坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)值R為兩個(gè)坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)矩陣，可得，而為它們之間的平移向量。1.3.從照相機(jī)坐標(biāo)系到圖像坐標(biāo)系的變換過程照相機(jī)的攝像過程，即從照相機(jī)坐標(biāo)系到圖像坐標(biāo)系的變換可以用針孔攝像機(jī)來模擬。針孔攝像機(jī)攝像的過程其實(shí)就是實(shí)物各個(gè)方向上的大小同比例縮小的過程。對(duì)于一個(gè)圓通過針孔攝像機(jī)的過程可以從下列圖看出：AA’B’BA圖3.針孔攝像的原理從圖1中任取一點(diǎn)P，其在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為,對(duì)應(yīng)在照相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值為。由于光線的直線傳播，P在像平面的投影點(diǎn)各方向的尺寸是對(duì)應(yīng)成比例的。不妨將圖形變換如下：OOxyf圖4.對(duì)P點(diǎn)變化后的圖形從上圖可以看出：〔2〕其中為光心到像平面的距離。在以上根底上可以得到在圖像上的像素坐標(biāo)為：〔3〕其中，，是每一個(gè)像素在圖像平面軸和軸上的物理尺寸，為攝像機(jī)光軸與圖像平面的交點(diǎn)。由式同時(shí)考慮圖像中軸和軸的傾斜，可得到點(diǎn)在世界坐標(biāo)系下的坐標(biāo)與其投影點(diǎn)的圖像坐標(biāo)的關(guān)系，如下式所示：其中，決定，由于這些參數(shù)只與攝像機(jī)內(nèi)部結(jié)構(gòu)有關(guān)，故這些參數(shù)稱為相機(jī)內(nèi)部參數(shù);那么只與旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量有關(guān)，它是完全由相機(jī)相對(duì)于世界坐標(biāo)系的位置關(guān)系決定的，因此被稱為相機(jī)外部參數(shù)。而為的矩陣，稱為投影矩陣。2.模型的求解分析由前面的幾個(gè)問可以求出靶在像平面的坐標(biāo)，而這些變量在題設(shè)中已經(jīng)給出，所以本問題的參數(shù)的求解只需求解外部參數(shù)R和T。對(duì)公式〔4〕進(jìn)行線性展開，即可求解出矩陣的各個(gè)元素。由于這里最多只有6個(gè)變量，所以最多找到三個(gè)點(diǎn)就可以求解R，T的值。當(dāng)對(duì)兩個(gè)照相機(jī)進(jìn)行定位時(shí)，相同相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)都是一樣的，由于相機(jī)的位置不同其外部參數(shù)也是不同的。當(dāng)求出兩個(gè)相機(jī)的外部參數(shù)時(shí)，兩個(gè)相機(jī)間的位置就可以通過平移向量進(jìn)行求得。假設(shè)兩種情況下的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移向量，分別為和那么兩個(gè)相機(jī)照相機(jī)坐標(biāo)系的坐標(biāo)值都可以表示為〔5〕〔6〕對(duì)〔6〕式進(jìn)行變換得：〔7〕綜合式可得：令,且，那么相機(jī)間的距離即為向量T的模。綜上所述，兩個(gè)相機(jī)間的旋轉(zhuǎn)矩陣；平移量為；其中；相機(jī)間的空間距離即為平移量T的模可由M2求逆求解。表6：相機(jī)定位參數(shù)分析表格定標(biāo)的參數(shù)公式備注兩個(gè)相機(jī)間的旋轉(zhuǎn)矩陣為一個(gè)相機(jī)的旋轉(zhuǎn)矩陣；由另一個(gè)相機(jī)外部參數(shù)矩陣逆矩陣求到平移量為一個(gè)相機(jī)的旋轉(zhuǎn)矩陣；由另一個(gè)相機(jī)外部參數(shù)矩陣逆矩陣求到空間距離即為平移量的模五、模型評(píng)價(jià)1.模型優(yōu)點(diǎn)：1〕.模型通過公切線定圓心的思路很好的解決了像坐標(biāo)系中圓心確定問題，為以后的模型求解奠定了根底2〕.模型試驗(yàn)充分考慮問題假設(shè)，與前面銜接較嚴(yán)密。采用了相機(jī)拍攝試驗(yàn)的方式對(duì)模型算法進(jìn)行分析，比擬合理。2.模型的缺乏：通過相機(jī)攝像試驗(yàn)是選取的樣本數(shù)量有限，試驗(yàn)的精度有一定的局限。參考文獻(xiàn)[1]胡凌山，移動(dòng)機(jī)器人雙目立體視覺技術(shù)研究[J],2005.1。[2]夏良正，李久賢，數(shù)字圖像處理〔第2版〕[M]，東南大學(xué)出版社，2005.8。[3]唐志豪，基于雙目立體視覺的測量技術(shù)研究[J]，2006.12。[4]姜啟源,謝金星數(shù)學(xué)模型第三版[M]北京：高等教育出版社，2003[5]蘇金明,阮沈勇,王永利，工程數(shù)學(xué)，北京：電子工業(yè)出版社，2005。附錄過點(diǎn)過點(diǎn)做直線計(jì)算計(jì)算，，是外公切線,儲(chǔ)存切點(diǎn)EndNNYNNN附圖：圓心搜索算法流程圖附表：表1作用圓AE-BAD-BCE-BCD-BDE-B平均值u坐標(biāo)195.1198.82195.1198.82196.5196.87v坐標(biāo)419.2418.36419.2418.36422.5419.53x坐標(biāo)-49.9735-48.9894-49.9735-48.9894-49.6032-49.5053y坐標(biāo)-24.5503-24.7725-24.5503-24.7725-23.6772-24.463表2：作用圓AE-CAD-CBE-CBD-CDE-C平均值u坐標(biāo)215.61214.88215.61214.88214.78215.15v坐標(biāo)641.85642.03641.85642.03641.22641.79x坐標(biāo)-44.5476-44.7407-44.5476-44.7407-44.7672-44.6693y坐標(biāo)34.35134.3994734.3518534.3994734.1851934.33598表3：作用圓AB-DAC-DAE-DBC-DBE-DCE-D平均值u坐標(biāo)503503.49495.7503.48497.25504.1501.17v坐標(biāo)582.5581.87591.86581.74591.55590.18586.62x坐標(biāo)31.4831.6129.55031.6029.9631.7730.99y坐標(biāo)18.65018.48421.12618.44921.04420.6825419.74表4：作用圓AB-EAC-EAD-EBC-EBD-ECD-E平均值u坐標(biāo)503.11502.63502.77500.31501.64504.64502.52v坐標(biāo)293.59286.04288.27283.85288.47287.93288.02x坐標(biāo)31.51031.3831.4230.7631.1231.9131.35y坐標(biāo)-57.78-59.77-59.18-60.35-59.13-59.27-59.25附錄程序：clear;clcA=imread('D:\唐儼\數(shù)學(xué)建模\論文\2023\b.jpg');%imshow(A);A=rgb2gray(A);%A1=edge(A,'roberts');[a1b1]=size(A);fori=1:a1forj=1:b1ifA(i,j)>=120A1(i,j)=1;elseA1(i,j)=0;endendendA2=edge(A1,'roberts');imshow(A2);[a,b]=find(A2);n1=0;n2=0;n3=0;n4=0;n5=0;fori=1:length(a)ifa(i)>140&a(i)<280ifb(i)>260&b(i)<370n1=n1+1;B1(n1,2)=b(i);B1(n1,1)=a(i);endendifa(i)>140&a(i)<280ifb(i)>370&b(i)<470n2=n2+1;B2(n2,2)=b(i);B2(n2,1)=a(i);endendifa(i)>140&a(i)<280ifb(i)>580&b(i)<700n3=n3+1;B3(n3,2)=b(i);B3(n3,1)=a(i);endendifa(i)>450&a(i)<560ifb(i)>220&b(i)<340n4=n4+1;B4(n4,2)=b(i);B4(n4,1)=a(i);endendifa(i)>450&a(i)<560ifb(i)>530&b(i)<640n5=n5+1;B5(n5,2)=b(i);B5(n5,1)=a(i);endendendm=0;x1=0;x2=0;x3=0;x4=0;f1=0;f2=0;fori=1:length(B1)forj=1:length(B2)x1=B1(i,1);y1=B1(i,2);x2=B2(j,1);y2=B2(j,2);forii=1:length(B1)x3=B1(ii,1);y3=B1(ii,2);f1(ii)=(y3-y1)*(x2-x1)-(y2-y1)*(x3-x1);endma1=max(f1);mi1=min(f1);forjj=1:length(B2)x4=B2(jj,1);y4=B2(jj,2);f2(jj)=(y4-y1)*(x2-x1)-(y2-y1)*(x4-x1);endma2=max(f2);mi2=min(f2);MA=max(ma1,ma2);MI=min(mi1,mi2);ifMA*MI>=0;m=m+1;b12(m,:)=B1(i,:);b21(m,:)=B2(j,:);endendendmm=0;x1=0;x2=0;x3=0;x4=0;f1=0;f2=0;fori=1:length(B1)forj=1:length(B3)x1=B1(i,1);y1=B1(i,2);x2=B3(j,1);y2=B3(j,2);forii=1:length(B1)x3=B1(ii,1);y3=B1(ii,2);f1(ii)=(y3-y1)*(x2-x1)-(y2-y1)*(x3-x1);endma1=max(f1);mi1=min(f1);forjj=1:length(B3)x4=B3(jj,1);y4=B3(jj,2);f2(jj)=(y4-y1)*(x2-x1)-(y2-y1)*(x4-x1);endma2=max(f2);mi2=min(f2);MA=max(ma1,ma2);MI=min(mi1,mi2);ifMA*MI>=0;m=m+1;b13(m,:)=B1(i,:);b31(m,:)=B3(j,:);endendendmm=0;x1=0;x2=0;x3=0;x4=0;f1=0;f2=0;fori=1:length(B1)forj=1:length(B4)x1=B1(i,1);y1=B1(i,2);x2=B4(j,1);y2=B4(j,2);forii=1:length(B1)x3=B1(ii,1);y3=B1(ii,2);f1(ii)=(y3-y1)*(x2-x1)-(y2-y1)*(x3-x1);endma1=max(f