第四章

根軌跡法

4-1根軌跡的基本概念

4-2根軌跡的繪制方法

4-3其它形式的根軌跡

4-4增加開環(huán)零極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響

4-5閉環(huán)零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)性能指標(biāo)4-1根軌跡的基本概念根軌跡：當(dāng)系統(tǒng)中某個(gè)（或幾個(gè)）參數(shù)從0到+∞變化時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）在根平面（S平面）上描繪的一些曲線。根軌跡方法是一種圖解方法。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:系統(tǒng)特征方程為:解方程得閉環(huán)特征根為:K取不同值對(duì)應(yīng)的閉環(huán)根

s1,s2

K01/81/41/2……∞S10-0.146-0.5-0.5+j0.5……-0.5+j∞S2-1-0.854-0.5-0.5+j0.5……-0.5-j∞K=0K=0K=0.25K=0.5K=0.5K=1.25K=1.25系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般可寫為為系統(tǒng)的m個(gè)開環(huán)零點(diǎn);為系統(tǒng)的n個(gè)開環(huán)極點(diǎn);為系統(tǒng)開環(huán)跟軌跡增益.K為系統(tǒng)的開環(huán)增益;ZeroPoles4-2根軌跡的繪制方法一：幅角條件及幅值條件

控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)一般寫為:

特征方為:

向量形式表示為:

幅值幅角MagnitudePhaseangle例4-1設(shè)有一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為::1)利用幅角條件-P1-P3-P2-Z1S126O45O79O120O解:滿足幅角條件的點(diǎn)都是根軌跡上的點(diǎn),所以檢驗(yàn)點(diǎn)s1=-1.5+j2.5是否在根軌跡上;

并確定與其相對(duì)應(yīng)的

值.

2)由幅值條件求s1相對(duì)應(yīng)的

值=12.15二、根軌跡的基本規(guī)則

結(jié)論:

由此求得根軌跡的起點(diǎn)為系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn);

根軌跡的終點(diǎn)是系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)1.根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)

其二:是在n>m時(shí),只有當(dāng)s→∞時(shí)其一:1)當(dāng)

=0時(shí),由幅值條件,必有2)當(dāng)

→∞時(shí),由輻值條件,存在兩種可能:

起點(diǎn)終點(diǎn)2.根軌跡的分支數(shù)

4.實(shí)軸上的根軌跡

根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)極點(diǎn)數(shù).若試探點(diǎn)S1右邊零點(diǎn)極點(diǎn)總數(shù)是奇數(shù)，則S1點(diǎn)所在的線段是根軌跡的一部分.漸近線在實(shí)軸上均交于一點(diǎn),其座為:

漸近線的傾角為:S160oThenumberofseparatelociSymmetry3.根軌跡的對(duì)稱性

根軌跡或是在實(shí)軸上,或是對(duì)稱實(shí)軸.5.根軌跡的漸近線

Asymptote會(huì)合點(diǎn)Convergingpoint分離點(diǎn)Breakawaypoint(1)重根法(2)用幅角條件6.根軌跡的分離點(diǎn)及會(huì)合點(diǎn)

一般情況下,兩個(gè)極點(diǎn)間的根軌跡上必有一個(gè)分離點(diǎn),兩個(gè)零點(diǎn)間的根軌跡上必有一個(gè)會(huì)合點(diǎn).7.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

(1)直接利用特征方程例4-2系統(tǒng)的特征方程為

以s=jw代入

-j3.74j3.74=0=0因此,與虛軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為±j3.74(2)利用勞斯判據(jù)將系統(tǒng)特征方程展開為:

=0

K=60

10+K

勞斯陣列表為:

1

14

5

10+K

8.根軌跡的出射角和入射角(1)出射角Theangleoflocusdeparturefromapole(2)入射角Theangleoflocusawivalatcomplexzeros例4-3一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為33.5o63.5o135o90o9.閉環(huán)極點(diǎn)之和系統(tǒng)滿足n-m≥2時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和。

10.閉環(huán)極點(diǎn)之積

系統(tǒng)的n-m≥２且有開環(huán)零點(diǎn)位于原點(diǎn)時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)之積就等于開環(huán)極點(diǎn)之積。3.根軌跡對(duì)稱實(shí)軸。

5.漸近線6.分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)4.實(shí)軸上的根軌跡分布三、根軌跡繪制舉例解按照繪制根軌跡的基本規(guī)則,有1.畫出開環(huán)零、極點(diǎn)分布圖.-1-2-32.根軌跡有兩條分支。畫極點(diǎn)畫極點(diǎn)畫零點(diǎn)分離點(diǎn)會(huì)合點(diǎn)例4-4已知一系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:試?yán)L制根軌跡。

=0.172=5.8183.根軌跡對(duì)稱實(shí)軸。

4.實(shí)軸上的無根軌跡分布。5.漸近線和實(shí)軸的交點(diǎn)。6.分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。7.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。例4-5某負(fù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解:畫出開環(huán)零、極點(diǎn)分布圖

-12.根軌跡有四條分支。

分離點(diǎn)試?yán)L制根軌跡圖。484-4=0得=121=121-j11.2j11.2=121例4-6若一控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求該系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。

解:畫出開環(huán)零、極點(diǎn)分布圖

-1-22.實(shí)軸上的根軌跡分布。3.漸近線和實(shí)軸的交點(diǎn)。4.分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。-0.425.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。=0K=6j1.414K=6K=6-j1.414正反饋此時(shí)為零度跟軌跡漸近線和實(shí)軸方向的夾角為±2/3.實(shí)軸上的根軌跡為(-2,-1)及線段及(0,+∞)線段.故-1.58為分離點(diǎn).-1.584-3其它形式的根軌跡例4-7設(shè)一隨動(dòng)系統(tǒng)如圖所示。圖中參數(shù)Ks為速度反饋系數(shù)。試?yán)L制以Ks為參變量的根軌跡。

解:畫出開環(huán)零、極點(diǎn)分布圖

2.實(shí)軸上的根軌跡分布。3.分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。4．求復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出射角90o108o198o4-4增加開環(huán)零極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響一:增加零點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響例4-10一控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為下式試采取何種措施使系統(tǒng)的穩(wěn)定性提高.解:60oj0.2ω1=0.17Kc=0.778-j0.2ω2=-0.17Kc=0.778ω3=0Kc=0.278ω1=0Kc=0.278-0.06-0.027二:增加極點(diǎn)對(duì)根軌跡的影響K=0K=0∞←K4-5閉環(huán)零極點(diǎn)分布與系統(tǒng)性能指標(biāo)典型控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

單位階躍輸入時(shí)的瞬態(tài)響應(yīng)為

例4-11一隨動(dòng)系統(tǒng),其方框圖如下所示.試分析開環(huán)系統(tǒng)增益K值對(duì)系統(tǒng)性能的影響,并計(jì)算速度誤差系數(shù)Kv=10時(shí)系統(tǒng)的性能指標(biāo).最大超調(diào)量sp=37%調(diào)節(jié)時(shí)間ts=３秒1.371閉環(huán)零極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)瞬態(tài)性能的影響1.極點(diǎn)的分布決定了瞬態(tài)響應(yīng)的類型。

2.零極點(diǎn)的分布決定了瞬態(tài)響應(yīng)的曲線的形狀及指標(biāo)。3.遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)(或零點(diǎn))對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)的影響。4.偶極子對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)的影響。

5.主導(dǎo)極點(diǎn)。

6.零點(diǎn)對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)的影響。

7.極點(diǎn)對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)的影響。

零極點(diǎn)與系統(tǒng)的定態(tài)品質(zhì)系數(shù)單位反饋系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為:

例4-12已知I型系統(tǒng),為減小系統(tǒng)定態(tài)速度誤差,應(yīng)如何配置零點(diǎn)?解:設(shè)系統(tǒng)具有一對(duì)復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn),配置零點(diǎn)位于-z，如圖所示。若取1/z=2z/wn