第四章三角函數(shù)14.6

三角函數(shù)的應用考點搜索●與三角函數(shù)圖象有關的應用題●設角為參數(shù)，利用三角函數(shù)有關知識求最值高考猜想實際應用問題往往與解三角形有關，單純以純三角函數(shù)作為背景的題不多見.2

三角函數(shù)應用問題的特點和處理方法1.三角函數(shù)的實際應用是指用三角函數(shù)理論解答生產、科研和日常生活中的實際問題.2.三角函數(shù)應用題的特點是：①實際問題的意義反映在三角形中的邊、角關系上;②引進角為參數(shù)，利用三角函數(shù)的有關公式進行推理，解決最優(yōu)化問題.3.解決三角函數(shù)應用問題和解決一般應用性問題一樣，先建模，再討論變量的性質，最后作出結論并回答問題.3設實數(shù)x,y,m,n滿足：m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是正常數(shù)且a≠b),那么mx+ny的最大值是()

解：因為實數(shù)x,y,m,n滿足：m2+n2=a,x2+y2=b(a,b是正常數(shù)且a≠b)，

所以可設4則mx+ny=所以mx+ny的最大值是.故選B.5

2002年在北京召開的國際數(shù)學家大會，會標是以我國古代數(shù)學家趙爽的弦圖為基礎設計的.弦圖是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖).如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，那么cos2θ的值等于________.6解：設直角三角形的短邊為x，則解得x=3，所以則7如圖，單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置O的距離s厘米和時間t秒的函數(shù)關系為那么單擺來回擺動一次所需的時間為____秒.

解：由條件知周期8

1.已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數(shù)，記作y=f(t).下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：經過長期觀測，y=f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y=Acosωt+b的圖象.題型1與三角函數(shù)圖象有關的應用題t(時)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.59(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y=Acosωt+b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達式;(2)依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放.請根據(jù)(1)的結論，判斷一天內的上午8：00時至晚上20：00時之間，有多少時間可供沖浪愛好者進行運動?

解：(1)由表中數(shù)據(jù)知，周期T=12，則由t=0，y=1.5，得A+b=1.5，①由t=3，y=1.0，得b=1.0.②10由t=3，y=1.0，得b=1.0.②所以A=0.5，b=1，所以振幅幅為12，所以(2)由題知，當當y＞1時才可對沖沖浪愛好者者開放.所以所所以所以即12k-3＜t＜12k+3(k∈Z).③因為0≤t≤24,故可令③中中的k分別為0,1,2,11得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.故在規(guī)定時時間上午8：00至晚晚上上20：00之間間，，有有6個小小時時時時間間可可供供沖沖浪浪愛愛好好者者運運動動，，即即上上午午9：00至下下午午15：00.點評評：：解決決實實際際應應用用題題的的關關鍵鍵在在于于建建立立數(shù)數(shù)學學模模型型.若建建模模已已確確定定時時，，就就化化為為常常規(guī)規(guī)問問題題，，再再選選擇擇合合適適的的數(shù)數(shù)學學方方法法求求解解.如本本題題第第(2)問轉轉化化為為相相應應的的不不等等式式進進行行解解決決.12以一一年年為為一一個個周周期期調調查查某某商商品品出出廠廠價價格格及及該該商商品品在在商商店店銷銷售售價價格格時時發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)：：該該商商品品的的出出廠廠價價格格是是在在6元基基礎礎上上按按月月份份隨隨正正弦弦曲曲線線波波動動的的.已知知2月份份出出廠廠價價格格最最高高為為8元，，8月份份出出廠廠價價格格最最低低為為4元.而該該商商品品在在商商店店內內的的銷銷售售價價格格是是在在10元基基礎礎上上按按月月份份也也是是隨隨正正弦弦曲曲線線波波動動的的，，并并已已知知5月份銷售價最最高為12元，11月份銷售價最最低為8元.假設某商店每每月購進這種種商品m件，且當月能能售完，請估估計哪幾個月月每件盈利可可超過6元？并說明理理由.13解：由條件可得：：出廠價格函函數(shù)為銷售價格函數(shù)數(shù)為則單價利潤函函數(shù)y=y2-y114所以，由得即所以3＜2x-7＜9，即5＜x＜8.又因為x∈N*，所以x=6，7.答：6月、7月這兩個月每每件盈利超過過6元.152.水渠橫斷面為為等腰梯形，，如圖所示，，渠道深為h，梯形面積為為S.為了使渠道的的滲水量達到到最小，應使使梯形兩腰及及下底之和達達到最小，此此時下底角α應是多大？題型2反映在三角形形或四邊形中中的實際問題題16解：設CD=a,則所以則則設兩腰與下底底之和為l，則因為S，h均為常量，欲欲求l的最小值，只只需求出的的最小小值.17令則則ksinα+cosα=2，可化為其中因為0＜sin(α+φ)≤1，所以所所以k2≥3，故kmin=3，此時所所以18點評：與多邊形有關關的實際問題題，一般是轉轉化為三角形形中的問題，，然后利用三三角形的邊角角關系式轉化化為角的問題題，如設角參參數(shù)，再利用用三角函數(shù)的的性質解決所所求問題.19某島嶼觀測站站C在海岸邊燈塔塔A的南偏西20°的方向上.航船B在燈塔A南偏東40°的方向上向海海岸燈塔A處航行，在C處先測得B離C的距離是31海里，當航船船B航行了20海里后，到達達D處，此時C、D間的距距離為為21千米，，問這這人還還需走走多少少海里里到達達海岸岸邊燈燈塔A處？解：根據(jù)題題意得得右圖圖，其中BC=31千米,BD=20千米,CD=21千米,∠CAB=60°.20設∠ACD=α，∠CDB=β.在△CDB中，由由余弦弦定理理得：：所以在△ACD中，由由正弦弦定理理得：：所以此此人還還需走走15千米到到達海海岸邊邊燈塔塔A處.213.如圖,ABCD是一邊邊長為100m的正方方形地地皮,其中AST是一半半徑為為90m的扇形小山山，其其余部部分都都是平平地.一開發(fā)商商想在平平地上建建一個矩形停車車場，使使矩形的的一個頂頂點P在ST上，相鄰鄰兩邊CQ、CR落在正方方形的邊邊BC、CD上.求矩形停車場場PQCR面積的最最大值和和最小值值.題型3引進角為為參數(shù)解解決最優(yōu)優(yōu)化問題題(22解：連結AP,設∠PAB=θ(0°≤≤θ≤90°°),延長RP交AB于M,則AM=90cosθ,MP=90sinθ,所以PQ=MB=100-90cosθ，PR=MR-MP=100-90sinθ.所以S矩形PQCR=PQ·PR=(100-90cosθ)(100-90sinθ)=10000-9000(sinθ+cosθ)+8100sinθcosθ.23令t=sinθ+cosθ(1≤t≤2)，則所以S矩形PQCR=故當t=時，S矩形PQCR有最小值值950m2;當t=時,S矩形PQCR有最大值值(14050-9000)m2.點評：與多邊形形有關的的最值問問題，常常常構造造以角為為變量的的三角函函數(shù)，然然后利用用求三角角函數(shù)的的最值方方法求得得實際問問題的解解，同時時，注意意變量取取值的實實際意義義及范圍圍.24如圖，在在直徑為為1的圓O中，作一一個關于于圓心對對稱、鄰鄰邊互相相垂直的的十字形形，其中中y＞x＞0.求當θ為何值時時，十字字形的面面積最大大？最大大面積是是多少？？25解：設十字形形的面積積為S，則其中所以，當當s