二次函數(shù)北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二章二次函數(shù)1、什么是函數(shù)？2、什么叫做一次函數(shù)？3、函數(shù)有哪些表示方法？

在某一變化過程中，有兩個(gè)變量x

和y

，如果對(duì)于x的每一個(gè)可取的值，都有唯一一個(gè)y值與它對(duì)應(yīng)，那么y稱為x的函數(shù)。形如y=kx+b(k、b為常數(shù)，k≠0)解析法列表法圖象法知識(shí)回顧在以往所學(xué)函數(shù)的基礎(chǔ)上，本節(jié)課我們學(xué)習(xí)一種新的函數(shù)形式——二次函數(shù)，二次函數(shù)的在日常生活中很常見，我們一定要學(xué)好它！情境引入

某果園有100棵橙子樹，平均每棵樹結(jié)600個(gè)橙子.現(xiàn)準(zhǔn)備多種一些橙子樹以提高果園產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會(huì)減少.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)，每多種一棵樹，平均每棵樹就會(huì)少結(jié)5個(gè)橙子.

（1）問題中有哪些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？

（2）假設(shè)果園增種x棵橙子樹，那么果園共有多少棵橙子樹？這時(shí)平均每棵樹結(jié)多少個(gè)橙子？

（3）如果果園橙子的總產(chǎn)量為y個(gè)，那么請(qǐng)你寫出y與x之間的關(guān)系式.

(1)問題中有哪些變量?其中哪些是自變量?哪些是因變量?

(2)假設(shè)果園增種x棵橙子樹，那么果園共有多少棵橙子樹?這時(shí)平均每棵樹結(jié)多少個(gè)橙子?

(100+x)棵(600-5x)個(gè)

(3)如果果園橙子的總產(chǎn)量為y個(gè)，那么請(qǐng)你寫出y與x之間的關(guān)系式．y=(100+x)(600-5x)=-5x2+100x+60000新知探究總

結(jié)果園共有（100+x）棵樹，平均每棵樹結(jié)（600-5x）個(gè)橙子，因此果園橙子的總產(chǎn)量y=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+60000.1知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)的定義做一做銀行的儲(chǔ)蓄利率是隨時(shí)間變化的，也就是說，利率是一個(gè)變量.在我國，利率的調(diào)整是由中國人民銀行根據(jù)國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展的情況而決定的.

設(shè)人民幣一年定期儲(chǔ)蓄的年利率是x，一年到期后，銀行將本金和利息自動(dòng)按一年定期儲(chǔ)蓄轉(zhuǎn)存.如果存款額是100元，那么請(qǐng)你寫出兩年后的本息和y（元）的表達(dá)式.（1）兩數(shù)和是20，設(shè)其中一個(gè)數(shù)是x，你能寫出中兩數(shù)之積y的表達(dá)式嗎？（2）已知矩形的周長為40cm，它的面積可能是100cm2嗎？可能是75cm2嗎？還可能是多少？你能表示這個(gè)矩形的面積與其一邊長的關(guān)系嗎？想一想1．定義：一般地，若兩個(gè)變量x，y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表示

成y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a≠0)的形式，則稱y是x

的二次函數(shù)；其中a是二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為

常數(shù)項(xiàng)．要點(diǎn)精析：(1)二次函數(shù)必須滿足三個(gè)條件：①函數(shù)表達(dá)式為整式；②函數(shù)表達(dá)式有唯一的自變量；③自變量的最高次數(shù)是2且二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.(2)二次函數(shù)中自變量的取值范圍是一切實(shí)數(shù)，函數(shù)值范圍不

是一切實(shí)數(shù)．2．判斷一個(gè)函數(shù)是否為二次函數(shù)的方法：(1)將函數(shù)表達(dá)式整理為右邊是含自變量的代數(shù)式，左邊是

因變量的形式；(2)判斷右邊含自變量的代數(shù)式是否為整式；(3)判斷自變量的最高次數(shù)是否為2；(4)判斷二次項(xiàng)系數(shù)是否為0.3．易錯(cuò)警示：判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，化為一般形

式后當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)包含字母時(shí)，一定要注意二次項(xiàng)的系

數(shù)不能為零這一條件．例1

下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？并指出二次函數(shù)

的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．(1)y＝7x－1；(2)y＝－5x2；(3)y＝3a3＋2a2；(4)y＝x－2＋x;(5)y＝3(x－2)(x－5);(6)y＝x2＋.解：(2)與(5)是二次函數(shù)．(2)y＝－5x2的二次項(xiàng)系數(shù)為

－5，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)為0；(5)化為一般式，

得到y(tǒng)＝3x2－21x＋30，所以y＝3(x－2)(x－5)的

二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為－21，常數(shù)項(xiàng)為30.導(dǎo)引：若是二次函數(shù)，則等號(hào)的右邊應(yīng)是關(guān)于x的二次多項(xiàng)

式，故a－b＝0，2a＋b－3＝0，于是a，b可求．

例2已知函數(shù)y＝(a－b)x3＋2x2＋2＋

是y關(guān)

于x的二次函數(shù)，求a，b的值．解：由題意得

解得1、m取何值時(shí)，函數(shù)是y=(m+1)x+(m-3)x+m是二次函數(shù)？隨堂練習(xí)12、擬建中的一個(gè)溫室的平面圖如圖,如果溫室外圍是一個(gè)矩形，周長為12Om,室內(nèi)通道的尺寸如圖,設(shè)一條邊長為x(m),種植面積為y(m2).1113x解：y=(60-x-4)(x-2)3、下列函數(shù)表達(dá)式中，一定為二次函數(shù)的是(

)A．y＝3x－1B．y＝ax2＋bx＋cC．s＝2t2－2t＋1D．y＝x2＋4、下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是(

)A．y＝B．y＝x2＋

＋1C．y＝2x2－1D．y＝5、下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是(

)A．y＝ax2＋bx＋cB．x2＋y－2＝0C．y2－ax＝2D．x2－y2＋1＝05、若函數(shù)y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常數(shù))是二次函數(shù)，

則(

)A．m≠－2B．m≠2C．m≠3D．m≠－36、若y＝(m－1)xm2＋1是二次函數(shù)，則m的值是(

)A．1B．－1C．1或－1D．27、下列結(jié)論中正確的是(

)A．二次函數(shù)中兩個(gè)變量的值是非零實(shí)數(shù)B．二次函數(shù)中變量x的值可以是所有實(shí)數(shù)C．形如y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)叫二次函數(shù)D．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的值均不能為零2知識(shí)點(diǎn)利用二次函數(shù)的表達(dá)式表示實(shí)際問題

1．根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)的關(guān)系式，一般要經(jīng)歷以下

幾個(gè)步驟：(1)確定自變量與因變量代表的實(shí)際意義；(2)找到自變量與因變量之間的等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)

系列出方程或等式．(3)將方程或等式整理成二次函數(shù)的一般形式．2．易錯(cuò)警示：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范

圍是全體實(shí)數(shù)，但對(duì)實(shí)際問題的自變量的取值范圍必

須使實(shí)際問題有意義．

例3

填空：(1)已知圓柱的高為14cm，則圓柱的體積V(cm3)與底面半

徑r(cm)之間的函數(shù)關(guān)系式是_______________；(2)已知正方形的邊長為10，若邊長減少x，則面積減少y，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是_____________________．(1)根據(jù)圓柱體積公式V＝πr2×h求解；(2)有三種思路：如圖，①減少的面積y＝S四邊形AEMG＋S四邊形GMFD＋S四邊形MHCF＝x(10－x)

＋x2＋x(10－x)＝－x2＋20x，②減少的面積y＝S四邊形AEFD＋S四邊形GHCD－S四邊形GMFD＝10x＋10x－x2＝－x2

＋20x，③減少的面積y＝S四邊形ABCD－S四邊形EBHM＝102－(10

－x)2＝－x2＋20x.V＝14πr2(r＞0)y＝－x2＋20x(0≤x≤10)導(dǎo)引：總

結(jié)(1)求幾何問題中二次函數(shù)的關(guān)系式，除了根據(jù)有關(guān)面積、體積公式

寫出二次函數(shù)關(guān)系式以外，還應(yīng)考慮問題的實(shí)際意義，明確自變

量的取值(在一些問題中，自變量的取值可能是整數(shù)或者是在一

定的范圍內(nèi))；(2)如果不能通過已知條件直接寫出函數(shù)關(guān)系式(直接法)，應(yīng)適當(dāng)考

慮通過割補(bǔ)法，將問題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)圖形面積和差的問題(間接法)，

再尋求解答；判斷自變量的取值范圍，應(yīng)結(jié)合問題，考慮全面，

不要漏掉一些約束條件．列不等式組是求自變量的取值范圍的常

見方法．(3)如果要作實(shí)際問題中的函數(shù)的圖象，注意其圖象應(yīng)是在自變量取

值范圍內(nèi)的部分圖象．例4〈易錯(cuò)題〉在某市開展的環(huán)境創(chuàng)優(yōu)活動(dòng)中，某居民小區(qū)要

在一塊靠墻(墻長15m)的空地上修建一個(gè)矩形花園ABCD，

花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成，若設(shè)

花園平行于墻的一邊長為xm，花園的面積為ym2.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．(2)滿足條件的花園的面積能達(dá)到200m2嗎？若能，求出此

時(shí)x的值，若不能，說明理由．導(dǎo)引：本例根據(jù)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為幾何問題，

得出的有關(guān)結(jié)果要符合實(shí)際，因此列函數(shù)關(guān)系式時(shí)，

要求出自變量的取值范圍．解：(1)因?yàn)闁艡诘目傞L為40m，如圖，

若BC的長為xm，則AB的長為m.

由

可得0<x≤15.

根據(jù)題意，得y＝x·，即y＝－

x2＋20x，

所以y＝－

x2＋20x(0<x≤15)．(2)不能．理由如下：當(dāng)y＝200時(shí)，－

x2＋20x＝200，所

以x2－40x＋400＝0.解得x1＝x2＝20.因?yàn)?<x≤15，所以此

花園的面積不能達(dá)到200m2.總

結(jié)(1)此題將生活問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，列生活中有關(guān)幾何

面積問題的函數(shù)關(guān)系式，一般先要根據(jù)題中條件求出

自變量的取值范圍，再由相關(guān)的面積公式求出函數(shù)關(guān)

系式．(2)求自變量的取值范圍，應(yīng)結(jié)合問題，全面考慮，不要

漏掉一些約束條件(如本例中墻長15m)，列不等式組

是求自變量取值范圍的常用方法．(3)本例(2)中常常因不考慮自變量x的范圍而出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)

論．1、一臺(tái)機(jī)器原價(jià)60萬元，如果每年的折舊率為x，兩年后這臺(tái)機(jī)器的價(jià)格為y萬元，則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為(

)A．y＝60(1－x)2B．y＝60(1－x)C．y＝60－x2D．y＝60(1＋x)2隨堂練習(xí)22、如圖，∠AOB＝90°，在∠AOB的平分線ON上依次取點(diǎn)C，F(xiàn)，M，過點(diǎn)C作DE⊥OC，分別交OA，OB于點(diǎn)D，E，以FM為對(duì)角線作菱形FGMH，已知∠DFE＝∠GFH＝120°，F(xiàn)G＝FE.設(shè)OC＝x，圖中陰影部分的面積為y，則y與x