1.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用分類變量:變量的不同”值”表示個體所屬的不同類別.如:性別,是否吸煙,宗教信仰,國籍等在日常生活中,我們常常關(guān)心兩個分類變量之間是否具有關(guān)系.例如,吸煙是否與患肺癌有關(guān)系?性別是否對于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響?等等為調(diào)查吸煙是否對患肺癌有影響,某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人,得到如下結(jié)果(單位:人)吸煙與患肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計9874919965列聯(lián)表:列出兩個分類變量的頻數(shù)表那么吸煙是否對患肺癌有影響?粗略估計:在不吸煙者中,有0.54%患有肺癌;在吸煙者中,有2.28%患有肺癌.因此,直觀上得到結(jié)論:吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異等高條形圖上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形,得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān),那么事實是否真的如此呢?能夠以多大的把握認(rèn)為”吸煙與患肺癌有關(guān)”,假設(shè)H0:吸煙與患肺癌沒有關(guān)系,看看能推出什么結(jié)論把前表中的數(shù)字用字母代替,得到如下用字母表示的列聯(lián)表:不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d不患肺癌患肺癌總計不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計a+cb+da+b+c+d如果”吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”,則在吸煙者中不患肺癌的比例應(yīng)該與不吸煙者中相應(yīng)的比例差不多,即因此|ad-bc|越小,說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱;|ad-bc|越大,說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng);為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評判標(biāo)準(zhǔn),基于上述分析,我們構(gòu)造一個隨機(jī)變量:不患肺癌患肺癌總計不吸煙7775427817吸煙2099492148總計9874919965利用公式計算得K2的觀測值為:這個值是不是很大呢?在H0成立的情況下,統(tǒng)計學(xué)家估算出如下的概率:即在H0成立的情況下,K2的值大于6.635的概率非常小,近似于0.01.也就是說,在H0成立的情況下對隨機(jī)變量K2進(jìn)行多次觀測,觀測值超過6.635的頻率約為0.01只有1%,因此我們有99%的把握認(rèn)為H0不成立,即有99%的把握認(rèn)為”吸煙與患肺癌有關(guān)系”上面這種利用隨機(jī)變量K2來確定在多大程度上可以認(rèn)為”兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗獨立性檢驗的基本思想類似于數(shù)學(xué)上的反證法.要確認(rèn)”兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程度,首先假設(shè)該結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論”兩個分類變量沒有關(guān)系”成立.在該假設(shè)下我們構(gòu)造的隨機(jī)變量K2應(yīng)該很小,如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值k很大,則在一定程度上說明假設(shè)不合理.0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828例.為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系,在某城市的某校高中生中隨機(jī)抽取300名學(xué)生,得到如下列聯(lián)表:性別與喜歡數(shù)學(xué)課程列聯(lián)表:喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程總計男3785122女35143178總計72228300由表中數(shù)字計算K2的觀測值,在多大程度上可以認(rèn)為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系?為什么?有95%的把握認(rèn)為”性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”k≈4.513總計aba+bcdc+d總計a+cb+da+b+c+d若要推斷的結(jié)論為H1:”X與Y有關(guān)系”,可如下操作:1.通過三維柱形圖和二維條形圖,可以粗略地判斷兩個變量是否有關(guān)系,但是這種判斷不精確.2.利用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關(guān)系,并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度.具體做法是:根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計算由給出的隨機(jī)變量K2的值k,其值越大,說明”X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大.當(dāng)?shù)玫降挠^測數(shù)據(jù)a,b,c,d都不小于5時,可以通過查表來斷言”X與Y有關(guān)系”的可信程度例1.在某醫(yī)院,因為患心臟病而住院的665名男性病人中,有214人禿頂;而另外772名不是因為患心臟病而住院的男性病人中有174人禿頂.分別利用圖形和獨立性檢驗方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系?你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效?解:根據(jù)題目所得數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表:患心臟病患其他病總計禿頂214175389不禿頂4515971048總計6657721437禿頂與患心臟病列聯(lián)表患心臟病患其他病總計禿頂214175389不禿頂4515971048總計6657721437所以有99%的把握認(rèn)為”禿頂與患心臟病有關(guān)”例2.在研究某種新藥對小白兔的防