2022-2023學年廣東省廣州市第四中學高一上學期期末數學試題一、單選題1．已知全集,且,則集合的真子集的個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】求出集合后,寫出集合的真子集,數出個數即可.【詳解】解:由題知,,所以,所以集合的真子集有:,共3個.故選:B2．已知命題p：“”，則為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據命題的否定的定義判斷．【詳解】特稱命題的否定是全稱命題．命題p：“”，的否定為：．故選：C．3．若，且角的終邊經過點，則P點的橫坐標x是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角函數的定義列方程求解即可.【詳解】由三角函數的定義可得：，解得，故選：A4．要得到函數的圖象,只需將的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位【答案】B【分析】將寫為,根據三角函數的平移變換即可得出選項.【詳解】解:由題知,所以由變到只需向左平移個單位,故由變到只需向右平移個單位.故選:B5．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是以經過分鐘后物體的溫度可由公式求得．把溫度是的物體，放在的空氣中冷卻t分鐘后，物體的溫度是，那么的值約等于（

）（參考數據：）A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40【答案】D【分析】根據題意代入數據，利用指數和對數的互化求解即可.【詳解】由題意可得，，，代入可得：，即，所以，解得，故選：D6．若是方程的兩個根，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】利用韋達定理和正切的兩角和公式求解即可.【詳解】因為是方程的兩個根，由韋達定理得，，所以，故選：C7．下列4個選項中，p是q的充分不必要條件的是（

）A． B．C． D．中至少有一個不為零【答案】C【分析】根據充分條件和必要條件的定義逐項判斷即可.【詳解】對于選項A，取，，則，但，所以不是的充分條件，A錯誤；對于選項B，取，則，但是，所以不是的充分條件，B錯誤；對于選項C，因為不等式的解集為，所以由可推出，但由不能推出，所以是的充分不必要條件，C正確；對于選項D，由可推出中至少有一個不為0，由中至少有一個不為0能推出，所以是中至少有一個不為0的充分必要條件，D錯誤；故選：C.8．若定義在上的偶函數，對任意的，且，都有且，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得在上單調遞增，根據偶函數的性質可得在上單調遞減，再根據，即可得到的大致圖像，結合圖像分類討論，即可求出不等式的解集；【詳解】因為函數滿足對任意的，且，有，即在上單調遞增，又是定義在R上的偶函數，所以在上單調遞減，又，所以，函數的大致圖像可如下所示：所以當時，當或時，又不等式等價于或，解得或，即原不等式的解集為；故選：D.二、多選題9．已知，且，則下列不等式恒成立的有（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】根據不等式的性質判斷．錯誤的可舉反例．【詳解】，且，則，，，A錯誤；，則，B正確；，則，C正確；與不能比較大?。纾藭r，，D錯誤．故選：BC．10．若角是的三個內角，則下列等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】利用三角形內角和為及誘導公式逐項判斷即可.【詳解】，A錯誤；，B正確；，C正確；，D正確；故選：BCD11．下列4個函數中，零點個數為2的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對于ACD，構造兩個函數，分別作出兩函數的圖象，根據函數圖象交點的個數即可得出函數零點的個數，根據零點的存在性定理即可判斷B.【詳解】解：對于A，令，則有，作出函數的函數圖象，由圖可知兩函數有兩個交點，即函數有2個零點；對于B，當時，函數都是增函數，所以函數在上遞增，又，所以函數在上有且只有一個零點，又因，所以函數的零點不止2個；對于C，令，則，作出函數的函數圖象，由圖可知兩函數有兩個交點，即函數有2個零點；對于D，令，則，作出函數的函數圖象，由圖可知兩函數有兩個交點，即函數有2個零點.故選：ACD.12．已知函數，則下列結論中正確的是（

）A．的值域為 B．的最小正周期為C．在上單調遞增 D．的對稱軸為【答案】BC【分析】作出函數的圖象，結合函數圖像逐一判斷即可.【詳解】解：如圖，作出函數的圖象，由圖可知函數的值域為，故A錯誤；函數的最小正周期為，故B正確；函數在上單調遞增，故C正確；函數的對稱軸為或，故D錯誤.故選：BC.三、雙空題13．在扇形中，已知半徑為4，弧長為12，則圓心角是__________弧度，扇形面積是__________．【答案】

3

24【分析】利用扇形的弧長、圓心角以及半徑的關系可求得圓心角的值，利用扇形的面積公式可求得該扇形的面積.【詳解】由已知可得，該扇形的圓心角弧度，面積,故答案為：3；24四、填空題14．__________．【答案】4【分析】根據根式的性質，指數冪的運算性質和對數的運算性質運算即可.【詳解】因為，，，，所以，故答案為：4.15．已知，，且，若恒成立，則實數的取值范圍是_____________．【答案】【分析】將與相乘，展開后利用基本不等式求出的最小值，即可得出實數的取值范圍.【詳解】因為，，且，所以，，當且僅當時，等號成立，故的最小值為.因為恒成立，所以，.故答案為：.16．若函數存在最大值和最小值，記，側____________．【答案】16【分析】設，證明為奇函數，利用奇函數的性質得出答案.【詳解】，令則，即為奇函數，由此故故答案為：16.五、解答題17．已知集合．(1)若時，求；(2)時，求a的取值范圍．【答案】(1)或(2)【分析】（1）直接代入得到集合，利用并集含義即可得到答案；（2）根據，而，則，解出即可.【詳解】（1）時，，或.（2）因為，又，∴∴，故a的取值范圍.18．設且，且．(1)求實數的值及函數的定義域；(2)證明的奇偶性，并求函數在區(qū)間上的最值．【答案】(1)，(2)證明見解析，【分析】（1）由對數函數的運算性質及定義域求解即可；（2）由奇偶性和單調性的定義求解即可.【詳解】（1）由可得，解得，所以函數，則滿足，解得，所以函數的定義域是.（2）由題意，函數的定義域為關于原點對稱，，即，所以為奇函數，因為，法一：設任意的，有則因為，所以，所以，所以，即，所以函數在區(qū)間上單調遞增所以在區(qū)間上單調遞增法二：設，可得函數在區(qū)間上單調遞增，根據復數函數的單調性，可得函數在區(qū)間上單調遞增，.19．百年以來，從偉大斗爭中提煉偉大精神并引領新的偉大斗爭，是我們黨的優(yōu)良傳統(tǒng)．這場史無前例、舉世矚目的脫貧攻堅偉大斗爭，不僅取得了近1億人脫貧的偉大物質成就，也鑄就了激勵14億人繼續(xù)乘風破浪前進的偉大精神成果．習近平總書記在全國脫貧攻堅總結表彰大會上總結了“上下同心、盡銳出戰(zhàn)、精準務實、開拓創(chuàng)新、攻堅克難、不負人民”的脫貧攻堅精神．在脫貧攻堅過程中，某地縣鄉(xiāng)村三級干部在幫扶走訪中得知某貧困戶的實際情況后，為他家量身定制了脫貧計劃，政府無息貸款10萬元給該農戶養(yǎng)羊，每萬元可創(chuàng)造利潤0.15萬元若進行技術指導，養(yǎng)羊的投資減少了萬元，且每萬元創(chuàng)造的利潤變?yōu)樵瓉淼谋叮F將養(yǎng)羊少投資的x萬元全部投資網店，進行農產品銷售，則每萬元創(chuàng)造的利潤為萬元，其中．(1)若進行技術指導后養(yǎng)羊的利潤不低于原來養(yǎng)羊的利潤，求x的取值范圍：(2)若網店銷售的利潤始終不高于技術指導后養(yǎng)羊的利潤，求a的最大值．【答案】(1)(2)a的最大值為6.5【分析】（1）由題意得，解不等式即可得解；（2）分別求出網店銷售的利潤和技術指導后養(yǎng)羊的利潤，再分離參數結合基本不等死即可得出答案.【詳解】（1）解：由題意，得，整理得，解得，又，故；（2）解：由題意知網店銷售的利潤為萬元，技術指導后，養(yǎng)羊的利潤為萬元，則恒成立，又，∴恒成立，又，當且僅當時等號成立，所以，∴，即a的最大值為6.5．20．已知函數．(1)求函數的單調遞增區(qū)間；(2)求函數在區(qū)間上的最大值和最小值；(3)若為銳角，，求的值．【答案】(1)；(2)最大值為2，最小值為；(3).【分析】(1)化簡函數解析式，結合正弦函數單調性求其單調遞增區(qū)間；(2)利用不等式的性質和正弦函數的性質求函數的最大值和最小值；(3)由條件可求，利用同角關系求，然后利用算出答案即可.【詳解】（1）由已知．令，解得故函數的單調遞增區(qū)間為（2）由，可得所以，故，所以函數在區(qū)間上的最大值為2，此時，即，函數在區(qū)間上的最小值為-1，此時，即，（3）由，可得，因為，可得，．.21．一半徑為米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面米；已知水輪按逆時針做勻速轉動，每秒轉一圈，如果當水輪上點從水中浮現時（圖中點）開始計算時間.（1）以水輪所在平面與水面的交線為軸，以過點且與水面垂直的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，試將點距離水面的高度（單位：米）表示為時間（單位：秒）的函數；（2）在水輪轉動的任意一圈內，有多長時間點距水面的高度超過米？【答案】（1）；（2）有時間點距水面的高度超過米.【分析】（1）設，根據題意求得、的值，以及函數的最小正周期，可求得的值，根據的大小可得出的值，由此可得出關于的函數解析式；（2）由得出，令，求得的取值范圍，進而可解不等式，可得出的取值范圍，進而得解.【詳解】（1）設水輪上圓心正右側點為，軸與水面交點為，如圖所示：設，由，，可得，所以.，，，由題意可知，函數的最小正周期為，，所以點距離水面的高度關于時間的函數為；（2）由，得，令，則，由，解得，又，所以在水輪轉動的任意一圈內，有時間點距水面的高度超過米.【點睛】本題考查三角函數模型的簡單應用，根據題意建立函數解析式是解答的關鍵，考查計算能力，屬于中等題.22．已知函數在區(qū)間上有最大值4，最小值1．函數．(1)求函數的解析式；(2)若存在使得不等式成立，求實數的取值范圍；(3)若函數有三個零點，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由二次函數的對稱軸可知在上單調遞增，將最值代入求解即可；（2）利用分離參數法將不等式轉化為，求的最小值即可；（3）函數有三個零點，即方程有三個實