第33課時(shí)冪函數(shù)課時(shí)目標(biāo)1.通過實(shí)例，了解冪函數(shù)的概念．2．結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝x的圖象，了解它們的變化情況及簡(jiǎn)單性質(zhì)．3．會(huì)用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單問題．識(shí)記強(qiáng)化1．一般地，形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．2．冪函數(shù)隨著α的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：(1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1)；(2)如果α＞0，則冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．(3)如果α＜0，則冪函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸，當(dāng)x趨向于＋∞時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸．(4)如果冪函數(shù)的圖象過第三象限，則一定過點(diǎn)(－1，－1)．課時(shí)作業(yè)(時(shí)間：45分鐘，滿分：90分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．在函數(shù)①y＝eq\f(1,x)，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是冪函數(shù)的是()A．①②④⑤B．③④⑥C．①②⑥D(zhuǎn)．①②④⑤⑥答案：C解析：冪函數(shù)是形如y＝xα(α∈R，α為常數(shù))的函數(shù)，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－eq\f(1,2)的情形，所以①②⑥都是冪函數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；⑤中x2的系數(shù)是2，所以不是冪函數(shù)；④是常函數(shù)，不是冪函數(shù)．所以只有①②⑥是冪函數(shù)．2．已知函數(shù)f(x)＝(a2－a－1)x為冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－1或2B．－2或1C．－1D．1答案：C解析：因?yàn)閒(x)＝(a2－a－1)x為冪函數(shù)，所以a2－a－1＝1，即a＝2或－1.又a－2≠0，所以a＝－1.3．冪函數(shù)f(x)＝x的大致圖象為()答案：B解析：由于f(0)＝0，所以排除C，D選項(xiàng)，而f(－x)＝(－x)＝eq\r(3,－x2)＝eq\r(3,x2)＝x＝f(x)，且f(x)的定義域?yàn)镽，所以f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．故選B.4．設(shè)a＝(eq\f(2,3))，b＝(eq\f(2,3))，c＝(eq\f(2,5))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞b＞a答案：B解析：∵f(x)＝(eq\f(2,3))x在R上為減函數(shù)，∴(eq\f(2,3))＜(eq\f(2,3))，即a＜b；∵f(x)＝x在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴(eq\f(2,3))＞(eq\f(2,5))，即a＞c.∴b＞a＞c.5．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,lgx)的定義域?yàn)?)A．(1，＋∞)B．(0,1)C．(0，＋∞)D．(0,1)∪(1，＋∞)答案：D解析：由已知，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0,lgx≠0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0,x≠1))?0＜x＜1或x＞1，所以f(x)的定義域?yàn)?0,1)∪(1，＋∞)．6．當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，函數(shù)y＝xa的圖象恒在直線y＝x的下方，則a的取值范圍是()A．0＜a＜1B．a(chǎn)＜0C．a(chǎn)＜1，且a≠0D．a(chǎn)＞1答案：C解析：如圖(1)所示，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，對(duì)于x∈(1，＋∞)，y＝xa的圖象恒在直線y＝x的下方；如圖(2)所示，當(dāng)a＜0時(shí)，對(duì)于x∈(1，＋∞)，y＝xa的圖象也符合條件．二、填空題(本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分)7．若α∈R，函數(shù)f(x)＝(x－1)α＋3的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．答案：(2,4)解析：令x－1＝1，得x＝2，∴f(2)＝1α＋3＝4，所以f(x)＝(x－1)α＋3的圖象恒過定點(diǎn)(2,4)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4)．8．已知冪函數(shù)f(x)＝x(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)的解析式為________．答案：f(x)＝x4解析：因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)＝x(m∈Z)為偶函數(shù)，所以－m2＋2m＋3為偶數(shù)．又f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以－m2＋2m＋3＞0，所以－1＜m＜3.又m∈Z，－m2＋2m＋3為偶數(shù)，所以m＝1，故所求解析式為f(x)＝x9．函數(shù)y＝(mx2＋4x＋2)＋(x2－mx＋1)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是________．答案：m＞2解析：要使y＝(mx2＋4x＋2)＋(x2－mx＋1)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則需mx2＋4x＋2＞0對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,Δ＜0.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＞0，,42－4m×2＜0.))解得m＞2.故m的取值范圍是m＞2.三、解答題(本大題共4小題，共45分)10．(12分)將下列各組數(shù)從小到大排列起來．(1)，(－，(－eq\f(1,3))；(2)，，(－；(3)，，.解：(1)∵(－＝＞0，(－eq\f(1,3))＜0，又y＝xeq\f(2,3)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．∴(－eq\f(1,3))＜(－＜.(2)∵＞1,0＜＜1，(－＜0，∴(－＜＜.(3)＝，＝＝(eq\r)，又∵y＝x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，且eq\r＞＞，∴＜＜.11．(13分)已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)P(8，eq\f(1,2))．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)的值域；(3)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性．解：(1)設(shè)f(x)＝xα.∵f(x)的圖象過點(diǎn)P(8，eq\f(1,2))，∴8α＝eq\f(1,2)，即23α＝2－1，∴3α＝－1，即a＝－eq\f(1,3)，∴函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x(x≠0)．(2)∵f(x)＝x＝eq\f(1,\r(3,x))，x≠0，∴y≠0，∴f(x)的值域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)．(3)∵f(－x)＝(－x)＝eq\f(1,\r(3,－x))＝－eq\f(1,\r(3,x))＝－f(x)，又f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴f(x)是奇函數(shù)．能力提升12．(5分)已知冪函數(shù)y＝x，y＝x，y＝x，y＝x在第一象限內(nèi)的圖象分別是圖中的C1、C2、C3、C4，則n1、n2、n3、n4的大小關(guān)系是()A．n1＞n2＞1，n3＜n4＜0B．n1＞n2＞1，n4＜n3＜0C．n1＞1＞n2＞0＞n4＞n3D．n1＞1＞n2＞0＞n3＞n4答案：D解析：直接根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性得到結(jié)果，也可過(1,1)點(diǎn)作垂直于x軸的直線，在該直線的右側(cè)，自上而下冪函數(shù)的指數(shù)依次減小．13．(15分)已知冪函數(shù)f(x)＝(m－1)2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)g(x)＝2x－k.(1)求m的值；(2)當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，記f(x)，g(x)的值域分別為集合A，B，若A∪B＝A，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：(1)依題意，得(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.當(dāng)m＝2時(shí)，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞減