2019年市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評分標準說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點和能力對照評分標準給以相應(yīng)的分數(shù)．2 ．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時， 如果后繼部分的解答未改變該題的容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數(shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．．解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù)．4．只給整數(shù)分數(shù)，選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算．共8小題，每小題5分，滿分40分．題號12345678答案DBCDACAB二、填空題：本大題考查基本知識和基本運算，體現(xiàn)選擇性．共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．9．1,10．sin111．12.3812．1或713．8，n2n222214．,1115．46說明：①第13題第一個空填對給2分，第二個空填對給3分．②第14題的正確答案可以是：1,112k(kZ).6三、解答題：本大題共 6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．16．（本小題滿分 12分）（本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、余弦定理、正弦定理、兩點間距離公式等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運算求解能力）（1）解：∵f(x)的最大值為2，且A0，∴A2.?????1分∵f(x)的最小正周期為8，28，得.?????2分∴T4∴f(x)2sin(x).?????3分44（2）解法1：∵f(2)2sin242cos2，?????4分4f(4)2sin42sin2，?????5分4P(2,2),Q(4,2).∴OP6,PQ23,OQ32.?????8分22222263223∴cosOPOQPQ3.???10分POQ2OPOQ26323∴sinPOQ1cos2POQ6.?????11分3∴△POQ的面積為S1OPOQsinPOQ1632632.223?????12分解法2：∵f(2)2sin42cos2，?????4分24f(4)2sin2sin2，?????5分44P(2,2),Q(4,2).uuur(2,uuur(4,2)∴OP2),OQ.uuur?????8分uuuruuuruuurOPOQ63∴cosPOQcosOP,OQ?????10分uuuruuur632.OPOQ3∴sinPOQ1cos2POQ6.?????11分3∴△POQ的面積為S1163262OPOQsinPOQ32.23?????12分解法3：∵f(2)2sin42cos2，?????4分24f(4)2sin2sin2，?????5分44P(2,2),Q(4,2).∴直線OP的方程為y2x，即x2y0.?????7分242?????9∴點Q到直線OP的距離為d23.分3∵OP6，?????11分∴△POQ的面積為S112332.?????12分OPd62217．（本小題滿分 12分）（本小題主要考查相互獨立事件的概率、離散型隨機變量的均值等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理、推理論證、運算求解能力和應(yīng)用意識，以及或然與必然的數(shù)學(xué)思想）解：設(shè)“甲做對”為事件A，“乙做對”為事件B，“丙做對”為事件C，由題意知，PA1,PBm,PCn.?????1分20（1）由于事件“至少有一位學(xué)生做對該題”與事件“”是對立的，所以至少有一位學(xué)生做對該題的概率是1P013????3分1.44（2）由題意知P0PABC11m11?????4分2n，4P3PABC11?????5分mn，224整理得mn1n7.，m1212由mn，解得m11?????7分，n.34（3）由題意知aP1PABCPABCPABC11m1n1m1n11mn11，???9分22224bP(2)1P(0)P(1)P(3)=1，?????10分4∴的數(shù)學(xué)期望為E0P(0)1P(1)2P(2)3P(3)=13.12????12分18．（本小題滿分14分）（本小題主要考查空間線面位置關(guān)系、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象、推理論證、抽象概括和運算求解能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法）解法一：（1）證明：延長A1D交AC的延長線于點F，連接BF.∵CD∥AA1，且CD1A1C1AA1，∴C為AF的中點.2?????2分B1∵E為AB的中點，D∴CE∥BF.?????3分∵BF平面A1BD，CE平面A1BD，H∴CE∥平面ABD.?????4分A1CF（2）解：∵AA1平面ABC，CE平面ABC，EB∴AA1CE.?????5分∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，E是AB的中點，∴CEAB，CE3AB3.∵AB2平面A1AB，AA1平面A1AB，ABIAA1A，∴CE平面A1AB.?????6分∴EHC為CH與平面AAB所成的角.?????71分∵CE3，在Rt△CEH中，tanEHCCE3，EHEH∴當EH最短時，tanEHC的值最大，則EHC最大.?????8分∴當EHA1B時，EHC最大.此時，tanEHCCE315.EHEH2∴EH25?????9.5分∵CE∥BF，CE 平面A1AB，∴BF 平面A1AB.分∵AB 平面A1AB，A1B 平面A1AB，∴BF AB，BF A1B.ABA1為平面A1BD與平面ABC所成二面角（銳角）.在Rt△EHB中，BHEB2EH25，cosABA15∴平面ABD與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值為5.15解法二：1）證明：取A1B的中點F，連接DF、EF.E為AB的中點，∴EF∥AA，且EF1AA.?????1分121∵CD∥AA1，且CD1AA1，2∴EF∥CD，EFCD.?????2分∴四邊形EFDC是平行四邊形.∴CE∥DF.?????3分∵DF平面A1BD，CE平面A1BD，∴CE∥平面A1BD.分（2）解：∵AA1平面ABC，CE平面ABC，∴AA1CE.∵△ABC是邊長為2的等邊三角形，E是AB的中點，∴CEAB，CE3AB3.2

?????1011分12分BH 5.?13分EB 514分zA1 C1B1DFHA C y?????4EBx?????5分∵AB平面AAB，AA平面AAB，ABIAAA，1111∴CE平面AAB.?????61分∴EHC為CH與平面A1AB所成的角.?????7分∵CE3，在Rt△CEH中，tanEHCCE3，EHEH∴當EH最短時，tanEHC的值最大，則EHC最大.?????8分∴當EHA1B時，EHC最大.此時，tanCE315EHCEH.EH2∴EH25?????9.5分在Rt△EHB中，BHEB2EH25.5Rt△EHB～Rt△A1AB，∴EHBH，即25555.AA1ABAA12∴AA14.?????10分以A為原點，與AC垂直的直線為x軸，AC所在的直線為y軸，AA1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz.則A(0,0,0)，A1(0,0,4)，B(3,1,0)，D(0,2,2).uuuruuuruuuur∴AA1(0,0,4)，A1B(3,1,-4)，A1D(0,2,-2).設(shè)平面A1BD的法向量為n=x,y,z，uuuruuuur由n?A1B0，n?A1D0，ì?+y-4z=0?得í?2z=0.?2y-令y= 1，則z= 1,x= 3.∴平面A1BD的一個法向量為n=()3,1,1.?????12分uuur4)是平面ABC的一個法向量.∵AA1平面ABC，∴AA1=(0,0,uuuuruuuur,nAA15∴cosAA1.?????13分uuuur5nAA1∴平面A1BD與平面ABC所成二面角（銳角）的余弦值為5.?????14分19．（本小題滿分14分）5（本小題主要考查等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列的前n項和等基礎(chǔ)知識，考查合情推理、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力）(1)解：Qa12a23a3Lnan(n1)Sn2n，∴當n1時，有a1(11)S12,解得a12.?????1分由a12a23a3Lnan(n1)Sn2n,①得a12a23a3Lnan(n1)an1nSn12(n1),②?????2分②-①得:(n1)an1nSn1(n1)Sn2.③?????3分以下提供兩種方法：法1：由③式得：(n1)(Sn1Sn)nSn1(n1)Sn2，即Sn12Sn2;?????4分Sn122(Sn2)，?????5分S12a1240，∴數(shù)列{Sn 2}是以4為首項,2為公比的等比數(shù)列 .∴Sn242n1,即Sn42n122n12.?????6分當n2時,anSnSn1(2n12)(2n2)2n，?????7分又a12也滿足上式,∴an2n.?????8分法2：由③式得：(n1)an1nSn1(n1)Sn2nSn1SnSn2，得an1Sn2.④?????4分當n2時,anSn12,⑤?????5分⑤-④得：an12an.?????6分由a12a2S24，得a24，∴a22a1.?????7分∴數(shù)列{an}是以a12為首項，2為公比的等比數(shù)列.∴an2n.?????8分（2）解：∵p,q,r成等差數(shù)列，∴pr2q.?????9分假設(shè)ap 1,aq 1,ar 1成等比數(shù)列，2則ap1ar1aq1即2p12r12q1化簡得：2p2r22q.∵pr，

， ?????10分2，（*） ?????11分∴2p2r22p2r22q，這與（*）式矛盾，故假設(shè)不成立.??13分∴,aq,ar1不是等比數(shù)列.?????14分1120．（本小題滿分 14分）（本小題主要考查橢圓、拋物線、曲線的切線等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識）(1)解法1：設(shè)橢圓C1的方程為x2y21ab0,a2b222 32依題意:a2b21,a2b24.分

a2 16,解得: ?????2b2 12.∴橢圓C1的方程為x2y21.?????31612分解法2：設(shè)橢圓x2y21ab0，C1的方程為2b2a根據(jù)橢圓的定義得2aAF1AF28，即a4，?????1分∵c2，∴b2a2c212.?????2分x2y21.?????3∴橢圓C1的方程為1216分(2)解法1：設(shè)點B(x1,1x12),C(x2,1x22)，則BC(x2x1,1(x22x12))，444BA(2x1,31x12)，4A,B,C三點共線,uuuruuur∴BC// BA. ?????4分∴xx31x21x2x22x,21414211化簡得：2(x1x2)x1x212.①?????5分由x24y,即y1x2,得y1x.?????6分42∴拋物線C2在點B處的切線l1的方程為y1x12x1(xx1)，即yx1x1x12.②4224同理，拋物線C2在點C處的切線l2的方程為yx2x12③?????8分2x2.4設(shè)點P(x,y)，由②③得：x1x1(x12而x1x2，則xx2).12代入②得yx1x2，4則2xx1x2，4yx1x2代入

1x12x2x1x22，424?????9分?????10分①得4x4y12，即點P的軌跡方程為yx3.?????11分若PFPFAFAF，則點P在橢圓C1上，而點P又在直線yx3上，1212?????12分∵直線yx3經(jīng)過橢圓C1一點(3,0),∴直線yx3與橢圓C1交于兩點.?????13分∴滿足條件PF1PF2AF1AF2的點P有兩個.?????14分解法2：設(shè)點B(x1,y1),C(x2,y2)，P(x0,y0)，由x24y,即y1x2,得y1x.?????4分42x1(x∴拋物線C2在點B處的切線l1的方程為yy1x1)，x12即yx12?????52y1x1.2分∵y11x12，∴yx1xy1.42∵點P(x0,y0)在切線l1上,∴y0x1x0y1.①?????62分同理，y0x2x0y2.②?????7分2xx0綜合①、②得，點B(x1,y1),C(x2,y2)的坐標都滿足方程y0y.?????8分∵經(jīng)過B(x1,y1),C(x2,y2)的直線是唯一的，2∴直線L的方程為y0xx0y，?????9分2∵點A(2,3)在直線L上，∴y0x03.?????10分∴點P的軌跡方程為yx3.?????11分若PF1PF2AF1AF2，則點P在橢圓C1上，又在直線yx3上，??12分∵直線yx3經(jīng)過橢圓C1一點(3,0),∴直線yx3與橢圓C1交于兩點.?????13分∴滿足條件PF1PF2AF1AF2的點P有兩個.分解法3：顯然直線L的斜率存在，設(shè)直線L的方程為ykx2ykx23,4kx8k120.由4y,消去y，得x2x2設(shè)Bx,y,Cx,y2,則x1x24k,x1x28k12.112分由x24y,即y1x2,得y1x.分42

，

144分56∴拋物線C2在點B處的切線l1的方程為yy1x1(xx1)，即y2∵y112，∴yx1x124x124x1.同理,得拋物線C2在點C處的切線l2的方程為yx2x1x2.242分x112,x1x22k,y2x4x1x2由x212解得x1x2,2k3.y2x4x2y4∴P2k,2k3.∵PF1PF2AF1AF2,

x12

x

y11x12.?7分2?????810分∴點P在橢圓C1:x2y21上.?????11分161222k2∴2k31.1612化簡得7k212k30.(*)?????12分由1224732280,?????13分可得方程(*)有兩個不等的實數(shù)根.∴滿足條件的點P有兩個.?????14分21．（本小題滿分 14分）（本小題主要考查二次函數(shù)、一元二次不等式、一元二次方程、函數(shù)應(yīng)用、均值不等式等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識）（1）解：∵關(guān)于x的不等式fx2m1x1m2的解集為m,m1，即不等式x2a12mxm2m0的解集為m,m1，∴x2a12mxm2mxmxm1.∴x2a12mxm2mx22m1xmm1.∴a12m2m1.∴a2.?????2分(2)解法1:由(1)得gxfxx22xm1x1mx1x1x.1∴xgxklnx1x1mklnx1的定義域為1,.xx21∴(x)1mk2kxkm1?????3x2x1x2.11分方程x22kxkm10（*）的判別式224km1k24m.?????4分k①當m00*）的兩個實根為x12kk24m時，，方程（21,x22kk24m1,?????5分2則x1,x2時，(x)0；xx2,時，(x)0.∴函數(shù)x在1,x2上單調(diào)遞減，在x2,上單調(diào)遞增.∴函數(shù)x有極小值點x2.?????6分②當m0時，由0,得k2m或k2m，若k2m，則x2kk24m1,x2kk24m21,122故x1,時，(x)0，∴函數(shù)x在1,上單調(diào)遞增.∴函數(shù)x沒有極值點.?????7分若k2m時，x2kk24m1,x2kk24m1,1222則x1,x時，(x)0；xx,x時，(x)0；xx,時，(x)0.1122∴函數(shù)x在1,x1上單調(diào)遞增，在x1,x2上單調(diào)遞減，在x2,上單調(diào)遞增.∴函數(shù)x有極小值點x2，有極大值點x1.?????8分綜上所述,當m0時，k取任意實數(shù),函數(shù)x有極小值點x2；當m0時，k2m，函數(shù)x有極小值點x2，有極大值點x1.???9分(其中x12kk24mx22kk24m2,2)fxx22xm1m.解法2:由(1)得gxx1x1xx11∴xgxklnx1x1mklnx1的定義域為1,.x1∴(x)1mkx22kxkm1?????32x12.x1x1分若函數(shù)xgxklnx1存在極值點等價于函數(shù)(x)有兩個不等的零點，且至少有一個零點在1,上.?????4分令(x)x22kxkm10,x21得x22kxkm10,(*)224km1k24m0,(**)?????5則k分方程（*）的兩個實根為x2kk24m,2kk24mx.1222x2設(shè)hx2kxkm1,①若x11,x21,則h1m0,得m0,此時,k取任意實數(shù),(**)成立.則x1,x2時，(x)0；xx2,時，(x)0.∴函數(shù)x在1,x2上單調(diào)遞減，在x2,上單調(diào)遞增.∴函數(shù)x有極小值點x2.?????6分h1m0,,②若x11,x21,則2k得m01.k.20又由(**)解得k2m或k2m,故k2m.?????7分則x1,x時，(x)0；xx,x時，(x)0；xx,時，