圖像變換離散余弦變換

離散沃爾什變換離散K-L變換2離散余弦變換

圖像處理中常用的正交變換除了傅里葉變換外，還有其他一些有用的正交變換。其中離散余弦就是一種。離散余弦變換表示為DCT。

3一維離散余弦變換的定義由下式表示(3—74)(3—75)4式中是第個余弦變換系數(shù)，是廣義頻率變量，；是時域N點序列，一維離散余弦反變換由下式表示(3—76)顯然，式(3—74)式(3—75)和式(3—76)構成了一維離散余弦變換對。5二維離散余弦變換的定義由下式表示(3—77)6式(3—77)是正變換公式。其中是空間域二維向量之元素。，是變換系數(shù)陣列之元素。式中表示的陣列為N×N7二維離散余弦反變換由下式表示(3—78)【例】應用MATLAB實現(xiàn)圖像的DCT變換。解：MATLAB程序如下：

A=imread(‘lena.bmp'); %讀入圖像

I=dct2(A); %對圖像作DCT變換

subplot(1,2,1),imshow(A);%顯示原圖像

subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I)),[05]);（3.20）（a）原圖（b）DCT變換（c）DFT變換離散余弦變換小結：DCT除了具有一般的正交變換性質外，它的變換陣的基向量能很好地描述人類語音信號和圖像信號的相關特征。因此，在對語音信號、圖像信號的變換中，DCT變換被認為是一種準最佳變換。近年頒布的一系列視頻壓縮編碼的國際標準建議中，都把DCT作為其中的一個基本處理模塊。前面的變換都是余弦型變換，基底函數(shù)選用的都是余弦型。圖像處理中還有許多變換常常選用方波信號或者它的變形。沃爾什（Walsh）變換。

沃爾什/哈達瑪變換一、沃爾什函數(shù)沃爾什函數(shù)是1923年由美國數(shù)學家沃爾什提出的。沃爾什函數(shù)系是完備的正交函數(shù)系，其值也是只?。?和－1。從排列次序來定義有三種：

第一種是按沃爾什排列或稱按列率排列來定義；第二種是按佩利排列定義；(自然序數(shù)）第三種是按哈達瑪排列來定義。（第三定序法）

1.按沃爾什排列的沃爾什函數(shù)按沃爾什排列的沃爾什函數(shù)

10t10-1t1110-1t110-1t110-1t110-1t110-1t110-1t12.按佩利排列的沃爾什函數(shù)按佩利排列的沃爾什函數(shù)1010-11t10-11t10-11t10-11t10-11t10-11t10-11tt3.按哈達瑪排列的沃爾什函數(shù)

按哈達瑪排列的沃爾什函數(shù)是從階哈達瑪矩陣得來的。階哈達瑪矩陣每一行的符號變化規(guī)律，對應某個沃爾什函數(shù)在正交區(qū)間內符號變化的規(guī)律，也就是說，階哈達瑪矩陣的每一行就對應著一個離散沃爾什函數(shù)。

階哈達瑪矩陣有如下形式

哈達瑪矩陣

哈達瑪矩陣的階數(shù)是按N＝2n(n＝0,1,2,…)規(guī)律排列的，階數(shù)較高的哈達瑪矩陣，可以利用矩陣的克羅內克積運算，由低階哈達瑪矩陣遞推得到，即

哈達瑪矩陣

按哈達瑪排列的沃爾什函數(shù)10-11t10-11t10-11t10-11t10-11t10-1110-11t10-11tt3.按哈達瑪排列的沃爾什函數(shù)

一維離散沃爾什變換定義為一維離散沃爾什逆變換定義為式中，Walsh(u,x)為沃爾什函數(shù)。一、一維離散沃爾什-哈達瑪變換一、一維離散沃爾什-哈達瑪變換

由于哈達瑪排序的沃爾什函數(shù)是由2n（n=0，1，2，…）階哈達瑪矩陣（HadamardMatrix）得到的，而哈達瑪矩陣的最大優(yōu)點在于它具有簡單的遞推關系，即高階矩陣可用兩個低階矩陣的克羅內克積求得，因此在此只介紹哈達瑪排列定義的沃爾什變換。［HN］為N階哈達瑪矩陣。若將Walsh(u,x)用哈達瑪矩陣表示，則可將變換表達式寫成矩陣形式：由于哈達瑪矩陣由+1-1組成，可知：沃爾什-哈達瑪變換的本質上是將離散序列f(x)的各項值的符號按一定規(guī)律改變后，進行加減運算，因此，它比采用復數(shù)運算的DFT和采用余弦運算的DCT要簡單得多。二維WHT的正變換和逆變換分別為式中：x,u=0,1,2,…,M－1；

y,v=0,1,2,…,N－1。二、二維離散沃爾什變換【例】求這兩個信號的二維WHT。解：M=N=4，其二維WHT變換核為

從以上例子可看出，二維WHT具有能量集中的特性，而且原始數(shù)據(jù)中數(shù)字越是均勻分布，經變換后的數(shù)據(jù)越集中于矩陣的邊角上。因此，二維WHT可用于壓縮圖像信息。

【例】一幅數(shù)字圖像及對其進行二維WHT變換的結果。（a）原圖像；（b）二維WHT結果類似于FFT，WHT也有快速算法FWHT，也可將輸入序列f(x)按奇偶進行分組，分別進行WHT。

WHT的變換核是可分離和對稱的，因此二維WHT也可分為兩個一維的WHT分別用FWHT進行變換而得到最終結果，由此便可實現(xiàn)二維的FWHT。三、快速沃爾什變換（FWHT）小結：

WHT是將一個函數(shù)變換成取值為＋1或－1的基本函數(shù)構成的級數(shù)，用它來逼近數(shù)字脈沖信號時要比FFT有利。

WHT只需要進行實數(shù)運算，存儲量比FFT要少得多，運算速度也快得多。WHT在圖像傳輸、通信技術和數(shù)據(jù)壓縮中被廣泛使用。5.4

沃爾什/哈達瑪變換30離散K-L變換又稱為霍特林(Hotelling)變換KL(Karhunen-Loeve)或DKT以圖像的統(tǒng)計性質為基礎的變換核矩陣由圖像陣列的協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量所決定－又稱為特征向量變換31當變量之間存在一定的相關關系時，可以通過原始變量的線性組合，構成數(shù)目較少的不相關的新變量代替原始變量，而每個新變量都含有盡量多的原始變量的信息。這種處理問題的方法，叫做主成分分析，新變量叫做原始變量的主成分。目的是尋找任意統(tǒng)計分布的數(shù)據(jù)集合之主要分量的子集。相應的基向量組滿足正交性且由它定義的子空間最優(yōu)地考慮了數(shù)據(jù)的相關性。將原始數(shù)據(jù)集合變換到主分量空間使單一數(shù)據(jù)樣本的互相關性(cross-correlation)降低到最低點。32圖像協(xié)方差矩陣假設對某幅N×N的圖像f(x,y)，在某個傳輸通道上傳輸了M次，因會受到各種因素的隨機干擾，接收到是一個圖像集合將M次傳送的圖像集合寫成M個N2維向量{X1,X2,…Xi,…XM},生成向量的方法可以采用行堆疊或列堆疊的方法，對第i次獲得的圖像fi(x,y)，可用N2維向量Xi表示：33問題是：如何選取一個合適的正交變換A，使得變換后的圖像Y=AX1)是具有M<<N2個分量的向量2)由Y經反變換而恢復的(向量X的估值)和原始圖像具有最小的均方誤差，即稱滿足這兩個條件的正交變換A為K-L變換。如果能找到這樣一個變換，那么就意味著經過一個變換，不僅刪除了N2-M個分量，并且由變換結果Y重新恢復的圖像是有效的過濾了隨機干擾的原圖像的最佳逼近。

34X向量的協(xié)方差矩陣CX定義為設ei和λi是協(xié)方差矩陣CX對應的特征向量和特征值，將特征值按減序排列，即則K-L變換核矩陣A的行用CX的特征值λi所對應的特征向量ei構成：35直接求矩陣

CX的特征值和特征向量很困難。這是因為CX是N2×N2維矩陣，盡管圖像的大小N可能不是很大的，但N2卻是很大的數(shù)據(jù)。這樣求其特征向量和特征值速度較慢。但如果樣本圖象個數(shù)M不太多，可以先計算出M×M維方陣L＝ATA的特征值μk和特征向量vk左乘矩陣A，則有

是矩陣CX的特征向量可以選擇P(P≤M)個較大特征值對應的特征向量（主成分），構造新的P維主成分空間Q因為CX是實對稱矩陣，總能找到一個標準正交的特征向量集合，使A-1=AT，那么可得K-L反變換為

36K-L變換的性質和特點（1）Y的平均值向量my＝0，即為零向量0（2）Y向量的協(xié)方差37（3）對角性對角線上的元素是原始圖像向量的協(xié)方差矩陣CX對應的特征值λi，它也是Y向量的方差。而非對角線上的元素值為0，說明Y向量中各元素之間相關性小，而CX的非對角線上元素不為0，說明原始圖像元素之間相關性強，這就是采用K-L變換進行編碼，數(shù)據(jù)壓縮比大的原因顯然K-L坐標系將矩陣CX對角化了，換句話說，通過K-L變換，消除了原有向量X的各分量之間的相關性，從而可能去掉那些帶有較少信息的坐標軸，以達到降低特征空間維數(shù)的目的。38X1X2e1e2在原來坐標系中，要用兩個分量X1,X2來表示各個樣本，而在K-L坐標系中，只要用e1就可以，去掉e2并不會帶來很大的誤差假設矩陣CX只有少數(shù)幾個數(shù)值大的特征值，而其余的特征值數(shù)值很小，K-L坐標系就可以有效的進行信息壓縮39K-L變換的最大優(yōu)點是去相關性好，可用于數(shù)據(jù)壓縮和圖像旋轉主要困難是由于協(xié)方差矩陣CX求特征值λ和特征向量解方程的計算量大，同時K-L變換是非分離的，二維不可分，一般情況下，K-L變換沒有快速算法40實例以K-L變換進行自動的人臉識別為例說明我們把一幅數(shù)字圖像看成一個矩陣或一個數(shù)組，用B(i,j)或[bij]表示，一幅N×N大小的人臉圖像按列相連構成一個N2維矢量x=(b11b21…bN1b12b22…bN2…b1Nb2N…bNN)它可視為N2維空間中的一個點，假設N=128。由于人臉結構的相似性，當把很多這樣的人臉圖像歸一化之后，這些圖像在這一超高維空間中不是隨機或散亂分布的，而是存在某種規(guī)律，因此可以通過K-L變換用一個低維子空間描述人臉圖像，同時又能保存所需要的識別信息41圖像的歸一化對于一個全自動的人臉識別系統(tǒng)，其首要的工作是人臉圖像的分割以及主要器官的定位。另外，由于K-L變換本質上依賴于圖像灰度在空間分布上的相關性，因此還需要對人臉圖像進行一系列的預處理，以達到位置校準和灰度歸一化的目的假設已根據(jù)分割及定位算法，得到了人臉正面圖像左右兩眼中心的位置，并分別記為Er和El，則可通過下述步驟達到圖像校準的目的421、進行圖像旋轉，以使Er和El的連線ErEl保持水平。這保證了人臉方向的一致性，體現(xiàn)了人臉在圖像平面內的旋轉不變性2、根據(jù)圖所示的比例關系，進行圖像裁剪。圖中，O點為ErEl的中點，且d=ErEl。經過裁剪，在2d×2d的圖像內，可保證O點固定于(0.5d,d)處。這保證了人臉位置的一致性，體現(xiàn)了人臉在圖像平面內的平移不變性3、進行圖像縮小和放大變換，得到統(tǒng)一大小的標準圖像，規(guī)定標準圖像的大小為128×128象素點，則縮放倍數(shù)為β=2d/128。這使得d=ErEl為定長(64個象素點)，即保證了人臉大小的一致性，體現(xiàn)了人臉在圖像平面內的尺度不變性43經過校準，不僅在一定程度上獲得了人臉表示的幾何不變性，而且還基本上消除了頭發(fā)和背景的干擾。完成了旋轉、平移和尺度不變性后，需要對校準的圖像做灰度拉伸，以改善圖像的對比度，然后采用直方圖修正技術使圖像具有統(tǒng)一的均值和方差，一部分消除光照強度的影響假設人臉數(shù)據(jù)庫中，由20人，每人10幅人臉圖像44K-L變換以歸一化后的標準圖像做為訓練樣本集，以該樣本集的總體散布矩陣為協(xié)方差矩陣，即xi為第i個訓練樣本的圖像向量，μ為訓練樣本集的平均圖像，M為訓練樣本的總數(shù)為了N2×N2維矩陣∑的特征值和正交歸一的特征向量，直接計