1第二章

話務(wù)量理論基礎(chǔ)2本章主要內(nèi)容§2.1引言統(tǒng)計(jì)時(shí)分復(fù)用話務(wù)量理論§2.2話務(wù)量源與服務(wù)器單個(gè)源的話務(wù)流量多個(gè)源的話務(wù)流量§2.3服務(wù)等級(jí)服務(wù)等級(jí)要解決的問(wèn)題問(wèn)題的解決（泊松公式、愛(ài)爾蘭-B公式、愛(ài)爾蘭-C公式）3§2.1引言統(tǒng)計(jì)時(shí)分復(fù)用話務(wù)量理論統(tǒng)計(jì)時(shí)分復(fù)用：定義：通過(guò)利用不同用戶需要通信服務(wù)時(shí)刻隨機(jī)出現(xiàn)的特征，來(lái)對(duì)網(wǎng)絡(luò)資源進(jìn)行分時(shí)使用的方式；使用目的：提供網(wǎng)絡(luò)資源的利用率，節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源數(shù)量，降低通信網(wǎng)絡(luò)的建設(shè)和運(yùn)營(yíng)成本；使用條件：在任意一段觀測(cè)時(shí)間T內(nèi)，網(wǎng)絡(luò)資源數(shù)量有限；用戶的通信繁忙程度較小，通信時(shí)間僅占T的極小一部分；用戶需要通信服務(wù)的時(shí)刻隨機(jī)出現(xiàn)，即在T內(nèi)各時(shí)刻出現(xiàn)通信服務(wù)的概率相等；用戶對(duì)服務(wù)質(zhì)量要求不嚴(yán)，能容忍偶爾得不到通信服務(wù)以及短時(shí)間的等待。使用方法：按需分配；應(yīng)用范圍：網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、交換網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)。4§2.1引言統(tǒng)計(jì)時(shí)分復(fù)用話務(wù)量理論話務(wù)量理論：要解決的問(wèn)題：在統(tǒng)計(jì)時(shí)分復(fù)用中，在服務(wù)質(zhì)量一定的條件下，如何用盡可能少的網(wǎng)絡(luò)資源給盡可能多的用戶提供通信服務(wù)？奠基人：丹麥數(shù)學(xué)家A.K.Erlang，定義了描述通信繁忙程度的物理量—話務(wù)量；定義了描述服務(wù)質(zhì)量好壞的物理量—服務(wù)等級(jí)；求出了話務(wù)量、服務(wù)等級(jí)時(shí)，最新網(wǎng)絡(luò)資源的數(shù)量。5話務(wù)量定義：在時(shí)間觀測(cè)T內(nèi)，各次服務(wù)持續(xù)時(shí)間的總和，即

(2.1)式中－在時(shí)間T內(nèi)的話務(wù)量，單位：小時(shí)。－在時(shí)間T內(nèi)服務(wù)發(fā)生的次數(shù)，單位：次。－各次服務(wù)的持續(xù)時(shí)間，單位：小時(shí)。如果定義每次服務(wù)的平均保持時(shí)間單位：小時(shí)）為

(2.2)則有(2.3)

§2.2話務(wù)量源與服務(wù)器單個(gè)源的話務(wù)流量多個(gè)源的話務(wù)流量源與服務(wù)器源：請(qǐng)求服務(wù)的用戶；

服務(wù)器：被請(qǐng)求的對(duì)象，如：各種網(wǎng)絡(luò)資源。6§2.2話務(wù)量源與服務(wù)器單個(gè)源的話務(wù)流量多個(gè)源的話務(wù)流量話務(wù)量影響AT的因素：n：服務(wù)需求的頻繁程度；hav：每次服務(wù)所持續(xù)的時(shí)間。話務(wù)流量目的：n是一個(gè)與T有關(guān)的量，所以AT也是一個(gè)與T有關(guān)的量，因此話務(wù)量就無(wú)法描述用戶通信的繁忙程度；定義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)的話務(wù)量，也就是單位時(shí)間內(nèi)各次服務(wù)時(shí)間的總和。（2.4）式中－單個(gè)源的話務(wù)流量，單位：愛(ài)爾蘭(erl)；T－觀測(cè)時(shí)間，單位：小時(shí)。－單個(gè)源的服務(wù)強(qiáng)度或單位時(shí)間內(nèi)的服務(wù)次數(shù)，單位：次/小時(shí)。（2.5）7話務(wù)流量物理意義：當(dāng)時(shí)，

：就變成一個(gè)確定量，就是單位時(shí)間內(nèi)呼叫發(fā)生（或到達(dá)）的概率；：也變?yōu)橐粋€(gè)確定量，即源一次服務(wù)的平均保持時(shí)間。：變?yōu)橐粋€(gè)確定量。根據(jù)(2.4)式，此時(shí)就是源忙時(shí)的概率，且它就等于用戶呼叫的到達(dá)概率與呼叫平均保持時(shí)間的乘積。若T不夠大，則、和仍然都是隨機(jī)變量，即它們可能取不同的值，且取各不同值的概率也各不相同，同時(shí)這些概率還會(huì)隨時(shí)間和地點(diǎn)的不同而不同。下面將對(duì)影響、和統(tǒng)計(jì)特性的因素分別加以介紹?！?.2話務(wù)量源與服務(wù)器單個(gè)源的話務(wù)流量多個(gè)源的話務(wù)流量8§2.2話務(wù)量話務(wù)流量服務(wù)強(qiáng)度的概率分布通常要受以下因素影響：時(shí)間：在一天中，通常在上午10點(diǎn)和下午4點(diǎn)，取較大值的概率較大。而在一周中，同樣是在星期一到五，出現(xiàn)較大值的概率較大。另外一年中的某些節(jié)假日（如：春節(jié)），也會(huì)突然地增大；突發(fā)事件：當(dāng)發(fā)生地震等自然災(zāi)害時(shí)，通信的數(shù)量也會(huì)突然增多；話機(jī)普及率：服務(wù)強(qiáng)度基本上與話機(jī)普及率成反比。當(dāng)使用同一部話機(jī)的用戶越多，則這部話機(jī)的服務(wù)強(qiáng)度會(huì)越大；用戶遇忙時(shí)的表現(xiàn)：當(dāng)用戶呼叫卻遇到網(wǎng)絡(luò)或受話方正忙時(shí)，有些用戶立即放棄呼叫，有些則會(huì)不斷地重?fù)埽虼擞脩粲雒r(shí)的表現(xiàn)不同，服務(wù)強(qiáng)度也會(huì)隨之不同。用戶遇忙時(shí)的表現(xiàn)主要有呼叫清除(LCC--LostCallClear)、呼叫保持(LCH--LostCallHeld)和呼叫延遲(LCD—LostCallDelayed)等三種類(lèi)型。費(fèi)率：由于目前的電話交換網(wǎng)采用了分時(shí)段計(jì)費(fèi)的方式，所以在收費(fèi)低的時(shí)段，服務(wù)強(qiáng)度通常較高，而在費(fèi)率高的時(shí)段，服務(wù)強(qiáng)度則相對(duì)較低。9§2.2話務(wù)量話務(wù)流量服務(wù)保持時(shí)間：其概率分布除要受費(fèi)率和用戶習(xí)慣的影響以外，還要與以下因素有關(guān)：通話性質(zhì)：在通常情況下，公務(wù)對(duì)話較簡(jiǎn)潔，因而保持時(shí)間短，而私人電話的通話時(shí)間一般則較長(zhǎng)；通話距離：一次服務(wù)的保持時(shí)間通常與通話距離成正比，長(zhǎng)途通話的時(shí)間通常大于市話通話時(shí)間。話務(wù)流量：也是隨機(jī)變量，且概率分布隨時(shí)間而變化，因此A1的大小通常用忙時(shí)話務(wù)流量來(lái)描述。忙時(shí)話務(wù)流量的定義通常有以下三種：平均忙時(shí)話務(wù)量：一年中最忙的30天內(nèi)的忙時(shí)話務(wù)量的平均值；/*CCITT建議Q.80*/異常忙時(shí)話務(wù)量：一年中最忙的5天內(nèi)的忙時(shí)話務(wù)量的平均值；/*CCITT建議Q.87*/平均忙時(shí)話務(wù)量(北美)：一年中最忙的10天內(nèi)的忙時(shí)話務(wù)量的平均值；10§2.2話務(wù)量源與服務(wù)器單個(gè)源的話務(wù)流量多個(gè)源的話務(wù)流量通話保持時(shí)間T：定義：每次通話的保持時(shí)間，單位：小時(shí)；統(tǒng)計(jì)特性：T是隨機(jī)變量，其概率分布被認(rèn)為與時(shí)間無(wú)關(guān)，且其概率密度函數(shù)服從(2.6)概率分布函數(shù)(2.7)通話保持時(shí)間的期望值

(2.8)

11§2.2話務(wù)量源與服務(wù)器單個(gè)源的話務(wù)流量多個(gè)源的話務(wù)流量呼叫離去率：定義：是指單位時(shí)間內(nèi)服務(wù)結(jié)束的概率，常記作；計(jì)算：假設(shè)單位時(shí)間，滿足，則有多個(gè)源的話務(wù)流量：定義：當(dāng)話務(wù)流量由N個(gè)統(tǒng)計(jì)特性相同的源產(chǎn)生時(shí)，總的話務(wù)流量等于(2.11)其中A－N個(gè)源產(chǎn)生的總話務(wù)流量，單位：erl；－N個(gè)源的服務(wù)強(qiáng)度或單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的服務(wù)次數(shù)；物理意義：當(dāng)且時(shí)，

12多個(gè)源的話務(wù)流量：物理意義：當(dāng)時(shí)，為N個(gè)源單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生服務(wù)的概率；而當(dāng)時(shí)，則為N個(gè)源單位時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生服務(wù)的次數(shù)。A：在任意時(shí)刻，N個(gè)源中有且僅有A個(gè)源處于忙狀態(tài)，或N個(gè)源中平均需要占用A個(gè)服務(wù)器?！?.2話務(wù)量源與服務(wù)器單個(gè)源的話務(wù)流量多個(gè)源的話務(wù)流量例2.1

設(shè)一個(gè)源在2小時(shí)內(nèi)共發(fā)生了4次呼叫，各次呼叫的持續(xù)時(shí)間依次為600s、100s、900s和200s，則呼叫的平均保持時(shí)間為hav＝（600＋100＋900＋200）／4＝450s＝0.125h話務(wù)量為AT＝nhav

＝4×0.125＝0.5h話務(wù)流量為A1＝AT／T＝0.5／2＝0.25erl呼叫強(qiáng)度為λ1＝n／T＝4/2＝2次/h

13§2.2話務(wù)量當(dāng)有20個(gè)相同的源時(shí)，呼叫強(qiáng)度變?yōu)棣耍?/p>

Nλ1＝20×2＝40次/h話務(wù)流量變?yōu)锳＝λhav＝40×0.125＝5erl當(dāng)有一個(gè)源、一個(gè)服務(wù)器時(shí)，服務(wù)器的占用率是A1＝AT／T＝0.25當(dāng)有20個(gè)源、若干個(gè)服務(wù)器時(shí)，占用服務(wù)器的平均個(gè)數(shù)是M＝N＝514服務(wù)等級(jí)（GradeofService，GOS）目的：描述服務(wù)質(zhì)量的好壞；呼損率：由于服務(wù)器全忙，而使部分源的服務(wù)被丟棄的概率，主要以下兩種定義方法：時(shí)間擁塞率：是指服務(wù)器全忙的概率。若假設(shè)服務(wù)器的個(gè)數(shù)為M，其中k個(gè)服務(wù)器被占用的概率為，則時(shí)間擁塞率可以用數(shù)學(xué)公式表示為(2.13)呼叫擁塞率：呼叫產(chǎn)生但無(wú)服務(wù)器空閑的概率。同樣根據(jù)以上假設(shè)，呼叫擁塞率可以用數(shù)學(xué)公式表示為(2.14)通常情況下，，但當(dāng)服務(wù)器個(gè)數(shù)M>>1時(shí)，服務(wù)等級(jí)：系統(tǒng)所能達(dá)到的呼損率稱(chēng)為系統(tǒng)的服務(wù)等級(jí)。服務(wù)等級(jí)的高低由服務(wù)器的數(shù)量和源的話務(wù)量決定。

§2.3服務(wù)等級(jí)服務(wù)等級(jí)要解決的問(wèn)題問(wèn)題的解決15§2.3服務(wù)等級(jí)服務(wù)等級(jí)要解決的問(wèn)題問(wèn)題的解決要解決的問(wèn)題問(wèn)題：已知：（1）N個(gè)源產(chǎn)生話務(wù)量A；（2）每次服務(wù)持續(xù)的時(shí)間hav。求：滿足BT≤C，最小的M？思路：根據(jù)只需由A，hav，N求出ps(k)，進(jìn)而反推出M。16問(wèn)題的解決假設(shè)：?jiǎn)蝹€(gè)源的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間、地點(diǎn)而變化，且有（1）單個(gè)源忙時(shí)的概率為A/N；（2）單個(gè)源的呼叫到達(dá)率為A/（Nhav）；（3）單個(gè)源的呼叫離去率為1/hav；解決：（1）當(dāng)時(shí)，N個(gè)源中有且只有A個(gè)忙，即式中為N個(gè)源中恰有k個(gè)忙的概率。由于故式中[]表示取整?！?.3服務(wù)等級(jí)服務(wù)等級(jí)要解決的問(wèn)題問(wèn)題的解決17問(wèn)題的解決解決：（2）當(dāng)N不夠大時(shí)，k可以不同的概率取不同的值，且pu(k)和ps(k)與用戶遇忙時(shí)的行為有關(guān)。用戶遇忙時(shí)的行為模型主要有三種：呼損保持模型（LostCallHeld，LCH）呼損清除模型（LostCallClear，LCC）呼損延遲模型（LostCallDelay，LCD）§2.3服務(wù)等級(jí)服務(wù)等級(jí)要解決的問(wèn)題問(wèn)題的解決18§2.3服務(wù)等級(jí)呼損保持模型呼損清除模型呼損延遲模型呼損保持模型模型介紹：模型特點(diǎn)：在LCH模型中，一個(gè)服務(wù)在服務(wù)器全忙時(shí)的部分話務(wù)量會(huì)丟失，而這個(gè)服務(wù)在服務(wù)器空閑時(shí)的那部分話務(wù)量則可以得到服務(wù)，因此不管源產(chǎn)生的服務(wù)得否到服務(wù)器的服務(wù)，它都將保持，直至達(dá)到保持時(shí)間而結(jié)束。服務(wù)全忙對(duì)源的統(tǒng)計(jì)特性沒(méi)有任何影響。當(dāng)k>M時(shí)，pu(k)>0。適用范圍：這種模型常用于北美地區(qū)公共電話交換網(wǎng)分析。19呼損保持模型ps(k)：M個(gè)服務(wù)器中有1個(gè)被占用概率就等于N個(gè)源中恰有1個(gè)忙的概率，即同理當(dāng)有空閑服務(wù)器時(shí)，有下式因此服務(wù)器全忙時(shí)的概率則為忙源個(gè)數(shù)大于M的概率，即

由于服務(wù)器全忙對(duì)N個(gè)源的統(tǒng)計(jì)特性沒(méi)有影響，所以各源就是相互獨(dú)立的，pu(k)服從二項(xiàng)式分布§2.3服務(wù)等級(jí)呼損保持模型呼損清除模型呼損延遲模型20§2.3服務(wù)等級(jí)呼損保持模型呼損清除模型呼損延遲模型呼損保持模型ps(k)

：當(dāng)時(shí)，于是，pu(k)服從迫松分布時(shí)間擁塞率：上式被稱(chēng)為Molina公式。觀察表2-2，當(dāng)時(shí)，21§2.3服務(wù)等級(jí)呼損保持模型呼損清除模型呼損延遲模型呼損清除模型模型介紹：模型特點(diǎn)：當(dāng)服務(wù)器全忙時(shí)，服務(wù)的全部話務(wù)量被丟棄；源的統(tǒng)計(jì)特性受外界因素，即服務(wù)器個(gè)數(shù)及其忙閑狀態(tài)，的影響，主要表現(xiàn)：服務(wù)器全忙會(huì)使某些源由忙變閑；N-k個(gè)源空閑的原因既可能是由于沒(méi)有服務(wù)產(chǎn)生，也有可能是在前一時(shí)刻服務(wù)器全忙而使服務(wù)被丟棄造成的；因此源忙的概率會(huì)變小，而源空閑的概率會(huì)增大；pu(k)將不再是二項(xiàng)式分布或迫松分布，且k越接近M，pu(k)與二項(xiàng)式分布或迫松分布區(qū)別越大；忙源的個(gè)數(shù)不可能大于服務(wù)器的個(gè)數(shù)，既pu(k)=0，k>M。適用范圍：除北美以外的公共電話網(wǎng)。22呼損清除模型ps(k)：須用馬爾科夫-生死過(guò)程來(lái)求解。單個(gè)源當(dāng)前一時(shí)刻k個(gè)源忙，每隔Δt觀測(cè)一次，若Δt足夠小，則一下觀測(cè)時(shí)刻，忙源的個(gè)數(shù)只可能是k-1，k，k+1。

當(dāng)k<M時(shí)，當(dāng)k=M時(shí)§2.3服務(wù)等級(jí)呼損保持模型呼損清除模型呼損延遲模型23呼損清除模型ps(k)：對(duì)系統(tǒng)做m次觀測(cè)，其中在k狀態(tài)停留nk次，則有次轉(zhuǎn)移到k+1狀態(tài)；次轉(zhuǎn)移到k-1狀態(tài)；次仍停留在k狀態(tài)，若由k-1轉(zhuǎn)移至k的次數(shù)和由k轉(zhuǎn)移至k-1的次數(shù)完全相同（對(duì)任意k），則當(dāng)時(shí)，極限存在，系統(tǒng)進(jìn)入平衡狀態(tài)，且呼損保持模型呼損清除模型呼損延遲模型§2.3服務(wù)等級(jí)24§2.3服務(wù)等級(jí)例2.2

一個(gè)二狀態(tài)單服務(wù)器的狀態(tài)圖如下圖所示。其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率可寫(xiě)成矩陣形式其中si為第i個(gè)周期時(shí)系統(tǒng)所處的狀態(tài)。設(shè)開(kāi)機(jī)時(shí)系統(tǒng)處于狀態(tài)0，即其中P0(0)和P0(1)分別是系統(tǒng)在第0個(gè)周期恰好位于狀態(tài)0和狀態(tài)1的概率。于是在第1個(gè)周期結(jié)束時(shí)，系統(tǒng)處于各狀態(tài)的概率應(yīng)是

在第二周期結(jié)束時(shí)，重復(fù)進(jìn)行，我們最終得到如下圖所示。此時(shí)我們稱(chēng)系統(tǒng)已達(dá)到平衡狀態(tài)。通過(guò)轉(zhuǎn)移邊界的概率之代數(shù)和為呼損保持模型呼損清除模型呼損延遲模型25§2.3服務(wù)等級(jí)λ0P∞(0)－μ1P∞(1)＝0.75×0.1－0.25×0.3＝0或λ0P∞(0)＝μ1P∞(1)即當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)后，通過(guò)轉(zhuǎn)移邊界的概率之代數(shù)和為零。

呼損保持模型呼損清除模型呼損延遲模型呼損清除模型ps(k)：系統(tǒng)進(jìn)入平衡狀態(tài)后，λk-1Ps(k－1)

＝μkPs(k)

其中利用

26§2.3服務(wù)等級(jí)呼損保持模型呼損清除模型