MatlabMathCleveMorler著陳文斌（)多項(xiàng)式和樣條

在平面上給定n個(gè)點(diǎn)(xk,yk),可以唯一確定一個(gè)最多n-1次的多項(xiàng)式通過這些點(diǎn)，這個(gè)多項(xiàng)式叫插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式P(xk)=

yk,k=1,2,…,nLagrange插值形式插值多項(xiàng)式例子

x=0:3;y=[-5–6–116];disp([x;y])Polyinterp(Lagrange插值形式)functionv=polyinterp(x,y,u)n=length(x);fork=1:nw=ones(size(u));forj=[1:k-1k+1:n]w=(u–x(j))./(x(k)–x(j)).*w;endv=v+w*y(k);end-0.500.511.522.533.5-10-50510152025u=-.25:.01:3.25;v=polyinterp(x,y,u);plot(x,y,’o’,u,v,’-’)Polyinterp(符號(hào)運(yùn)算)symx=sym(‘x’)P=polyinterp(x,y,symx)pretty(P)P=simplify(P)P=x^3-2*x-50123456710121416182022分片線性插值x=1:6;y=[161821171512];plot(x,y,’o’,u,v,’-’);function[v,sigma]=piecelin(x,y,u)d=diff(y)./diff(x);%Firstdivideddifference%Findsubintervalindices,x(k)<=u<u(k+1)n=length(x);k=ones(size(u));

forj=2:n-1k(u>=x(j))=j;end%Evaluateinterpolants=u-x(k);v=y(k)+s.*d(k);分片三次插值

設(shè)s=x-xk,

h=hkHermite插值（osculatory插值）

pchiptx.m

splinetx.m0123456710121416182022三次樣條三次樣條也是分片三次插值函數(shù)。物理上的樣條在滿足插值限制的前提下，最小化勢能。數(shù)學(xué)上的樣條必須滿足二次導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且滿足插值限制。參考文獻(xiàn)：

APracticalGuidetoSpline,CarldeBoor。他也是Matlab的spline函數(shù)和spline工具箱的作者。三次樣條二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)等距三次樣條然后我們可以計(jì)算出各個(gè)節(jié)點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)0246810121416182022分片線性插值02468510152025fulldegree多項(xiàng)式插值0246810121416182022保形狀Hermit插值0246810121416182022樣條插值分析上面的圖描述了光滑性和局部單調(diào)性（保形狀）的一種折衷。分片線性插值：保持單調(diào)性的，但光滑性比較差。

Fulldegree多項(xiàng)式插值：無限可微，但不保持形狀，特別是在端點(diǎn)的地方。Pchip和spline插值在這兩個(gè)極端之間。樣條比pchip光滑，樣條的兩階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，而pchip一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。不連續(xù)的兩階導(dǎo)數(shù)隱含著不連續(xù)的曲率。人的眼睛可以檢測出圖形上曲率的不連續(xù)。另一方面，pchip是保形狀的，而樣條不一定