2022-2023學(xué)年河南省洛陽市第二中學(xué)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．集合，則圖中陰影部分所表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將集合化簡，陰影部分表示，然后求解即可.【詳解】因為，得，，圖中陰影部分表示,所以得故選：C2．已知，則“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】充分性判斷：利用偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合和差角正弦公式求；必要性判斷：應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡并判斷奇偶性，最后由充分、必要性定義確定題設(shè)條件間的關(guān)系.【詳解】當(dāng)為偶函數(shù)時，則恒成立，即，；當(dāng)時，為偶函數(shù)；綜上，“函數(shù)為偶函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B3．已知，，若p是q的必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由是的必要條件，列不等式組，可得實數(shù)a的取值范圍．【詳解】由是的必要條件，可得，解得故選：D.4．已知集合則角α的終邊落在陰影處(包括邊界)的區(qū)域是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，由此判斷出正確選項.【詳解】令，則，故B選項符合.故選：B【點睛】本小題主要考查用圖像表示角的范圍，考查終邊相同的角的概念，屬于基礎(chǔ)題.5．在流行病學(xué)中，每名感染者平均可傳染的人數(shù)叫做基本傳染數(shù)，當(dāng)基本傳染數(shù)高于1時，每個感染者平均會感染1個以上的人，從而導(dǎo)致感染者人數(shù)急劇增長．當(dāng)基本傳染數(shù)低于1時，疫情才可能逐漸消散．而廣泛接種疫苗是降低基本傳染數(shù)的有效途徑，假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為，1個感染者平均會接觸到N個新人（），這N人中有V個人接種過疫苗（為接種率），那么1個感染者可傳染的平均新感染人數(shù)．已知某病毒在某地的基本傳染數(shù)，為了使1個感染者可傳染的平均新感染人數(shù)不超過1，則該地疫苗的接種率至少為（

）A．90% B．80% C．70% D．60%【答案】D【分析】根據(jù)已知條件可得出關(guān)于的不等式，解之即可得出結(jié)果.【詳解】因為，由題意，解得，故選：D．6．已知實數(shù)a，b，c滿足不等式，且，，，則M、N、P的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)特征易知，，畫出的圖象，由的相對位置可比較大小，進而得解.【詳解】因為，所以，，畫出的圖象，如圖，則，由圖可知，故.故選：A7．若，記，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可得，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小【詳解】因為，所以，所以，，，因為，所以，所以，即，綜上，，故選：C8．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)且時.已知，若對恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由奇偶性分析條件可得在上單調(diào)遞增，所以，進而得，結(jié)合角的范圍解不等式即可得解.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以當(dāng)且時，根據(jù)的任意性，即的任意性可判斷在上單調(diào)遞增，所以，若對恒成立，則，整理得，所以，由，可得，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛，本題解題的關(guān)鍵是利用，結(jié)合變量的任意性，可判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.二、多選題9．下列既是存在量詞命題又是真命題的是（

）A．，B．至少有個，使能同時被和整除C．，D．每個平行四邊形都是中心對稱圖形【答案】AB【分析】AB選項，可舉出實例；C選項，根據(jù)所有實數(shù)的平方非負，得到C為假命題；D選項為全稱量詞命題，不合要求.【詳解】中，當(dāng)時，滿足，所以A是真命題B中，能同時被和整除，所以B是真命題C中，因為所有實數(shù)的平方非負，即，所以C是假命題D是全稱量詞命題，所以不符合題意.故選：AB．10．水車在古代是進行灌溉的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征.如圖，一個半徑為6米的水車逆時針勻速轉(zhuǎn)動，水輪圓心距離水面3米，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動1圈，如果當(dāng)水輪上一點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點)開始計時，經(jīng)過t秒后，水車旋轉(zhuǎn)到點，則下列說法正確的是（

）A．在轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，點的高度在水面3米以上的持續(xù)時間為30秒B．當(dāng)時，點P距水面的最大距離為6米C．當(dāng)秒時，D．若第二次到達最高點大約需要時間為80秒【答案】ACD【分析】由題意可知，再設(shè)角是以為始邊，為終邊的角，可求得高度與時間的關(guān)系，進而根據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)進行判斷.【詳解】由題意可知，設(shè)角是以為始邊，為終邊的角，由條件得高度，當(dāng)時，，代入得，故，令，解得，故在轉(zhuǎn)動一圈內(nèi)，點的高度在水面3米以上的持續(xù)時間為30秒，即A選項正確；當(dāng)時，，當(dāng)時，時，點P距水面的最大距離為米，B選項錯誤；當(dāng)時，水車旋轉(zhuǎn)，即，故，C選項正確；，當(dāng)，即，故第二次到達最高點的時間為，故D選項正確.故選：ACD11．已知正數(shù)a，b滿足，則下列說法一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由基本不等式判斷AD，取判斷BC.【詳解】由題意可知，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故A正確；取，則，故BC錯誤；因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），則（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故D正確；故選：AD12．已知正實數(shù)x，y，z滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】令則，可得：，，進而結(jié)合對數(shù)運算與換底公式判斷各選項即可得答案.；【詳解】解：令，則，可得：，，，對于選項A：因為，所以，故選項A正確；對于選項B，因為，故，所以，即；，即，故B選項錯誤.對于選項C：，因為，所以，因為，所以，即，即，故選項C正確；對于選項D：，，因為，因為所以等號不成立，所以，即，所以，根據(jù)“或”命題的性質(zhì)可知選項D正確.故選：ACD三、填空題13．已知函數(shù)，則的值為________【答案】－3【分析】由分段函數(shù)的定義計算，注意自變量的取值范圍．【詳解】，，∴．故答案為：．14．如圖1是某小區(qū)的圓形公園，它外圍有一圓形跑道，并有4個出口A、B、C、D（視為點），并四等分圓?。ㄈ鐖D2）.小明從A點出發(fā)，在圓形跑道上按逆時針方向作勻速圓周跑動，假設(shè)他每分鐘轉(zhuǎn)過圓心角為弧度（），3分鐘第一次到達劣弧CD之間（不包括C、D點），15分鐘時回到出發(fā)點A，則的值為_____.【答案】【分析】首先求出的大致范圍，再根據(jù)15分鐘時回到出發(fā)點A，得到，即可得解；【詳解】解：依題意A點3分鐘轉(zhuǎn)過，且，所以，又15分鐘時回到出發(fā)點A，所以，所以，因為，所以故答案為：15．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．【答案】##【詳解】，設(shè)，對稱軸，，遞減，在上遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷：函數(shù)的調(diào)減區(qū)間為，故答案為.【方法點睛】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷可以綜合考查兩個函數(shù)的單調(diào)性，因此也是命題的熱點，判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性要注意把握兩點：一是要同時考慮兩個函數(shù)的的定義域；二是同時考慮兩個函數(shù)的單調(diào)性，正確理解“同增異減”的含義（增增增，減減增，增減減，減增減）.16．定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，則函數(shù)的所有零點之和為___________________．【答案】【詳解】由圖知，共五個零點，從左到右交點橫坐標(biāo)依次為，滿足，因此所有零點之和為四、解答題17．已知集合，．(1)當(dāng)時，求；(2)是的必要條件，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時，求出集合、，利用交集的定義可求得集合；（2）分析可知，對、的大小關(guān)系進行分類討論，根據(jù)檢驗或得出關(guān)于實數(shù)的不等式，綜合可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：由可得，解得，即，當(dāng)時，，此時，.（2）解：由題意可知，且，當(dāng)時，即當(dāng)時，，不滿足，不符合題意；當(dāng)時，即時，，符合題意；當(dāng)時，則，由，得，解得.綜上，．18．計算下列各式：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）、利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解即可；（2）、利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解.【詳解】（1）.（2）19．命題：“，”，命題：“，”.(1)寫出命題的否定命題，并求當(dāng)命題為真時，實數(shù)的取值范圍；(2)若和中有且只有一個是真命題，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)全稱命題的否定形式寫出，當(dāng)命題為真時，可轉(zhuǎn)化為，當(dāng)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）由（1）可得為真命題時的取值范圍，再求解為真命題時的取值范圍，分真和假，假和真兩種情況討論，求解即可【詳解】（1）由題意，命題：“，”，根據(jù)全稱命題的否定形式，：“，”當(dāng)命題為真時，，當(dāng)二次函數(shù)為開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為故當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，即故實數(shù)的取值范圍是（2）由（1）若為真命題，若為假命題若命題：“，”為真命題則，解得故若為假命題由題意，和中有且只有一個是真命題，當(dāng)真和假時，且，故；當(dāng)假和真時，且，故；綜上：實數(shù)的取值范圍是或20．已知函數(shù)的定義域為R，且對任意a，R，都有，且當(dāng)時，恒成立.(1)證明函數(shù)是奇函數(shù)；(2)證明函數(shù)是R上的減函數(shù)；(3)若，求x的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)或【分析】（1）利用特殊值求出，從而證明即可；（2）證明出，再利用當(dāng)時，恒成立即可得解；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性進行證明即可得解.【詳解】（1）證明：由，令可得，解得，令可得，即，而，，而函數(shù)的定義域為R，故函數(shù)是奇函數(shù)．（2）證明：設(shè)，且，，則，而，又當(dāng)時，恒成立，即，，函數(shù)是R上的減函數(shù)；（3）(方法一）由，得，又是奇函數(shù)，即，又在R上是減函數(shù)，解得或故x的取值范圍是或.方法二由且，得，又在R上是減函數(shù)，，解得或故x的取值范圍是

或.21．如圖，一個半圓和長方形組成的木塊，長方形的邊為半圓的直徑，為半圓的圓心，，，現(xiàn)要將此木塊鋸出一個等腰三角形，其底邊，點在半圓上.（1）設(shè)，求三角形木塊面積；（2）設(shè)，試用表示三角形木塊的面積，并求的最大值.【答案】（1）；（2）,的面積最大值為【分析】（1）構(gòu)造垂線，將、的長度進行轉(zhuǎn)化，的長度即為的值，的長度即為的值，從而求解出；（2）根據(jù)第（1）問的轉(zhuǎn)化方法，同理可以得出的表達式，然后將看成整體進行換元，進而將面積函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)，從而求解出最值.【詳解】解：（1）過點作交于點，設(shè)交于點，所以,，所以；（2）因為半圓和長方形組成的鐵皮具有對稱性，所以可只分析時的情況，，，所以，令，，故，，，，，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，的面積最大，最大值為.【點睛】本題考查了三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)的值域問題，三角函數(shù)中與的聯(lián)系等等，考查了學(xué)生綜合應(yīng)用能力.22．已知點，是函數(shù)圖象上的任意兩點，且角的終邊經(jīng)過點，若時，的最小值為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的對稱中心及在上的減區(qū)間；(3)若方程在內(nèi)有兩個不相同的解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)對稱中心；減區(qū)間：，；(3)或.【分析