《第1章三角形的初步認(rèn)識(shí)》一、填空題（本題有10個(gè)小題，每小題4分，共40分）1．三角形中，若一個(gè)角等于其他兩個(gè)角的差，則這個(gè)三角形是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形2．已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為4，5，x，則x不可能是（）A．3 B．5 C．7 D．93．如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°4．如圖，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．° C．35° D．°5．如圖所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．則∠C等于（）A．20° B．25° C．30° D．40°6．到△ABC的三條邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的（）A．三條中線交點(diǎn) B．三條角平分線交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．三條邊的垂直平分線交點(diǎn)7．如圖，△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D在AC邊上，DE∥BC，如果∠1=145°，那么∠B的度數(shù)為（）A．35° B．25° C．45° D．55°8．如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，AF⊥BC于F，則圖中全等三角形的對(duì)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠ADE的大小是（）A．45° B．54° C．40° D．50°10．已知如圖，DE是△ABC的中位線，AF是BC邊上的中線，DE、AF交于點(diǎn)O．現(xiàn)有以下結(jié)論：①DE∥BC；②OD=BC；③AO=FO；④S△AOD=．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、認(rèn)真填一填（本題有8個(gè)小題，每小題4分，共32分）11．若三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4，且周長(zhǎng)為整數(shù)，這樣的三角形共有個(gè)．12．如圖，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)為．13．在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，連接DE，若BC=4，則DE=．14．如圖，為估計(jì)池塘岸邊A，B兩點(diǎn)間的距離，在池塘的一側(cè)選取點(diǎn)O，分別取OA，OB的中點(diǎn)M，N，測(cè)得MN=32m，則A，B兩點(diǎn)間的距離是m．15．如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF=．16．如圖，將△ABC沿它的中位線MN折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若∠A=28°，∠B=130°，則∠A′NC=°．17．如圖，△ABC中，∠1+∠2+∠3=度，∠4+∠5+∠6=度．18．如圖，已知∠AOB=α，在射線OA、OB上分別取點(diǎn)OA1=OB1，連接A1B1，在B1A1、B1B上分別取點(diǎn)A2、B2，使B1B2=B1A2，連接A2B2…按此規(guī)律上去，記∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θ（1）θ1=；（2）θn=．三、解答題（本題有8個(gè)小題，共78分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或推演步驟．）19．已知：如圖，點(diǎn)A，D，C在同一直線上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC．求證：BC=DE．20．三角形內(nèi)角和等于．（2）請(qǐng)證明以上命題．21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度數(shù)；（2）延長(zhǎng)AC至E，使CE=AC，求證：DA=DE．22．如圖，在△ABC中，已知∠B=∠C．（1）尺規(guī)作圖：作底角∠ABC的平分線BD，交AC于點(diǎn)D（作圖不寫作法，但保留作圖痕跡）；（2）猜想：“若∠A=36°，則△ABD和△BDC都是等腰三角形”．請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明猜想是否成立．23．已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上，連接BD．求證：（1）△BAD≌△CAE；（2）試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系，并證明．24．在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE=AF，BF與CE相交于點(diǎn)P．求證：PB=PC，并直接寫出圖中其他相等的線段．25．問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A=80°，則∠BEC=；若∠A=n°，則∠BEC=．探究：（1）如圖2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB．若∠A=n°，則∠BEC=；（2）如圖3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．若∠A=n°，則∠BEC=；（3）如圖4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN．若∠A=n°，則∠BEC=．26．【問(wèn)題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．【初步思考】我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，對(duì)∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．【深入探究】第一種情況：當(dāng)∠B是直角時(shí)，△ABC≌△DEF．（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根據(jù)，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF．（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請(qǐng)直接寫出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若，則△ABC≌△DEF．

《第1章三角形的初步認(rèn)識(shí)》參考答案與試題解析一、填空題（本題有10個(gè)小題，每小題4分，共40分）1．三角形中，若一個(gè)角等于其他兩個(gè)角的差，則這個(gè)三角形是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰三角形【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【分析】三角形三個(gè)內(nèi)角之和是180°，三角形的一個(gè)角等于其它兩個(gè)角的差，列出兩個(gè)方程，即可求出答案．【解答】解：設(shè)三角形的三個(gè)角分別為：a°、b°、c°，則由題意得：，解得：a=90，故這個(gè)三角形是直角三角形．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直角三角形的有關(guān)性質(zhì)，可利用方程進(jìn)行求解．關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和為180°．2．已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為4，5，x，則x不可能是（）A．3 B．5 C．7 D．9【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；解一元一次不等式組．【分析】已知兩邊時(shí)，第三邊的范圍是大于兩邊的差，小于兩邊的和．這樣就可以確定x的范圍，也就可以求出x的不可能取得的值．【解答】解：5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，則x的不可能的值是9，故選D．【點(diǎn)評(píng)】已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．3．如圖，已知AB=AD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【分析】本題要判定△ABC≌△ADC，已知AB=AD，AC是公共邊，具備了兩組邊對(duì)應(yīng)相等，故添加CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分別根據(jù)SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA=∠DCA后則不能．【解答】解：A、添加CB=CD，根據(jù)SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A選項(xiàng)不符合題意；B、添加∠BAC=∠DAC，根據(jù)SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B選項(xiàng)不符合題意；C、添加∠BCA=∠DCA時(shí)，不能判定△ABC≌△ADC，故C選項(xiàng)符合題意；D、添加∠B=∠D=90°，根據(jù)HL，能判定△ABC≌△ADC，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．4．如圖，已知AB∥CD，∠C=65°，∠E=30°，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．° C．35° D．°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠EOB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可．【解答】解：設(shè)AB、CE交于點(diǎn)O．∵AB∥CD，∠C=65°，∴∠EOB=∠C=65°，∵∠E=30°，∴∠A=∠EOB﹣∠E=35°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出∠EOB的度數(shù)和得出∠A=∠EOB﹣∠E．5．如圖所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．則∠C等于（）A．20° B．25° C．30° D．40°【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】因?yàn)锳B∥CD，∠A=50°，所以∠A=∠AOC．又因?yàn)椤螩=∠E，∠AOC是外角，所以可求得∠C．【解答】解：∵AB∥CD，∠A=50°，∴∠A=∠AOC（內(nèi)錯(cuò)角相等），又∵∠C=∠E，∠AOC是外角，∴∠C=50°÷2=25°．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題比較簡(jiǎn)單，考查的是平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系．6．到△ABC的三條邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的（）A．三條中線交點(diǎn) B．三條角平分線交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．三條邊的垂直平分線交點(diǎn)【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【分析】由于角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，而已知一點(diǎn)到△ABC的三條邊距離相等，那么這樣的點(diǎn)在這個(gè)三角形的三條角平分線上，由此即可作出選擇．【解答】解：∵到△ABC的三條邊距離相等，∴這點(diǎn)在這個(gè)三角形三條角平分線上，即這點(diǎn)是三條角平分線的交點(diǎn)．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的角平分線的性質(zhì)：三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等．7．如圖，△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D在AC邊上，DE∥BC，如果∠1=145°，那么∠B的度數(shù)為（）A．35° B．25° C．45° D．55°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì)．【分析】先根據(jù)平角的定義求出∠EDC的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)得出∠C的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠B的度數(shù)．【解答】解：∵∠1=145°，∴∠EDC=180°﹣145°=35°，∵DE∥BC，∴∠C=∠EDC=35°，∵△ABC中，∠A=90°，∠C=35°，∴∠B=180°﹣90°﹣35°=55°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．8．如圖，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，BD=CE，AF⊥BC于F，則圖中全等三角形的對(duì)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【分析】因?yàn)锳B=AC，AF⊥BC，所以F為BC的中點(diǎn)，BF=F，又因?yàn)锽D=EC，所以有BE=DC，DF=FE，然后根據(jù)SSS或HL可得．【解答】解：因?yàn)锳B=AC，AF⊥BC，所以F為BC的中點(diǎn)，BF=FC，又因?yàn)锽D=EC，所以有BE=DC，DF=FE，因?yàn)锳B=AC，AF⊥BC，AF=AF，根據(jù)HL，可得△ABF≌△AFC；AF=AF，DF=EF，AF⊥DE，根據(jù)HL，可得△ADF≌△AEF，AD=AE；AD=AE，BD=EC，AB=AC，根據(jù)SSS可得△ABD≌△ACE；AF=AF，DF=EF，AF⊥BC，根據(jù)HL可得△ADF≌△AEF；AB=AC，AD=AE，BE=CD，根據(jù)SSS可得△ABE≌△ACD；所以有4對(duì)全等三角形．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定；要注意的問(wèn)題是：不要忽視△ABE≌△ACD．做題時(shí)要從已知條件開始思考，結(jié)合圖形，利用全等三角形的判定方法由易到難逐個(gè)尋找，做到不重不漏．9．如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠ADE的大小是（）A．45° B．54° C．40° D．50°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠BAD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠ADE=∠BAD．【解答】解：∵∠B=46°，∠C=54°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣46°﹣54°=80°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=×80°=40°，∵DE∥AB，∴∠ADE=∠BAD=40°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記性質(zhì)與概念是解題的關(guān)鍵．10．已知如圖，DE是△ABC的中位線，AF是BC邊上的中線，DE、AF交于點(diǎn)O．現(xiàn)有以下結(jié)論：①DE∥BC；②OD=BC；③AO=FO；④S△AOD=．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)】三角形中位線定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】①根據(jù)三角形中位線定理進(jìn)行判斷；②由相似三角形△ADO∽△ABF的對(duì)應(yīng)邊成比例、三角形中線的定義進(jìn)行判斷；③由相似三角形△ADO∽△ABF的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行判斷；④由相似三角形△ADO∽△ABF的面積之比等于相似比的平方進(jìn)行判斷．【解答】解：①如圖，∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC．故①正確；②如圖，∵由①知，DE∥BC，∴△ADO∽△ABF，∴==，則OD=BF．又AF是BC邊上的中線，∴BF=CF=BC，∴OD=BC．故②正確；③∵由②知，△ADO∽△ABF，∴==，∴AO=AF，∴AO=FO．故③正確；④∵由②知，△ADO∽△ABF，∴=（）2=（）2=，∴S△AOD=S△ABF．又∵AF是BC邊上的中線，∴S△ABF=S△ABC，∴S△AOD=S△ABC．故④錯(cuò)誤．綜上所述，正確的結(jié)論是①②③，共3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)．此題利用了“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、相似三角形的面積之比等于相似比的平方”的性質(zhì)．二、認(rèn)真填一填（本題有8個(gè)小題，每小題4分，共32分）11．若三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4，且周長(zhǎng)為整數(shù)，這樣的三角形共有5個(gè)．【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；一元一次不等式組的整數(shù)解．【分析】設(shè)第三邊的長(zhǎng)為x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系的定理可以確定x的取值范圍，進(jìn)而得到答案．【解答】解：設(shè)第三邊的長(zhǎng)為x，則4﹣3＜x＜4+3，所以1＜x＜7．∵x為整數(shù)，∴x可取2，3，4，5，6．故答案為5．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．三角形的兩邊差小于第三邊．12．如圖，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)為130°．【考點(diǎn)】全等三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠C=∠A，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵△ABD≌△CBD，∴∠C=∠A=80°，∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠ABC﹣∠C=360°﹣80°﹣70°﹣80°=130°．故答案為：130°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和定理，根據(jù)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上確定出∠C=∠A是解題的關(guān)鍵．13．在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，連接DE，若BC=4，則DE=2．【考點(diǎn)】三角形中位線定理．【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得DE=BC．【解答】解：∵點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=BC=×4=2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理是解題的關(guān)鍵．14．如圖，為估計(jì)池塘岸邊A，B兩點(diǎn)間的距離，在池塘的一側(cè)選取點(diǎn)O，分別取OA，OB的中點(diǎn)M，N，測(cè)得MN=32m，則A，B兩點(diǎn)間的距離是64m．【考點(diǎn)】三角形中位線定理．【專題】應(yīng)用題．【分析】根據(jù)M、N是OA、OB的中點(diǎn)，即MN是△OAB的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，即可求解．【解答】解：∵M(jìn)、N是OA、OB的中點(diǎn)，即MN是△OAB的中位線，∴MN=AB，∴AB=2MN=2×32=64（m）．故答案為：64．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的中位線定理應(yīng)用，正確理解定理是解題的關(guān)鍵．15．如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF=6．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】幾何圖形問(wèn)題．【分析】根據(jù)題中條件由SAS可得△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=DF=6．【解答】證明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC=DF=6．故答案是：6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題，應(yīng)熟練掌握．全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．16．如圖，將△ABC沿它的中位線MN折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，若∠A=28°，∠B=130°，則∠A′NC=136°．【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）；三角形中位線定理．【分析】先利用內(nèi)角和定理求∠C，根據(jù)三角形的中位線定理可知MN∥BC，由平行線的性質(zhì)可求∠A′NM、∠CNM，再利用角的和差關(guān)系求∠A′NC．【解答】解：∵∠A=28°，∠B=120°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣28°﹣130°=22°，∵M(jìn)N是三角形的中位線，∴MN∥BC，∴∠A′NM=∠C=22°，∠CNM=180°﹣∠C=180°﹣22°=158°，∴∠A′NC=∠CNM﹣∠A′NM=158°﹣22°=136°．故答案為：136．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是翻折變換，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．17．如圖，△ABC中，∠1+∠2+∠3=180度，∠4+∠5+∠6=360度．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和外角和定理解答．【解答】解：∠1+∠2+∠3=180°，∠4+∠5+∠6=360°．故答案為：180，360．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，外角和定理，熟記定理并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．18．如圖，已知∠AOB=α，在射線OA、OB上分別取點(diǎn)OA1=OB1，連接A1B1，在B1A1、B1B上分別取點(diǎn)A2、B2，使B1B2=B1A2，連接A2B2…按此規(guī)律上去，記∠A2B1B2=θ1，∠A3B2B3=θ2，…，∠An+1BnBn+1=θ（1）θ1=；（2）θn=．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】設(shè)∠A1B1O=x，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得α+2x=180°，x=180°﹣θ1，即可求得θ1=；同理求得θ2=；即可發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，按照此規(guī)律即可求得答案．【解答】解：（1）設(shè)∠A1B1O=x，則α+2x=180°，x=180°﹣θ1，∴θ1=；（2）設(shè)∠A2B2B1=y，則θ2+y=180°①，θ1+2y=180°②，①×2﹣②得：2θ2﹣θ1=180°，∴θ2=；…θn=．故答案為：（1）；（2）θn=．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查學(xué)生對(duì)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是總結(jié)歸納出規(guī)律．三、解答題（本題有8個(gè)小題，共78分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或推演步驟．）19．已知：如圖，點(diǎn)A，D，C在同一直線上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC．求證：BC=DE．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】根據(jù)由兩個(gè)角和其中一角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等證明△ABC≌△CDE，由全等三角形的性質(zhì)即可得到BC=DE．【解答】證明：∵AB∥EC，∴∠A=∠DCE，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE，∴BC=DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．20．（1）三角形內(nèi)角和等于180°．（2）請(qǐng)證明以上命題．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；平行線的性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）直接根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出結(jié)論即可；（2）畫出△ABC，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，再通過(guò)等量代換即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）三角形內(nèi)角和等于180°．故答案為：180°；（2）已知：如圖所示的△ABC，求證：∠A+∠B+∠C=180°．證明：過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，∵CF∥AB，∴∠2=∠A，∠B+∠BCF=180°，∵∠1+∠2=∠BCF，∴∠B+∠1+∠2=180°，∴∠B+∠1+∠A=180°，即三角形內(nèi)角和等于180°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形的內(nèi)角和等于180°是解答此題的關(guān)鍵．21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度數(shù)；（2）延長(zhǎng)AC至E，使CE=AC，求證：DA=DE．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）利用“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”的性質(zhì)和角平分的性質(zhì)進(jìn)行解答；（2）通過(guò)證△ACD≌△ECD來(lái)推知DA=DE．【解答】（1）解：如圖，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠CAB=30°，即∠CAD=30°；（2）證明：∵∠ACD+∠ECD=180°，且∠ACD=90°，∴∠ECD=90°，∴∠ACD=∠ECD．在△ACD與△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DA=DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．22．（2023秋?云浮期末）如圖，在△ABC中，已知∠B=∠C．（1）尺規(guī)作圖：作底角∠ABC的平分線BD，交AC于點(diǎn)D（作圖不寫作法，但保留作圖痕跡）；（2）猜想：“若∠A=36°，則△ABD和△BDC都是等腰三角形”．請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明猜想是否成立．【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；等腰三角形的判定．【分析】（1）利用尺規(guī)作圖平分已知角即可；（2）利用等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)分別得到AD=DB，BD=BC即可得到等腰三角形．【解答】解：（1）如圖所示：BD即為所求；（2）∵∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°﹣36°）÷2=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°，∴∠CDB=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠A=∠ABD=36°，∠C=∠CDB=72°，∴AD=DB，BD=BC，∴△ABD和△BDC都是等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本作圖中的平分已知角及等腰三角形的判定的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，難度不大．23．（2023?黃岡模擬）已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上，連接BD．求證：（1）△BAD≌△CAE；（2）試猜想BD、CE有何特殊位置關(guān)系，并證明．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題；探究型．【分析】要證（1）△BAD≌△CAE，現(xiàn)有AB=AC，AD=AE，需它們的夾角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易證得．（2）BD、CE有何特殊位置關(guān)系，從圖形上可看出是垂直關(guān)系，可向這方面努力．要證BD⊥CE，需證∠BDE=90°，需證∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供．【解答】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD即∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD、CE特殊位置關(guān)系為BD⊥CE．證明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，∴∠ADB=∠E．∵∠DAE=90°，∴∠E+∠ADE=90°．∴∠ADB+∠ADE=90°．即∠BDE=90°．∴BD、CE特殊位置關(guān)系為BD⊥CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；全等問(wèn)題要注意找條件，有些條件需在圖形是仔細(xì)觀察，認(rèn)真推敲方可．做題時(shí)，有時(shí)需要先猜后證．24．（2023?杭州）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE=AF，BF與CE相交于點(diǎn)P．求證：PB=PC，并直接寫出圖中其他相等的線段．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】幾何圖形問(wèn)題．【分析】可證明△ABF≌△ACE，則BF=CE，再證明△BEP≌△CFP，則PB=PC，從而可得出PE=PF，BE=CF．【解答】解：在△ABF和△ACE中，，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴∠ABF=∠ACE（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），∴BF=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），∵AB=AC，AE=AF，∴BE=CF，在△BEP和△CFP中，，∴△BEP≌△CFP（AAS），∴PB=PC，∵BF=CE，∴PE=PF，∴圖中相等的線段為PE=PF，BE=CF，BF=CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，難度不大．25．問(wèn)題：如圖1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A=80°，則∠BEC=130°；若∠A=n°，則∠BEC=90°+n°．探究：（1）如圖2，在△ABC中，BD、BE三等分∠ABC，CD、CE三等分∠ACB．若∠A=n°，則∠BEC=60°+n°；（2）如圖3，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACM．若∠A=n°，則∠BEC=n°；（3）如圖4，在△ABC中，BE平分外角∠CBM，CE平分外角∠BCN．若∠A=n°，則∠BEC=90°﹣n°．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)．【分析】試題分析：?jiǎn)栴}：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求解即可．探究：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三等分角的意義求解即可．（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠E與∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BEC與∠E的關(guān)系．（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解．【解答】解：?jiǎn)栴}：如圖1，∵BE、CE分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB（角平分線的定義），∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A；若∠A=80°，則∠BEC=130°；若∠A=n°，則∠BEC=90°+n°．探究：（1）如圖2，∵線段BD、BE把∠ABC三等分，∴∠EBC=∠ABC；又∵線段CD、CE把∠ACB三等分，∴∠ECB=∠ACB；∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A），∴∠BEC=180°﹣（180°﹣∠A）=60°+∠A，若∠A=n°，則∠BEC=60°+n°；（2）如圖3，∵BE和CE分別是∠ABC和∠ACM的角平分線，∴∠EBC=∠ABC，∠ACE=∠ACM，又∵∠ACM是△ABC的一外角，∴∠ACM=∠A+∠ABC，∴∠ACE=（∠A+∠ABC）=∠A+∠EBC，∵∠ACM是△BEC的一外角，∴∠BEC=∠ACE﹣∠EBC=∠A+∠EBC﹣∠EBC=∠A；若∠A=n°，則∠BEC=n°；（3）如圖4，∵∠EBC=（∠A+∠ACB），∠ECB=（∠A+∠ABC），∴∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠ECB，=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC）=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB）=90°﹣∠A=90°﹣n°．故答案為問(wèn)題：130°；90°+n°；探究：（1）；（2）n°；（3）90°﹣n°．【點(diǎn)