羅爾定理的幾種類型及其應(yīng)用彭丹(德州學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東德州253023)摘要：本文通過(guò)對(duì)羅爾定理的條件以及條件的幾何意義、羅爾定理的證明以及運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)的思想研究羅爾定理的一些性質(zhì)及其應(yīng)用、羅爾定理推廣形式的總結(jié)與再推廣，從而達(dá)到對(duì)羅爾定理的更深入的研究。關(guān)鍵詞：羅爾定理；性質(zhì)；應(yīng)用；推廣引言微分中值定理是反映函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間聯(lián)系的重要定理，也是微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)，在許多方面它都有重要的作用，在進(jìn)行一些公式推導(dǎo)與定理證明中都有很多應(yīng)用。如果要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，就需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間建立起聯(lián)系，微分中值定理就是起這種作用的。三大微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是溝通導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的橋梁，是利用導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)推斷函數(shù)的整體性質(zhì)的工具。以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是整個(gè)微分學(xué)的理論基礎(chǔ)。本文著重對(duì)羅爾定理的性質(zhì)、推廣形式以及應(yīng)用進(jìn)行深入的研究，從而更好的了解微分中值定理.1羅爾定理羅爾在數(shù)學(xué)上的成就主要是在代數(shù)學(xué)方面，專長(zhǎng)于丟蕃圖方程的研究。他在1691年出版了論著《方程的解法》這本論著本來(lái)和微分學(xué)沒(méi)有關(guān)系(當(dāng)時(shí)還沒(méi)有導(dǎo)數(shù)的概念和符號(hào)，不過(guò)根據(jù)定理的結(jié)論恰好相當(dāng)于多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù))。但在一百多年后，龍斯托?伯拉維提斯將《方程的解法》中的一個(gè)定理推廣到可微函數(shù)，并把此定理命名為羅爾定理.羅爾(Rolle)定理的內(nèi)容：如果函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)；⑵在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；(3)f(a)=f(b).那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)&(a<&<b),使得f'(&)=0.

幾何意義：羅爾定理的三個(gè)已知條件的幾何意義是：f(x)在［a,b］上連續(xù)表明曲線連同端點(diǎn)在內(nèi)是無(wú)縫隙的曲線；f(x)在內(nèi)(a，b)可導(dǎo)表明曲線y=f(x)在每一點(diǎn)處有切線存在；f(a)=f(b)表明曲線的割線(直線AB)平行于x軸.羅爾定理的結(jié)論的直觀意義是：在(a，b)內(nèi)至少能找到一點(diǎn)&，使f'(&)=0，表明曲線上至少有一點(diǎn)的切線斜率為0，從而切線平行于割線AB，也就平行于x軸.符合羅爾定理?xiàng)l件的曲線至少有一條水平切線羅爾定理的條件的討論羅爾定理的條件缺一不可f(x)=0<x<1羅爾定理的條件的討論羅爾定理的條件缺一不可f(x)=0<x<1時(shí)x=1時(shí)f(x)ec[0,1]；cX)f(x)eD(0,1)；f(0)=f(1).則不存在&，使得f'(&)=0.例2,f(x)=|x|,xe[-1,1]；(1)f(x)ec[-1,1]f(x)ED[T,1];(x)f(-1)=f(1).則不存在§，使得f'(§)=0.因?yàn)榇死}中條件(2)不滿足羅爾定理的條件。例3,f(x)=x,xe[0,1]；f(x)ec[0,1];f(x)eD[0,1];f(0)=f(1).(x)則不存在§，使得f'(§)=0.因?yàn)榇死}中條件(2)不滿足羅爾定理的條件

（2）羅爾定理的條件之一不滿足其結(jié)論仍然成立.例如yp-(I>I-1)人2 xe[-2,2]在x=0在x=0處不可導(dǎo)y二、：1-（x-1）人23xe[0，2]在端點(diǎn)處的函數(shù)值不相等x4。，2]3x=—2在閉區(qū)間上不連續(xù)對(duì)以上三個(gè)函數(shù)羅爾定理均成立.2.關(guān)于羅爾定理的進(jìn)一步討論羅爾定理是微分學(xué)中的一個(gè)重要定理，它不僅溝通了函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，也是微積分學(xué)中許多定理的基礎(chǔ)，對(duì)羅爾定理進(jìn)行深入系統(tǒng)的探討和研究，給出在更弱條件下的各種區(qū)間類型（包括有限區(qū)間和無(wú)限區(qū)間）的羅爾定理的推廣形式.2.1廣義羅爾定理1.1中羅爾定理對(duì)所涉及的函數(shù)的要求過(guò)于苛刻，我們希望能夠得到一個(gè)更為寬泛的結(jié)論，因此有必要對(duì)其條件進(jìn)行放寬，放寬條件后的羅爾定理（不妨將其稱之為廣義羅爾定理）有如下8種形式：推論1設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上連續(xù)，在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且limf（x）=limf（x）=A，其中A為常數(shù)，則存在§e（a，b），使得f，（§）x—a+ xrb-=0.推論2設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b）上連續(xù)，在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且limf（x）=f（a），則存在§e（a，b），使得f，（§）=0.推論3設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b］上連續(xù)，在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且limfx—a+（x）=f（b），則存在§e（a，b），使得f，（§）=0.推論4設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間［a,+8）上連續(xù)，在區(qū)間（a,+8）內(nèi)可導(dǎo)，且limf(x)=f(a)，則存在§E(a,+8)，使得f'(§)=0.xT+3推論5設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,+8)上連續(xù)，在區(qū)間(a,+8)內(nèi)可導(dǎo)，且limf(x)=limf(x)=A，其中A為有限實(shí)數(shù)，則存在§e(a,+8)，XT+3 xTa+使得f(§)二0.推論6設(shè)函數(shù)f(x))在區(qū)間(-8,a]上連續(xù)，在區(qū)間(-8,a)內(nèi)可導(dǎo)，且limf(x)=f(a),則存在§G(-8,a)，使得f'(§)=0.XT-3推論7設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,a)上連續(xù)，在區(qū)間(-8,a)內(nèi)可導(dǎo)，且limf(x)=limf(x)=A，其中A為有限實(shí)數(shù)，則存在§e(-8,a)，使得XT-3 XTa-f'(§)=0.推論8設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-8,+8)上連續(xù)，在區(qū)間(-8,+8)內(nèi)可導(dǎo)，且limf(x)=limf(x)=A，其中A為有限實(shí)數(shù)，則存在§E(-8,+8)，XT-3 XT+3使得f(§)二0.證明：以下僅給出推論8的證明，其他推論的證明與此類似.若f(x)是常值函數(shù)，則結(jié)論顯然成立.下面只討論f(x)不是常值函數(shù)得情形.在此情形下，不妨設(shè)存在x/(-8,+8)，f(x0)>A=.堅(jiān)f(x).因?yàn)閒(x)在(-8,+8)上連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理的推廣形式可知，存在§e(-8,x0)，&2E(x0，+8)，使得f(6])=f(&2).再由羅爾定理知，存在6G(6，6)U(-8,+8)，使得f'(6)=0.結(jié)論得證.2.2羅爾定理的進(jìn)一步推廣推論1到推論8都要求區(qū)間兩端的極限存在，下面我們將結(jié)論進(jìn)一步推廣.定理1若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且limf(x)=limf(x)=±xta+ xTb-8，則存在6E(a，b)，使得f'(6)=0.證明：不妨設(shè)limf(x)=limf(x)=+8.XTb-XTaXTb-并令M=f(丑).2則存在5(0V5V蛙)，使得對(duì)滿足2aVxVa+5的一切x,均有f(x)>M.故而存在xE(a,a+5)，使得f(x1)>M.而對(duì)于上述f(x1)，存在52(0V52V二’)，使得對(duì)滿足b-5Vb的一切x,均有f(x)>f(x1).故而存在xE(b-5,b),使得f(x2)>f(x1)>f(^2^).由連續(xù)函數(shù)介值定理知存在&1e(二F,x2)，使得f(x)=f(6).顯然，f(x)在［x1,61］上滿足羅爾中值定理的所有條件，由此可知存在6e(x1,61)u(a,b)，使得f'(6)=0.結(jié)論得證.定理2若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)于5(0V5V空),2f(x)在(a,a+5)和小-5,b)內(nèi)有不同的單調(diào)性，則存在6e(a,b),(a,b),使得f'(6)=0.證明：不妨設(shè)f(X)在(a,a+8)內(nèi)單調(diào)遞減，而在(b-5,b)內(nèi)單調(diào)遞增，則存在xE(a，a+8),6E(x，a+8)u(a,a+8),使得f(6)Vf(x).同理可以證明，存在xE(b-8，b)，62e(b-8，x2)u(b-8，b),使得f(6)vf(x).則f(x)和f(x)均不是f(x)在［x,x］上的最小值，又1 2 1 2f(x)在［x,x］上連續(xù)，則存在6G(x,x)，使得f(x)為f(x)12 12在［x1,x2］上的最小值.由Fermat定理知，f(6)=0.結(jié)論得證.定理3若f(x)EC［x,x］且在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，limf(x)=limf(x)=Axta+ xrb-存在8>0,f(x)在(a，a+8),(b-8，b)內(nèi)有相同的單調(diào)性，則至少存在6，6E(a，b)，6尹6，使得12 12f，(61)=0，f，(62)=0.證明：不妨設(shè)f(x)在(a，a+8),(b-8，b)內(nèi)均為增函數(shù)，設(shè)F(x)=f(x)-A,則F(x)在(a，a+8), (b-8，b)內(nèi)均為增函數(shù)，并且limF(x)=limF(x)=0，xrb-

由函數(shù)的單調(diào)性可以找到兩點(diǎn)5和5,1 2F(51)>0,F(52)V0.由零值定理可知，存在9e(51,52)u(a,b)，使得F(9)=0.由推論2可知在(a,9)和(9,b)內(nèi)分別可以找到§,&2,并且 F'(§)=0,F，(&2)=0,也即 f'(§)=0,f，(&2)=0,結(jié)論得證.定理4設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上可導(dǎo)，且滿足f'(a)f,(b)V0,求證f(x)可以取到f(a)和f(b)之間的一切數(shù)值.證明：不妨設(shè)fz(a)>0,f,(b)V0,現(xiàn)任取r,使得f/(a)VrVf'(b),構(gòu)造函數(shù)G(x)=f(x)-rx,那么Gz(a)=f'(a)-rV0,Gz(b)=f'(b)-r>0.因此，則存在5，使得因此，則存在5，使得G(x)在(a,a+5)內(nèi)單調(diào)遞減，在,b)內(nèi)單調(diào)遞增，由定理2知，存在ce(a,b),使得G'(c)=0,也即(c)=r.定理得證.3廣義羅爾定理的應(yīng)用下面給出廣義羅爾定理的應(yīng)用實(shí)例.例1設(shè)F(x)在8,b)上可導(dǎo)，且limF'(X)>0,limF'(x)V0,xta+ xrb-證明存在&E(a,b)使得F'(&)=0.證明： 根據(jù)題設(shè)所給條件，由極限的保號(hào)性知，存在8>0,當(dāng)xE(a,a+8)時(shí)，F(xiàn)’(x)>0,即F(x)在(a,a+8)上單增；而當(dāng)x^(b-8,b)時(shí)，F(xiàn)z(x)V0,即F(x)在(b-8,b)上單減，由上述定理2可知，一定存在點(diǎn)&e(a,b)使得F'(&)=0.例2設(shè)f(x)在［0,+8)上可導(dǎo)，且0忍f(x)忍―X—,1+X2試證明存在&>0,使得f(&)=(1-&\H+&2>2證明:不妨令g(x)=f(x)-—X—,1+X2則g(x)在［0,+8)上連續(xù)且可導(dǎo)，-—X—幺(x)頸，1+X2從而

limXT0+L1+XlimXT0+L1+X2-limXT+3X1+X2Wlimg(x)^0,XT+3又因?yàn)閘imXT+3X1+X2=0,「xlim =0,XT0+L1+X2」所以，limg(x)=0=g(0),XT+3由推論4知，存在&e(0,+8)，使得g'(&)=0,因此，f(&)=3，結(jié)論得證.4結(jié)語(yǔ)羅爾定理是微分學(xué)中的一個(gè)基本定理，它基于費(fèi)爾瑪定理。由羅爾定理可導(dǎo)出著名的拉格朗日中值定理.本文將羅爾定理推廣到任意區(qū)間和任意端值上，并利用羅爾定理的廣義形式討論了羅爾定理的一些其他的性質(zhì)以及更深層次的應(yīng)用.羅爾定理是數(shù)學(xué)分析基本理論中的重要內(nèi)容，它起著奠基、核心的作用。理解羅爾定理的條件，結(jié)論和幾何意義，結(jié)合對(duì)羅爾定理的具體應(yīng)用，反復(fù)體會(huì)其在微積分課程中的重要地位和作用，從而達(dá)到準(zhǔn)確理解并應(yīng)用該定理的目的。根據(jù)這一定理的條件和結(jié)論，提出一系列擴(kuò)展思路、獨(dú)立思考、試探解決的問(wèn)題，從而達(dá)到培養(yǎng)能力、牢固掌握基本理論的目的。參考文獻(xiàn)北京大學(xué).數(shù)學(xué)分析[M].北京：人民教育出版社，1961.復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1983.菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程[M].北京：人民教育出版社，1956.廣西民族學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，Dec.2002:23-25郭玉立.微分中值定理的幾種新證明Mathematicsarchive,UniversityofStAndrews盛云秋《上海工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)》1992第4期-維普資訊網(wǎng)吳從炘《高等數(shù)學(xué)研究》2004第5期-維普資訊網(wǎng)王子興.數(shù)學(xué)方法論-問(wèn)題解決的理論[M].長(zhǎng)沙：中南大學(xué)出版社，2002.吳炯圻，林培榮.數(shù)學(xué)思想方法[M].北京：高等教育出版社，2005.Weisstein,Eric."Mean-ValueTheorem".MathWorld.WolframResearchO'Connor,JohnJ.;Robertson,Edmu