廣西壯族自治區(qū)玉林市南江第一中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若=3，則=(

)A．2 B． C． D．3參考答案：B【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】首先由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式列方程，并解得q3，然后再次利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式則求得答案．【解答】解：設(shè)公比為q，則===1+q3=3，所以q3=2，所以===．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式．2.若復(fù)數(shù)z滿足(1-i)=1+i(i為虛數(shù)單位)，則z等于

A．i

B．-i

C．2i

D．-2i參考答案：B3.執(zhí)行如下圖的程序框圖，如果輸入的N的值是6，那么輸出的p的值是（

）A.15 B.105 C.120 D.720參考答案：B試題分析：第一次進(jìn)行循環(huán)體后，，滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，則，；當(dāng)時(shí)，滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，則，；當(dāng)時(shí)，滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，則，；當(dāng)時(shí)，不滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，故輸出的的值是．故答案為B.考點(diǎn)：程序框圖.【方法點(diǎn)晴】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，屬于高考中的高頻考點(diǎn)，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多時(shí)，或有規(guī)律時(shí)，常采用模擬循環(huán)的方法解答，當(dāng)循環(huán)次數(shù)較多時(shí)，應(yīng)找到其規(guī)律，按規(guī)律求解．由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．4.設(shè)F1、F2為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)橢圓中心任作一直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形PF1QF2面積最大時(shí)，的值等于（

）A．0 B．2 C．4 D．－2參考答案：D5.命題的否定是A．

B．

C．

D．參考答案：B因?yàn)樘胤Q(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，所以命題“?x∈R，x＞1”否定是“?x∈R，x≤1”．故選：B．

6.在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形參考答案：D7.如圖面積為4的矩形ABCD中有一個(gè)陰影部分，若往矩形ABCD投擲1000個(gè)點(diǎn)，落在矩形ABCD的非陰影部分中的點(diǎn)數(shù)為400個(gè)，試估計(jì)陰影部分的面積為（）A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.給定兩個(gè)命題p，q，若是q的必要而不充分條件，則p是的（

）A．充分不必要條件

B．必要而不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A9.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在驗(yàn)證n=1成立時(shí)，左邊的項(xiàng)是（）A．1B．1+aC．1+a+a2D．1+a+a2+a4參考答案：C【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法．【分析】在驗(yàn)證n=1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)．把n=1代入等式左邊即可得到答案．【解答】解：用數(shù)學(xué)歸納法證明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在驗(yàn)證n=1時(shí)，把當(dāng)n=1代入，左端=1+a+a2．故選：C．10.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.直線的斜率為

.參考答案：2將直線方程整理為斜截式即：，據(jù)此可得直線的斜率為.

12.原命題：“設(shè)”以及它的逆命題，否命題，逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)是______________________．參考答案：213.不等式的解集為_(kāi)_______________________________。參考答案：14.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，則.參考答案：3215.對(duì)于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列，如果為完全平方數(shù)，則稱(chēng)數(shù)列具有“性質(zhì)”，不論數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，如果存在與不是同一數(shù)列的，且同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件：(1)是的一個(gè)排列；(2)數(shù)列具有“性質(zhì)”，則稱(chēng)數(shù)列具有“變換性質(zhì)”。給出下面三個(gè)數(shù)列：①數(shù)列的前項(xiàng)和；②數(shù)列1，2，3，4，5；③數(shù)列1，2，3，…11.其中具有“性質(zhì)”或具有“變換性質(zhì)”的為

.（寫(xiě)出所有正確的序號(hào)）．參考答案：①②16.已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線直線y=2x+1截得的弦長(zhǎng)為，求拋物線的方程

．參考答案：

y2=﹣4x，或y2=12x【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)出拋物線的方程，直線與拋物線方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2，x1?x2的值，利用弦長(zhǎng)公式求得｜AB｜，由AB=可求p，則拋物線方程可得．【解答】解：設(shè)直線與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）設(shè)拋物線的方程為y2=2px，與直線y=2x+1聯(lián)立，消去y得4x2﹣（2p﹣4）x+1=0，則x1+x2=，x1?x2=．｜AB｜=｜x1﹣x2｜=?=，化簡(jiǎn)可得p2﹣4p﹣12=0，∴p=﹣2，或6∴拋物線方程為y2=﹣4x，或y2=12x．故答案為：y2=﹣4x，或y2=12x．17.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程為y=bx+a必過(guò)點(diǎn)

．參考答案：樣本點(diǎn)的中心=(1.5,4)三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.函數(shù)f（x）=lnx﹣mx（Ⅰ）若曲線y=f（x）過(guò)點(diǎn)P（1，﹣1），求曲線y=f（x）在點(diǎn)P處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值；（Ⅲ）若x∈[1，e]，求證：lnx＜．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）由曲線y=f（x）過(guò)點(diǎn)P（1，﹣1），可得﹣1=ln1﹣m，解得m，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得切線方程．（Ⅱ）求出f′（x），對(duì)m分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值．（Ⅲ）結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)論，證明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵曲線y=f（x）過(guò)點(diǎn)P（1，﹣1），∴﹣1=ln1﹣m，解得m=1．∴f（x）=lnx﹣x，f′（x）=﹣1，f′（1）=0，∴過(guò)點(diǎn)P（1，﹣1）的切線方程為y=﹣1．（Ⅱ）∵f′（x）=﹣m=．①當(dāng)m≤0時(shí)，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）為單增函數(shù)，∵在x∈[1，e]上，f（x）max=f（e）=1﹣me．②當(dāng)＜m＜1時(shí)，即1＜＜e時(shí)，x∈（0，）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為單增函數(shù)．x∈（，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為單減函數(shù)．∴x∈[1，e]上，f（x）max=f（）=﹣lnm﹣1．③當(dāng)m≥1時(shí)，0＜≤1，f（x）在（，+∞）為單減函數(shù)，∴x∈[1，e]上，f（x）max=f（1）=﹣m．④當(dāng)0＜m≤時(shí)，≥e，f（x）在（0，）為單增函數(shù)，∴x∈[1，e]上，f（x）max=f（e）=1﹣me．綜上所述：m≤時(shí)，f（x）max=f（e）=1﹣me．當(dāng)＜m＜1時(shí)，f（x）max=f（）=﹣lnm﹣1．當(dāng)m≥1時(shí)，x∈[1，e]上，f（x）max=f（1）=﹣m．（Ⅲ）由（Ⅱ）②得：m=，f（x）max=f（）=f（2）=﹣ln2﹣1＜0，故x∈[1，e]，lnx＜．19.某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到的點(diǎn)數(shù)分別為，．⑴求點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率；⑵求橢圓的離心率的概率．參考答案：解：⑴點(diǎn)，共種，落在圓內(nèi)則，①若

②若

③若

共種故點(diǎn)落在圓內(nèi)的概率為⑵，

即1

若

②若

共種故離心率的概率為略20.在曲線y=x2（x≥0）上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為，試求：（1）切點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）過(guò)切點(diǎn)A的切線方程．參考答案：【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）求切點(diǎn)A的坐標(biāo)及過(guò)切點(diǎn)A的切線方程，先求切點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a2），只須在切點(diǎn)處的切線方程，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率從而得到切線的方程進(jìn)而求得面積的表達(dá)式．最后建立關(guān)于a的方程解之即得．（2）結(jié)合（1）求出其斜率k的值即可，即導(dǎo)數(shù)值即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決．【解答】解：（1）如圖示：，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a2），過(guò)點(diǎn)A的切線的斜率為k=y'|x=a=2a，故過(guò)點(diǎn)A的切線l的方程為y﹣a2=2a（x﹣a），即y=2ax﹣a2，令y=0，得x=，則S=S△ABO﹣S△ABC=﹣（??a2﹣x2dx）=﹣==，∴a=1∴切點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，1），（2）由（1）得：A的坐標(biāo)為（1，1），∴k=2x=2，∴過(guò)切點(diǎn)A的切線方程是y=2x﹣1．21.如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中．（I）求證：AC⊥BD1；（Ⅱ）是否存在直線與直線AA1，CC1，BD1都相交？若存在，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出兩條滿足條件的直線（不必說(shuō)明畫(huà)法及理由）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面垂直的性質(zhì)；平面的基本性質(zhì)及推論．【分析】（Ⅰ）連結(jié)BD，推導(dǎo)出D1D⊥AC，AC⊥BD．由此能證明AC⊥BD1．（Ⅱ）作出滿足條件的直線一定在平面ACC1A1中，且過(guò)BD1的中點(diǎn)并與直線A1A，C1C相交．【解答】（本題滿分9分）（Ⅰ）證明：如圖，連結(jié)BD．∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1，∴D1D⊥平面ABCD．∵AC?平面ABCD，∴D1D⊥AC．∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BDD1．∵BD1?平面BDD1，∴AC⊥BD1．…（Ⅱ）存在．答案不唯一，作出滿足條件的直線一定在平面ACC1A1中，且過(guò)BD1的中點(diǎn)并與直線A1A，C1C相交．下面給出答案中的兩種情況，其他答案只要合理就可以給滿分．22.設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0；命題q：實(shí)數(shù)x滿足x2﹣5x+6≤0，若￢