在前面的學(xué)習(xí)中，我們都假設(shè)博弈參與人為完全理性的人；但在現(xiàn)實(shí)中，不存在完全理性的人。每個(gè)人都有學(xué)習(xí)和改進(jìn)過錯(cuò)的經(jīng)歷；每個(gè)人學(xué)習(xí)和改進(jìn)錯(cuò)誤的速度是有差異的。具有快速學(xué)習(xí)能力的小群體成員之間的反復(fù)博弈，可以采用“最優(yōu)反應(yīng)動(dòng)態(tài)”。學(xué)習(xí)速度較慢的成員組成的大群體中的反復(fù)博弈，可以采用“復(fù)制動(dòng)態(tài)”。第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第1頁/共30頁第一頁，共31頁。一、最優(yōu)反應(yīng)動(dòng)態(tài)（一）協(xié)調(diào)博弈NE：(A,A)，(B,B)，(11/61，11/61)

其中，(B,B)為pareto最優(yōu)，但(A,A)為風(fēng)險(xiǎn)上策均衡第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第2頁/共30頁第二頁，共31頁。最優(yōu)反應(yīng)動(dòng)態(tài)：能根據(jù)對(duì)方的上期策略調(diào)整自己的策略。

5個(gè)博弈方，相鄰者彼此博弈，初始策略組合為32種。實(shí)際上為8種：無A，1A，相鄰2A，不相鄰2A，3連A，非3連A，4A，5A例如：令xi(t)為t時(shí)期博弈方i的采用策略A的鄰居的數(shù)量，則xi(t)=0,1,2.可知，當(dāng)xi(t)>22/61時(shí)，UA>UB

在t時(shí)期，當(dāng)2個(gè)鄰居中只要有1個(gè)鄰居采用策略A，則i在t+1時(shí)期必然采用A第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第3頁/共30頁第三頁，共31頁。

例舉如下：1、當(dāng)初始情況為1A時(shí)

綜上可知，32種初始情況下，只有1種情況穩(wěn)定于5B，其余31中情況最后都將穩(wěn)定于5A。(此時(shí)，A為“進(jìn)化穩(wěn)定策略”，即ESS,evolutionarystablestrategy)2、當(dāng)初始情況為2連A時(shí)3、當(dāng)初始情況為3連A時(shí)第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第4頁/共30頁第四頁，共31頁。（一）連續(xù)型的古諾調(diào)整過程則調(diào)整過程為：反應(yīng)函數(shù)：企業(yè)1企業(yè)22.53.01.51.752.2152.251.18751.9375……則最終的進(jìn)化穩(wěn)定策略（ESS）為:

q1=2，q2=2第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第5頁/共30頁第五頁，共31頁。二、復(fù)制動(dòng)態(tài)中的對(duì)稱博弈（一）簽協(xié)議博弈假設(shè)：群體中“Y”的比例為x，“N”的比例為1-xY：同意N：不同意設(shè)：群體比例的動(dòng)態(tài)變化速度為當(dāng)x=0時(shí)，穩(wěn)定；當(dāng)x>0時(shí)，最終穩(wěn)定于x*=1則：復(fù)制動(dòng)態(tài)方程第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第6頁/共30頁第六頁，共31頁。圖1簽協(xié)議博弈的復(fù)制動(dòng)態(tài)相位圖x*=0，x*=1為穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)，dx/dt=0但x*=1為ESS，即最終所有人都將選擇“Y”第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第7頁/共30頁第七頁，共31頁。（二）一般兩人對(duì)稱博弈群體中采用S1的比例為x，S2的比例為1-x當(dāng)F(x)=0時(shí)，復(fù)制動(dòng)態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)為：x*=0，x*=1，x*=(d-b)/(a-b-c+d)則復(fù)制動(dòng)態(tài)方程F(x)：第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第8頁/共30頁第八頁，共31頁。穩(wěn)定性定理若x<x*，為使x→x*，應(yīng)滿足F(x)>0;若x>x*，為使x→x*，應(yīng)滿足F(x)<0.F(x)=dx/dt，t↑，則x↑F(x)=dx/dt，t↑，則x↓這意味著：當(dāng)F'(x*)<0，x*為ESS第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第9頁/共30頁第九頁，共31頁。（三）協(xié)調(diào)博弈的復(fù)制動(dòng)態(tài)和ESS當(dāng)F(x)=0時(shí)，x*=0，x*=1，x*=11/61為穩(wěn)定狀態(tài)復(fù)制動(dòng)態(tài)方程F(x)：圖2協(xié)調(diào)博弈的復(fù)制動(dòng)態(tài)相位圖可知，當(dāng)F'(0)<0,F'(1)<0，而F'(11/61)>0，則

x*=0和x*=1為ESS這意味著：當(dāng)初始x<11/61時(shí)，ESS為x*=0;當(dāng)初始x>11/61時(shí)，ESS為x*=1.第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第10頁/共30頁第十頁，共31頁。當(dāng)n≥3復(fù)制動(dòng)態(tài)與最優(yōu)反應(yīng)動(dòng)態(tài)的比較：

所以，在有限理性程度下，理性程度較高的一方不一定能得到比理性程度較低的一方更理想的結(jié)果。學(xué)習(xí)速度慢理性程度低學(xué)習(xí)速度快理性程度高第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第11頁/共30頁第十一頁，共31頁。（四）鷹鴿博弈的復(fù)制動(dòng)態(tài)和ESS令x為采用“鷹”策略的群體比例，1-x為采用“鴿”策略的群體比例則復(fù)制動(dòng)態(tài)方程F(x)：當(dāng)F(x)=0時(shí)，x*=0，x*=1，x*=v/c為穩(wěn)定狀態(tài)第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第12頁/共30頁第十二頁，共31頁。①假設(shè)v=2，c=12（表示種群間發(fā)生沖突導(dǎo)致的損失很大，大于和平共處所得到的收益）F‘(0)>0,F’(1)>0，而F‘(1/6)<0，則ESS為：

x*=1/6

當(dāng)沖突損失嚴(yán)重時(shí)，例如c/v=6時(shí)，兩個(gè)種群發(fā)生戰(zhàn)爭(zhēng)的可能性為1/36；和平共處的可能性為25/36；一方霸道、一方忍讓的可能性為10/36。發(fā)生戰(zhàn)爭(zhēng)的可能性隨著c/v比值的增加而降低，即：和平共處的可能性也隨著增加。第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第13頁/共30頁第十三頁，共31頁。②假設(shè)v=8，c=8（表示種群間和平共處所得到的收益等于兩者沖突導(dǎo)致的損失）ESS：

x*=1

當(dāng)c≤v時(shí)，種群間寧可發(fā)生沖突，也不愿意和平共處以獲得更多的收益。主要原因在于當(dāng)一方忍讓時(shí)，另一方可獲得更多收益。這是一種悲劇。目前，人類的現(xiàn)狀和理性尚不能解決這種悲劇。③假設(shè)v=8，c=4（表示種群間和平共處所得到的收益大于兩者沖突導(dǎo)致的損失）ESS：

x*=1第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第14頁/共30頁第十四頁，共31頁。（四）蛙鳴博弈的復(fù)制動(dòng)態(tài)和ESS令x為采用“鳴”策略的群體比例，1-x為采用“不鳴”策略的群體比例則復(fù)制動(dòng)態(tài)方程F(x)：m、P為求偶成功的概率

z為機(jī)會(huì)成本(體力消耗、危險(xiǎn)性等)滿足：m∈(0.5,1]，m<P≤1穩(wěn)定狀態(tài)：x*=0，x*=1，x*=(m-z)/(1-P)第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第15頁/共30頁第十五頁，共31頁。①若(m-z)/(1-P)∈(0,1)，即1-P>m-z>0ESS：

x*=(m-z)/(1-P)

在這種情況下，無論初始狀況如何，最后總有(m-z)/(1-P)比例的雄蛙鳴叫。

當(dāng)個(gè)別雄蛙“搭便車”的收益大于群體雄蛙“鳴叫”所獲得的收益時(shí)，則總會(huì)存在搭便車“不鳴叫”的雄蛙。第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第16頁/共30頁第十六頁，共31頁。②若(m-z)/(1-P)<0，即z>mESS：

x*=0

顯然，當(dāng)機(jī)會(huì)成本小于收益時(shí)，所有的雄蛙將選擇“不鳴叫”。當(dāng)“鳴叫”的收益大于群體鳴叫而個(gè)別雄蛙“搭便車”的收益時(shí)，所有雄蛙都將鳴叫。③若(m-z)/(1-P)>1，即m-z>1-PESS：

x*=1第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第17頁/共30頁第十七頁，共31頁。

對(duì)稱博弈：相似/相同群體中的演化博弈行為非對(duì)稱博弈：不同群體間的演化博弈行為三、復(fù)制動(dòng)態(tài)中的非對(duì)稱博弈有兩個(gè)群體：競(jìng)爭(zhēng)者和在位者第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介(一）市場(chǎng)阻入博弈第18頁/共30頁第十八頁，共31頁。A：“進(jìn)入”的群體比例為x“不進(jìn)”的群體比例為1-xB：“打擊”的群體比例為y“不打擊”的群體比例為1-y對(duì)A而言：則競(jìng)爭(zhēng)者群體的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程FA(x)：采用A表示競(jìng)爭(zhēng)者，B表示在位者假設(shè)：第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第19頁/共30頁第十九頁，共31頁。競(jìng)爭(zhēng)者群體的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程：A：“進(jìn)入”的群體比例為x“不進(jìn)”的群體比例為1-xB：“打擊”的群體比例為y“不打擊”的群體比例為1-y競(jìng)爭(zhēng)者的群體復(fù)制動(dòng)態(tài)相位圖為：(b)y>1/2ESS：

x*=0(a)y=1/2x*∈[0,1](c)y<1/2ESS：

x*=1第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第20頁/共30頁第二十頁，共31頁。A：“進(jìn)入”的群體比例為x“不進(jìn)”的群體比例為1-xB：“打擊”的群體比例為y“不打擊”的群體比例為1-y對(duì)B而言：則在位者群體的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程FB(x)：第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第21頁/共30頁第二十一頁，共31頁。在位者群體的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程：第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介A：“進(jìn)入”的群體比例為x“不進(jìn)”的群體比例為1-xB：“打擊”的群體比例為y“不打擊”的群體比例為1-y在位者的群體復(fù)制動(dòng)態(tài)相位圖為：(b)x≠0ESS：

y*=0(a)x=0y*∈[0,1]第22頁/共30頁第二十二頁，共31頁。A：“進(jìn)入”的群體比例為x“不進(jìn)”的群體比例為1-xB：“打擊”的群體比例為y“不打擊”的群體比例為1-y最后，得到競(jìng)爭(zhēng)者和在位者兩群體復(fù)制動(dòng)態(tài)的關(guān)系和穩(wěn)定性圖例

通過分析可知：ESS為x*=1，y*=0

即無論兩個(gè)群體的初始狀態(tài)落在哪個(gè)區(qū)域，最終的演化博弈結(jié)果為競(jìng)爭(zhēng)者“進(jìn)入”，在位者“不打擊”第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第23頁/共30頁第二十三頁，共31頁。有兩個(gè)實(shí)力不同的群體，爭(zhēng)奪/分享資源第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介(二）非對(duì)稱鷹鴿博弈若簡(jiǎn)化問題分析，令v1=10，v2=2，c=12第24頁/共30頁第二十四頁，共31頁。A：采用“鷹”策略的群體比例為x“鴿”策略的群體比例為1-xB：采用“鷹”策略的群體比例為y“鴿”策略的群體比例為1-y對(duì)A而言：則A群體的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程FA(x)：采用A表示甲，B表示乙假設(shè)：第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介第25頁/共30頁第二十五頁，共31頁。A群體的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程：A的群體復(fù)制動(dòng)態(tài)相位圖為：(b)y>5/6ESS：

x*=0(a)y=5/6x*∈[0,1](c)y<5/6ESS：

x*=1第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介A：采用“鷹”策略的群體比例為x“鴿”策略的群體比例為1-xB：采用“鷹”策略的群體比例為y“鴿”策略的群體比例為1-y第26頁/共30頁第二十六頁，共31頁。對(duì)B而言：則B群體的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程FB(x)：第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介A：采用“鷹”策略的群體比例為x“鴿”策略的群體比例為1-xB：采用“鷹”策略的群體比例為y“鴿”策略的群體比例為1-y第27頁/共30頁第二十七頁，共31頁。B群體的復(fù)制動(dòng)態(tài)方程：第6講：演化博弈論簡(jiǎn)介B的群體復(fù)制動(dòng)態(tài)相位圖為：A：采用“鷹”策略的群體比例為x“鴿”策略的群體比例為1-xB：采用“鷹”策略的群體比例為y“鴿”策略的群體比例為1-y(b)x>1/6ESS：

y*=0(a)x=1/6y*∈[0,1](c)x<1/6ESS：

y*=1第28頁/共30頁第二十八頁，共31頁。A：“進(jìn)入”的群體比例為x“不進(jìn)”的群體比例為1-xB：“打擊”的群體比例為y“不打擊”的群體比例為1-y最后，得到競(jìng)爭(zhēng)者和在位者兩群體復(fù)制動(dòng)態(tài)的關(guān)系和穩(wěn)定性圖例

當(dāng)初始狀態(tài)落在A區(qū)域，ESS為x*=0，y*=1

當(dāng)初始狀態(tài)落在D區(qū)域，ESS為x*=1，y*=0

當(dāng)初始狀態(tài)落在B、C區(qū)域，為不穩(wěn)定狀態(tài)，但可以確定最終大部分結(jié)果是落在D區(qū)。落在區(qū)域A的概率為1/36，區(qū)域D的概率為25/36。剩下的10/36的可能性中絕大部分也會(huì)穩(wěn)定在