定積分和微積分要點講解

一、定積分的概念

教材上從求曲邊梯形的面積和變速運動的路程出發(fā)引入了定積分的概念：如果函數(shù)

/(x)在區(qū)間上是連續(xù)的，用分點。=拓＜不＜＜＜為＜將區(qū)間

［a,句等分成〃個小區(qū)間，在每個小區(qū)間引上任取一點&(》=12，〃)，作和式

當〃―8時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做

i=l/=1〃

函數(shù)/(x)在區(qū)間［a,0上的定積分，記作J,"(x)dk,即，〃辦拄=也fjy?(0.

/=1〃

對這個概念我們應從如下幾個方面進行理解

1.對區(qū)間分割的絕對任意性：在定義中我們將區(qū)間以進行等分是為了計算

上的方便，實際上對區(qū)間［a,句的分割是任意的，這時只要這些區(qū)間中長度最大的區(qū)間的長

度趨向于零即可.

2.在每個小區(qū)間民_”七］上取點的絕對任意性：在教材上的兩個例題是為了計算的方

便將點取小區(qū)間七］的端點，實際上我們可以在區(qū)間民_］,玉］上任意取點，如取中點等.

3.當n一8時，和式Z./■(幻幻無限接近某個常數(shù)的唯一確定

/=1i=ln

性.它不依賴于對區(qū)間［a,0的分割方法，也不依賴于在每個小區(qū)間上取點的方

式.即［/(1粒是一個客觀上存在的僅僅依賴于積分上下限和被積函數(shù)的唯一確定的常

數(shù).同時它也與積分變量無關(guān),即=

4.數(shù)學思想上的劃時代意義.產(chǎn)生定積分概念的"以直代曲"”以勻速代變速"和"

無限逼近"的數(shù)學思想，使人類在認識數(shù)學世界的觀念上有了重大突破，在數(shù)學的發(fā)展史上

具有重大意義.我們要仔細理解體會這種思想，可以說這才是我們在高中階段學習定積分

的真正目的.例如在求曲邊梯形的面積的課本例1中，我們把區(qū)間［0,1］等分成〃個小區(qū)間，

在每個小區(qū)間上“以直代曲”就將曲邊問題轉(zhuǎn)化為直邊問題，隨著〃的增大這些小區(qū)間的寬

度越來越小，這時在每個小區(qū)間上直邊形的面積已經(jīng)和曲邊形的面積非常接近，我們就可以

以這些小直邊形的面積之和近似代替曲邊形的面積，而當〃-8時這些小直邊形就幾乎變

成了線段，這時小直邊形的面積幾乎就等于小曲邊形的面積，這無窮個幾乎變成了線段的直

邊形的面積之和就是所求的曲邊形的面積了.我們常說"線動成面"，對課本例1,我們也

可以這樣形象的理解：就將小直邊形的寬度變成零，使其成為線段，這時小直邊形和小曲邊

形的就完全重合了，而將這些線段從0至打運動就形成了/(x)=x2,X=l,X軸所圍成

的曲邊形，將這些線段的“面積"積累起來就是所求的曲邊形的面積.

二、微積分基本定理的應用

作變速直線運動的物體如果其運動方程是S(r),那么該物體在時間區(qū)間口力］內(nèi)通過的

路程是S(。)-S(a),另一方面由導數(shù)的物理意義，該物體在任意時刻的瞬時速度為

S?)=s?),我們把該物體運動的時間區(qū)間［a,々無限細分，在每個小時間段上，將其速

度看作勻速，就能求出該物體在每個小時間段上通過的路程，將這無限個小時間段上的路程

加起來，就是該物體在時間區(qū)間［a,以上通過的路程，由定積分的定義可知，這個數(shù)值是

￡5由此可知(。力=J：s(fM=S?—S(a).一般地有如下結(jié)論：如果f(x)

是［a,句上的連續(xù)函數(shù)，并且有f'(x)=/(x),則(/(今人=/伍)一尸(。).這就是微

積分基本定理，是微積分學最為輝煌的定理，是數(shù)學發(fā)展史的一個重要里程碑，利用這個定

理可以很方便的計算定積分，其關(guān)鍵是找到一個函數(shù)使其導數(shù)等于被積函數(shù)，下面舉例說明

它在計算定積分上的應用.

例1計算定積分e-'M*

xx

分析：(/)=",［e-)=-e-,故卜'+07)=/-0-工.

解：工("-)dx=1(e，+1)公=［e*+e-［|=e+；-2.

點評：關(guān)鍵是找*x),使/(x)="—er,可以通過求導運算求探求.

例2計算定積分J：(cossin：)公.

分析：被積函數(shù)比較復雜，我們可以先化簡，再探求.由于

2

XX2?2^?"r"'i

cos——sin—=cos——2cos—sin—4-sin~—=l-sinx,而x=l,

222222

2

X.X

(cosx)'=—sinx,故(x+cosx)'=l-sinx=cos——sm—

22

解:

.乃x.x\.nn71

x2

cos——sin—dx-=+=[x+cosx]0

22)

4-

點評：被積函數(shù)較為復雜時要先化簡在求解.

掌握如下的定積分計算公式對解題是有幫助的.①\bxmdx=-xm+'b

Jam+la

fZ?1I,/?b

(me(2，m1),②f-dx=\n\x\,③]exdx=ex⑤

Jay11/7J"H

rb0sbU

cosxdx=sinx,?sinx<it:=(-cosx).例如

J。a兀a

例3計算定積分工(2'—

分析：先展開再利用上面的定積分公式.

解：|"(2'-3')2?[x=|"(4'-2-6'+9')^^f—-2--+—>ll1

J。''J。')(ln4In6ln9J|0

3108

------------------1-------.

In4In6In9

點評：根據(jù)定積分公式結(jié)合定積分的運算性質(zhì)是計算定積分的根本.

從上面不難看出利用微積分基本定理計算定積分比用定義計算要方便的多，在實際解題

中要注意對被積函數(shù)的化簡展開以及有意識的利用定積分的三條運算性質(zhì)，以起到化難為易

的作用.

三、定積分的三條性質(zhì)

根據(jù)定積分的定義不難得到定積分的三條性質(zhì)

性質(zhì)1.常數(shù)因子可提到積分號前，即：^kf(x)dx^k^f(x)dx(%為常數(shù))；

性質(zhì)2.代數(shù)和的積分等于積分的代數(shù)和:

即：f[〃x)±g(力卜=f"x以士fg(x即

性質(zhì)3.(定積分的可加性)如果積分區(qū)間々被點c分成兩個小區(qū)間[a,c]與上,0,

則：Jf(X)<ZY=jf{x}dx+J'7f(x)dro

這三條性質(zhì)為我們計算定積分帶來了很大的方便，下面舉例說明.

例4計算定積分「(3x+'一)儀.

x+1廠

「(3x+工13X0C+1—匕公，再根據(jù)性質(zhì)

分析：根據(jù)定積分的性質(zhì)2知道

8x+1)J。Jox+1

1「13x+/-lx=「3xdc+■必=31xc拄+4］一』，下面只需根據(jù)微積分基

Jo(x+lJJoJox+1J。Jox+1

本定理計算即可.

解析:

[|3XH----VY=[3x6^+[----<1￥=3(JOZX+4f——dx

x+l；J。Jox+1J。JOJC+1

2Q

=3~|o+4-ln(x+l)|o=-+41n2

點評：微積分基本定理結(jié)合定積分的性質(zhì)是我們計算定積分的主要方法.

例5計算定積分Jjsin2xdc.

分析：利用微積分基本定理計算的話，我們就要找到一個函數(shù)，使其導數(shù)等于sin?x,

這個函數(shù)不好找，為此我們對被積函數(shù)進行變形sin2%=匕8四，而

2

(sin2x)'=2cos2x,即(色啜)=cos2x,再根據(jù)定積分的性質(zhì)和微積分基本定理加以

解決.

解析:

[2sin2xdx=PX~C°s2xdx=-

2\dx--2cos2xdx

JoJo22*2

1sin2xg

——?------------/

點評：在計算三角函數(shù)的定積分時，進行恰當?shù)娜呛愕茸儞Q往往能起到意想不到的作

例6計算定積分工,2_依.

分析：由于在［0,1］上,2—4=1一%2,而在［1,2］上卜2T=工2一］,我們不能直接在

［0,2］上計算該定積分，為此我們可以用定積分的性質(zhì)3和性質(zhì)2結(jié)合微積分基本定理進行

計算.

解析：

￡|x2-=J。,—l|dr+j-IpA*=￡(1-x2)dx+j］(x2—1)Jr

=fIdx-fx2dx+［x2dx-［\dx-1-----1---------1=2

JoJoJiJi33

點評：含有絕對值的函數(shù)實際上是分段函數(shù)，我們可以根據(jù)積分區(qū)間的可加性，將其轉(zhuǎn)

化為各段上的定積分再進行計算.

從上面不難看出，合理地使用定積分的三條性質(zhì)，再結(jié)合微積分基本定理就能使我們

在進行定積分計算時得心應手，如魚得水，使看似復雜的定積分計算變得簡單起來.

2019-2020學年高考數(shù)學模擬試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.已知拋物線y2=2px（p>0）上的點M到其焦點廠的距離比點M到J軸的距離大g,

則拋物線的標準方程為（）

A.y1=xB.y2=2xC.y2-4xD.y2=8x

2.蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計算方法，將所求解的問題同

一定的概率模型相聯(lián)系；用均勻投點實現(xiàn)統(tǒng)計模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱

統(tǒng)計模擬法或統(tǒng)計實驗法.現(xiàn)向一邊長為2“的正方形模型內(nèi)均勻投點，落入陰影部分的概率

為P,則圓周率萬、（）

A.4p+2B.4/7+1

C.6-4pD.4〃+3

3.若圓錐軸截面面積為2g，母線與底面所成角為60。，則體積為（）

A6R底「2百N2A/6

3333

4.在ABC中，AB=3,AC=2,ZBAC=60°,點￡>,E分別在線段AB,CO上，

且3O=2AO,CE=2ED,則（）.

A.-3B.-6C.4D.9

5

5.已知。nlog.Q,b=0.4°，c=Iog25,貝!ja,b,c的大小關(guān)系為（）

A.c>h>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

6.若命題二從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一;

命題二在邊長為4的正方形二二二二內(nèi)任取一點二，則二二二二>90：的概率為？，則下列命

題是真命題的是（）

A.ZAZB.（Y）A二C.ZA（->Z）D.「二

7.已知數(shù)列{%}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，{2}是以1為首項，2為公比的等

比數(shù)列，設(shè)%=%,4=4+。2++%（〃€1<）,則當7；,<2020時，”的最大值是（）

A.8B.9C.10D.11

8.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積等于（）cm3

/2萬/3萬

C.6H------D.6+—

32

9.已知集合A={x[l<xW24},B=<^x|j=.——\,則()

_y]-x2+6x-5

A.{x|x>5}B.{x|5<x<24}

C.{x|xWl或xN5}D.{x|5<x<24}

10.在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預測.

甲：我的成績比乙高.

乙：丙的成績比我和甲的都高.

丙：我的成績比乙高.

成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人按成績由高到低的次

序為

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

11.已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)2=翼+1,貝（lz=

2-1

9

A.-+iB.1-i

5

C.1+iD.-i

12.在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a,。,c,若atan5=2bsin(B+C).則角8

的大小為()

兀兀兀兀

A.—B.—C.—D.一

3624

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(x+1)4的展開式中f的系數(shù)為.

14.已知過點。的直線與函數(shù))，=3”的圖象交于A、8兩點，點A在線段。8上，過4作

),軸的平行線交函數(shù)y=9'的圖象于。點，當BC〃x軸，點A的橫坐標是

22

15.已知橢圓。：=1+J=i(a>b>0)的左右焦點分別為［、月，過居(1,0)且斜

ab

率為1的直線交橢圓于A3,若三角形的面積等于岳2,則該橢圓的離心率為

1

16.已知(l+2x)”=4+4》+02彳2++“ox"+41刀”，貝!|0一加2+-10tzlo+1la,,=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.如圖，在四棱錐P—A6C。中，底面ABCO是矩形，M是PA的中點，平面

ABCD,且PD=CD=4,AD=2.

(1)求AP與平面GW8所成角的正弦.

(2)求二面角M—C8—P的余弦值.

18.A4BC的內(nèi)角A,3,C所對的邊分別是"c,且Z?=3(acos8+0cosA),h+c-8.

(1)求力,c；

7

(2)若BC邊上的中線AO=—，求AA8C的面積.

2

19.（6分）已知兩數(shù)/（x）=lnx+日.

（1）當％=—1時，求函數(shù)/（x）的極值點；

（2）當女=0時，若/（幻+夕―&.0（〃力€/?）恒成立，求/T—6+1的最大值.

X

20.（6分）已知某種細菌的適宜生長溫度為129~27℃,為了研究該種細菌的繁殖數(shù)量曠

（單位：個）隨溫度X（單位：C）變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如下：

溫度x/'C14161820222426

繁殖數(shù)量y/個2530385066120218

對數(shù)據(jù)進行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計量的值，如表所示:

77o7

XykEDZ（蒼-可化-左）

i=l1=1i=l/=1

20784.11123.8159020.5

_J7

其中&=lny”&=弓￡用.

?Z=1

（1）請繪出y關(guān)于x的散點圖，并根據(jù)散點圖判斷丁=加+。與丁=。/'哪一個更適合作

為該種細菌的繁殖數(shù)量）,關(guān)于溫度X的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表格數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于T的回歸方程（結(jié)果精確到0.D；

（3）當溫度為27'C時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預報值為多少？

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（%,匕）?=1,2,3,?二〃），其回歸直線u="a+。的斜率和截距的

）（v,.-v）

最小二成估計分別為夕=『-------------，a=v-pu,參考數(shù)據(jù)：Z5?245.

:（“ip

1=1

22

21.（6分）如圖，設(shè)橢圓G：[+5=1（。＞?！?）,長軸的右端點與拋物線C,：y2=8x

ah

的焦點尸重合，且橢圓G的離心率是立.

（I）求橢圓c,的標準方程；

（II）過/作直線/交拋物線G于A，8兩點，過F且與直線/垂直的直線交橢圓c于另

一點C，求A48c面積的最小值，以及取到最小值時直線/的方程.

,、,、（\]凡，〃為奇數(shù)

22.（8分）已知數(shù)列見，〃，數(shù)列c“滿足c"=",neN*.

bn,〃為偶數(shù)

（1）若4=〃，2=2",求數(shù)列卜“｝的前2n項和&；

（2）若數(shù)列｛a,,｝為等差數(shù)列，且對任意neN*，c向＞c“恒成立.

①當數(shù)列｛2｝為等差數(shù)列時，求證：數(shù)列｛見｝,｛〃｝的公差相等；

②數(shù)列出｝能否為等比數(shù)列？若能，請寫出所有滿足條件的數(shù)列也｝;若不能，請說明理

由.

23.（8分）已知函數(shù)f（x）=e,x2-kx（其中e為自然對數(shù)的底，k為常數(shù)）有一個極大值點

和一個極小值點.

（1）求實數(shù)k的取值范圍；

（2）證明:f（x）的極大值不小于1.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共6()分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

【分析】

由拋物線的定義轉(zhuǎn)化，列出方程求出p,即可得到拋物線方程.

【詳解】

由拋物線y2=2px(p>0)上的點M到其焦點F的距離比點M到y(tǒng)軸的距離大;，根據(jù)拋

物線的定義可得5=g,=所以拋物線的標準方程為：y2=2x.

故選B.

【點睛】

本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)的應用，拋物線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

【分析】

計算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.

【詳解】

,5陽乃"-2。-7t—2

由〃=」?=-----；——=-----,%=4p+2.

S正54

故選：A

【點睛】

本題考查了面積型幾何概型的概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

【分析】

設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,由軸截面面積為2G可得半徑廣，再利用圓錐體積公式計算即

可.

【詳解】

設(shè)圓錐底面圓的半徑為廣，由已知，|x2rxV3r=2V3,解得r=也,

所以圓錐的體積^=!萬，x&r=巫兀.

33

故選：D

【點睛】

本題考查圓錐的體積的計算，涉及到圓錐的定義，是一道容易題.

4.B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，分析可得AO=1,由余弦定理求得。C的值，由

3E?=(3￡>+DE)?AB=BD?AB+OE?43=瓦>?可得結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意，AB=3,BD=2AD,則AD=1

在ADC中，又AC=2,N8AC=60。

則DC2=AD2+AC2-2AD-DCcosABAC=3

則。C=G

則CD1AB

則BEAB=(8D+OE)AB=3￡>AB+DEAB=3￡>AB=3x2xcosl80=-6

故選：B

【點睛】

此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運算，掌握基本概念和公式即可解決，屬于簡單題目.

5.D

【解析】

【分析】

與中間值1比較，a。可用換底公式化為同底數(shù)對數(shù)，再比較大小.

【詳解】

11

5

0.4°<1?log35>1,又0（log，2<logs3,即log25>log.35,

：.c>a>b.

故選：D.

【點睛】

本題考查卷和對數(shù)的大小比較，解題時能化為同底的化為同底數(shù)嘉比較，或化為同底數(shù)對

數(shù)比較，若是不同類型的數(shù)，可借助中間值如0,1等比較.

6.B

【解析】因為從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為二/=±=j

口，V

即命題二是錯誤，則「二是正確的;在邊長為4的正方形二二二二內(nèi)任取一點二，若二二二二>90：

的概率為二；=三二==，即命題二是正確的，故由符合命題的真假的判定規(guī)則可得答案

（-二）A二是正確的，應選答案B。

點睛：本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假（含或、且、非等連接詞）

的命題構(gòu)成的復合命題的真假的判定有機地整合在一起，旨在考查命題真假的判定及古典

概型的特征與計算公式的運用、幾何概型的特征與計算公式的運用等知識與方法的綜合運

用，以及分析問題解決問題的能力。

7.B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意計算凡=2〃-1,b“=2,7；=2"|-"一2,解不等式得到答案.

【詳解】

???｛%｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，.?.凡=2〃-1.

???也｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，:電=獷.

?，?Tn=C[+j+?,?+Cn=c%++,,?+&=4+2+%+???+4

=(2x1-1)+(2x2-1)+(2x4-1)+???+(2x2,,_|-1)=2(l+2+4+---+2,,-1)-/?

i_

2x^^-n^2"+'-n-2.

1-2

???7；<2020,...2同一〃一2<2020,解得〃49.則當7；<2020時，〃的最大值是9.

故選：B.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，f分組求和，意在考查學生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.

8.D

【解析】

解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,

結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計算它的體積為：

V=V三梭柱+V半網(wǎng)柱=/x2x2xl+；?7T?12xl=(6+1.5TT)cm1.

故答案為6+1.5兀.

點睛：根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計算

它的體積即可.

9.D

【解析】

【分析】

首先求出集合8,再根據(jù)補集的定義計算可得;

【詳解】

M：V—%2+6x-5>0>解得l<x<5

5={x|1<x<5},/.dAB={x15<x<24}.

故選：D

【點睛】

本題考查補集的概念及運算，一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

【分析】

利用逐一驗證的方法進行求解.

【詳解】

若甲預測正確，則乙、丙預測錯誤，則甲比乙成績高，丙比乙成績低，故3人成績由高到

低依次為甲，乙，丙；若乙預測正確，則丙預測也正確，不符合題意；若丙預測正確，則

甲必預測錯誤，丙比乙的成績高，乙比甲成績高，即丙比甲，乙成績都高，即乙預測正確,

不符合題意，故選A.

【點睛】

本題將數(shù)學知識與時政結(jié)合，主要考查推理判斷能力.題目有一定難度，注重了基礎(chǔ)知識、

邏輯推理能力的考查.

11.B

【解析】

【分析】

【詳解】

l+2i(l+2i)(2+i)?[2+i+4i+2i2

因為z=+1=+l=l+i,所以￡=1一i，故選B.

2-i(2-i)(2+i)5

12.A

【解析】

【分析】

由正弦定理化簡已知等式可得sinAtan6=2sin6sinA,結(jié)合sinA>0,可得tanB=2sin8,

結(jié)合范圍Be(O,〃)，可得sinB>0,可得cosB=g,即可得解8的值.

【詳解】

解：,:6ttanB=2Z?sin(+C)=2Z?sinA,

:,由正弦定理可得：sinAtanB=2sin5sirt4,

VsinA>0,

tanB=2sinB,

V5G（O,^-）,sinB>0,

:.cosB=—,

2

3

故選A.

【點睛】

本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.6

【解析】

【分析】

在二項展開式的通項中令x的指數(shù)為2,求出參數(shù)值，然后代入通項可得出結(jié)果.

【詳解】

（X+1）4的展開式的通項為Tr+l=C：?,令4一尸=2nr=2,

因此，（x+1），的展開式中X?的系數(shù)為盤=6.

故答案為：6.

【點睛】

本題考查二項展開式中指定項系數(shù)的求解，涉及二項展開式通項的應用，考查計算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

14.log32

【解析】

【分析】

通過設(shè)出A點坐標，可得C點坐標，通過BC〃、軸，可得B點坐標，于是再利用kOA=kOB

可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，可設(shè)點A（a,3"）,則C（n,9"）,由于軸，故丫0=%=9"，代入y=3"，

可得4=2a,即B（2a,9"）,由于A在線段。8上，故%=G，即二=二，解得

a2a

a=log32?

15.V3-1

【解析】

【分析】

由題得直線AB的方程為X=y+l,代入橢圓方程得：（/+b2）y2+2b2y+b2-a2h2=0,

設(shè)點A（%，x）,3（七,必），則有x+y,=J空，乂%=紀/，由

cr+b-a+/7~

5她那=3怩巴岡），「必|=回2’且小一y=1解出。，進而求解出離心率.

【詳解】

由題知，直線AB的方程為》=丁+1,代入=1消》得:

部+F

(/+〃)y2+2b2y-^b2-a2b2=0,

設(shè)點A（玉，yj,8（七,必），則有%:?

a+b~

?,「------------\(-2b2Y.b2-a2b22ab\l(r+b2-1

小「加加+%)-4.=心彳%|…

而SA?"=gX忻g|x|X一%|=gX2x2叱;+%_1=岳2,又/一〃=1,

解得：。=正±1,所以離心率‘二1=G+i=8一1

2~r

故答案為：V3-1

【點睛】

本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積計算與離心率的求解，考查了學生的

運算求解能力

16.22

【解析】

【分析】

對原方程兩邊求導，然后令x=T求得表達式的值.

【詳解】

對等式(l+2x)":4+4d+//+兩邊求導，得

910

22(l+2x)i°=。|+2々％++10al0x+llallx,令x=—l,貝!]

q—2%+-10O!|Q+Ila”=22.

【點睛】

本小題主要考查二項式展開式，考查利用導數(shù)轉(zhuǎn)化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

4

17.(1)y.

(2)迎

10

【解析】

分析：(1)直接建立空間直角坐標系，然后求出面的法向量和已知線的向量，再結(jié)合向量

的夾角公式求解即可；(2)先分別得出兩個面的法向量，然后根據(jù)向量交角公式求解即可.

詳解：

(1)?.,ABC。是矩形,

AADLCD,

又?:平面ABC。,

PDLAD,PDLCD,HPPD,AD,CO兩兩垂直，

，以。為原點，DA,DC,OP分別為“軸，)，軸，z軸建立如圖空間直角坐標系，

由PO=CO=4,40=2,得4(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),0(0,0,0),尸(0,0,4),

則AP=(—2,0,4),BC=(-2,0,0),MB=(1,4,-2),

設(shè)平面。WB的一個法向量為勺=(百，y,zj,

BCriy=0—2x.=0

即《,令X=1,得％=0,4=2,

MB=0Xj+4yl-24=0

An,=(0,1,2),

4

故AP與平面CMB所成角的正弦值為y.

(2)由(1)可得PC=((),4,-4),

設(shè)平面的一個法向量為叼=(X2，%，Z2)，

\BC-n,=0-2X=0人，，八,

則■八，即《“2,八，令%=1，得為=0，Z2=1,

PC-H2=0[4y2-4Z2=0

:.n2=(0,1,1),

./\33加

故二面角M-CB-P的余弦值為主叵.

10

點睛：考查空間立體幾何的線面角，二面角問題，一般直接建立坐標系，結(jié)合向量夾角公

式求解即可，但要注意坐標的正確性，坐標錯則結(jié)果必錯，務(wù)必細心，屬于中檔題.

18.(1)b=6,c=2(2)S

4

【解析】

【分析】

(1)先由正弦定理，得至Usin8=3sinC,進而可得b=3c,再由b+c=8,即可得出結(jié)果;

(2)先由余弦定理得c2=AD2+BD2-2AD-BD-cosZADB,

b2=AD2+CD2-2AD-CD-cosZADC＞再根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可得片=31,從而可求出

cosZBAC,得到sinNBAC,進而可求出結(jié)果.

【詳解】

(1)由正弦定理得sinB=3(sinAcos3+sinBtosA),

所以sinB=3sin(A+3),

因為A+5+C=%,所以sin(A+B)=sin(乃一C)=sinC,

即sinB=3sinC,所以b=3c,

又因為b+c=8,所以b=6,c=2.

(2)在A4BO和A4C。中，由余弦定理得

c2=AD2+BDr-2AD-BD-cosZADB，b2=AD2+CD2-2ADCD-cosZADC.

因為6=6,c=2,BD=DC=~,AD=~,

22

又因為/ADB+乙ADC-7i,即cosNAQB=-cosZADC,

所以儲=31，

所以cosNBAC=,

2bc8

又因為NBAC?O,i),所以sin/84C=Yp.

所以ABC的面積S"c=gz?csinN84C=3^5.

【點睛】

本題主要考查解三角形，靈活運用正弦定理和余弦定理即可，屬于?？碱}型.

19.(1)唯一的極大值點1,無極小值點.(2)1

【解析】

【分析】

(1)求出導函數(shù)，求得/'(x)=。的解，確定此解兩側(cè)導數(shù)值的正負，確定極值點；

bb

(2)問題可變形為&lnx+一恒成立，由導數(shù)求出函數(shù)y=lnx+—的最小值，640時,

xx

y=lnx+?無最小值，因此只有6>0,從而得出的不等關(guān)系，得出所求最大值.

x

【詳解】

解：(1)/'(幻定義域為(0,+8),當左=一1時，

/(x)=\nx-x,f\x)=--1,

x

令/?)=0得j=l,當/'(x)>0,0<x<l;/'(x)<0,x>l

所以/(X)在(0/)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以fM有唯一的極大值點x=1,無極小值點.

hb

(2)當k=0時，/(%)+——〃=lnx+——a.

xx

bh

若/(x)H---a.0,(a,bwR)怛成立,JUljInx4----a..()(〃,/?￡R)恒成立，

xx

h

所以4,Inxd—恒成立，

x

令y=lnx+2,則了=又，由題意力>0,函數(shù)在(08)上單調(diào)遞減，在("+8)上單

XX

調(diào)遞增，

所以a,,InA+l,所以a-L,Inb

所以e"T,,人，

所以e"T—6+L,1，

故e"T-0+l的最大值為1.

【點睛】

本題考查用導數(shù)求函數(shù)極值，研究不等式恒成立問題.在求極值時，由/'(幻=0確定的七

不一定是極值點，還需滿足在匕兩側(cè)/‘(X)的符號相反.不等式恒成立深深轉(zhuǎn)化為求函數(shù)

的最值，這里分離參數(shù)法起關(guān)鍵作用.

20.(1)作圖見解析；y=ce&更適合(2)y=e°Le°2,(3)預報值為245

【解析】

【分析】

(1)由散點圖即可得到答案；

7

(2)把丁=6*'兩邊取自然對數(shù)，得lny=iZr+lnc,由“‘」'—'一―i計算得

I

到，再將G,E)代入Iny=公+Inc可得Inc,最終求得lny=0.2x+0.1,即y=e°」?e02x；

(3)將x=27代入y=e°Le°&中計算即可.

【詳解】

解：(1)繪出)'關(guān)于龍的散點圖，如圖所示：

由散點圖可知，y=ce4更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量關(guān)于x的回歸方程類型；

(2)把丁=。/'兩邊取自然對數(shù)，得lny=Mr+lnc,

即女=dx+Inc,

7_

ZU-可化-7)205

由d=3---------3----=—?0.183?0.2

■T112

lnc=4.1-0.2x20?0.1.

A\ny=0.2x4-0.1,

則y關(guān)于X的回歸方程為y=e°Le0-2x；

(3)當x=27時，計算可得丫=//25-4=eS5a245；

即溫度為270c時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預報值為245.

【點睛】

本題考查求非線性回歸方程及其應用的問題，考查學生數(shù)據(jù)處理能力及運算能力，是一道

中檔題.

21.(I):+y2=i；(II)A4BC面積的最小值為9,x=±岑y+2.

【解析】

【分析】

(I)由已知求出拋物線的焦點坐標即得橢圓中的a,再由離心率可求得c,從而得人值,

得標準方程；

(II)設(shè)直線/方程為％=沖+2,設(shè)4(西,乂),倒工2，%)，把直線方程代入拋物線方程，

化為y的一元二次方程，由韋達定理得,+必,乂％，由弦長公式得|AB|,同理求得。點

的橫坐標，于是可得|EC將面積表示為參數(shù)的函數(shù)，利用導數(shù)可求得最大值.

【詳解】

22

(I)???橢圓G：=+二=1(。>>>0),

cC

長軸的右端點與拋物線G：V=8x的焦點尸重合，

:?a=2,

又?.?橢圓G的離心率是立，.?<,=百，b=l,

2

橢圓G的標準方程為5+V=1.

(II)過點尸(2,0)的直線/的方程設(shè)為*=沖+2,設(shè)4(石,％),3(^,%)，

x=my+2

聯(lián)立《得y2—8my—l6=0f

y2=Sx

???y1+%=8〃2,y%=T6,

???\AB\=,1+加2J(K+%)2—4yly2=8(l+m2).

過F且與直線/垂直的直線設(shè)為y=-m(x-2),

y=-7n(x-2)

聯(lián)立%2,得(l+4"/)x2-16m2%+i6機2-4=。,

：——FV2=1

4.

.c16M2(4m2-l)

..%+2=,，，，故％—L,

1+4m4m~+1

2

|CF|=\/14-m\xc-xF|=2---Jl+/,

”面積s.網(wǎng)什魯35.

AI----7(j../、16尸尸(八_16(4〃一9產(chǎn))

令后版="則s=〃f)=7rr八)=(4產(chǎn)-3y

9Q

令=則/=1,即1+團2=^時，AA8C面積最小,

即當m=±吏_時，AA8C面積的最小值為9,

2

此時直線1的方程為x=±且y+2.

2

【點睛】

本題考查橢圓方程的求解，拋物線中弦長的求解，涉及三角形面積范圍問題，利用導數(shù)求

函數(shù)的最值問題，屬綜合困難題.

22.(1)&=%-+〃2_±(2)①見解析②數(shù)列他,｝不能為等比數(shù)列，見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)數(shù)列通項公式的特點，奇數(shù)項為等差數(shù)列，偶數(shù)項為等比數(shù)列，選用分組求和的

方法進行求解；

(2)①設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為“，數(shù)列他,｝的公差為4,當n為奇數(shù)時，得出［Nd；當

n為偶數(shù)時，得出從而可證數(shù)列｛4｝,｛勿｝的公差相等；

②利用反證法，先假設(shè)也｝可以為等比數(shù)列，結(jié)合題意得出矛盾，進而得出數(shù)列也｝不能

為等比數(shù)列.

【詳解】

(1)因為4=〃，4=2",所以=2,~^=4且q=q=l,c2=b2=4

由題意可知，數(shù)列卜2,一｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

數(shù)列｛。2“｝是首項和公比均為4的等比數(shù)列，

店"n(n-l)c4(1—4")4n+,4

所以7；“=〃+=-------x2+--------——+〃2一2一；

2"21-433

(2)①證明：設(shè)數(shù)列｛《,｝的公差為d,數(shù)列加“｝的公差為4，

當n為奇數(shù)時，cn=an=q+("—l)d,c?+1=b,+i=bi+ndi

ci,—d—bi

若d]〈d,則當〃〉一;—^時，c-c=(d-d)n+d-a<0,

U1-n+｛n1A

即q用vq,與題意不符，所以4Nd,

當n為偶數(shù)時，?！?2=4+(〃-1)4，cn+]=aH+]=ci]+nd,

若d[>d,則當"〉一丁尸時,4吐1一%=("—4)〃+4+4一4<0,

a-a、

即％+I<c”，與題意不符，所以4<d，

綜上，4=4,原命題得證；

②假設(shè)也｝可以為等比數(shù)列，設(shè)公比為q,