學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題三三角函數(shù)的值域與最值一、問題的提出【2017課標(biāo)II理14】函數(shù)（）的最大值是;該題可以運(yùn)用同角三角函數(shù)平方關(guān)系進(jìn)行消元，再轉(zhuǎn)化為復(fù)合型二次函數(shù)來解決.三角函數(shù)的值域與最值是三角函數(shù)的重要性質(zhì),也是高考數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及的問題.它對(duì)三角函數(shù)的恒等變形能力及綜合應(yīng)用要求較高，是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。解決這一類問題的基本途徑,同求解其他函數(shù)最值一樣,一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性(如有界性等）,另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)（二次函數(shù)等）最值問題.本專題就來探討求三角函數(shù)最值的一些基本方法二、問題的探源本題的解法：化簡(jiǎn)三角函數(shù)的解析式：，，由自變量的范圍:可得：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1。三角函數(shù)的值域問題,大多是含有三角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)值域問題，常用的方法為：化為代數(shù)函數(shù)的值域,也可以通過三角恒等變形化為求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的值域;或化為關(guān)于sinx(或cosx）的二次函數(shù)式，再利用換元、配方等方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在限定區(qū)間上的值域．求三角函數(shù)的值域(最值）時(shí),代數(shù)中求值域（最值）的方法均適用,如配方法（注意三角函數(shù)的取值范圍)、換元法（注意換元后的范圍變化)、判別式法、不等式法等．這里特別提醒以下幾種方法：（1）對(duì)于形如y＝Asin(ωx＋φ）＋b(或y＝Acos（ωx＋φ)＋b),可利用弦函數(shù)的有界性求值域或最值；若x范圍給定可直接求出ωx＋φ的范圍,然后根據(jù)單調(diào)性求解；（2)對(duì)于形如，可借助于二倍角公式及輔助角公式,化為形式，再借助弦函數(shù)有界性求解;(3）對(duì)于形如的函數(shù)可通過配方法求值域；(4)含有的函數(shù)可通過換元求解.三、問題的佐證一配方法若函數(shù)表達(dá)式中只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù),切它們次數(shù)是2時(shí),一般就需要通過配方或換元將給定的函數(shù)化歸為二次函數(shù)的最值問題來處理。【例1】函數(shù)的最小值為（）.A．2B。0C.D。6【例2】求函數(shù)y=5sinx+cos2x的最值【分析】觀察三角函數(shù)名和角，其中一個(gè)為正弦,一個(gè)為余弦，角分別是單角和倍角,所以先化簡(jiǎn),使三角函數(shù)的名和角達(dá)到統(tǒng)一?！窘馕觥慷胼o助角法【例3】設(shè)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（）A。B。C。D.【解析】利用輔助角公式可得：，其中:，當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)：，則:。本題選擇C選項(xiàng)。三利用三角函數(shù)的有界性在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有一個(gè)最基本也是最重要的特征-—有界性,利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的有界性是求解三角函數(shù)最值的最基本方法?！纠?】若向量，且則的最小值為________．【例5】求函數(shù)的值域【分析】此為型的三角函數(shù)求最值問題,分子、分母的三角函數(shù)同名、同角，這類三角函數(shù)一般先化為部分分式，再利用三角函數(shù)的有界性去解.或者也可先用反解法,再用三角函數(shù)的有界性去解。解法一：原函數(shù)變形為，可直接得到：或解法一：原函數(shù)變形為或四換元法對(duì)于表達(dá)式中同時(shí)含有sinx+cosx,與sinxcosx的函數(shù),運(yùn)用關(guān)系式一般都可采用換元法轉(zhuǎn)化為t的二次函數(shù)去求最值，但必須要注意換元后新變量的取值范圍.【例6】求函數(shù)的值域.【解析】令sinx+cosx=t，則，其中所以，故值域?yàn)?五利用基本不等式法利用基本不等式求函數(shù)的最值,要合理的拆添項(xiàng)，湊常數(shù),同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件,否則會(huì)陷入誤區(qū).【例7】已知中，，則的最大值是(）A.B。C。D.六數(shù)形結(jié)合由于,所以從圖形考慮,點(diǎn)(cosx，sinx）在單位圓上,這樣對(duì)一類既含有正弦函數(shù)，又含有余弦函數(shù)的三角函數(shù)的最值問題可考慮用幾何方法求得.【例8】求函數(shù)的最小值?！窘馕觥糠ㄒ唬簩⒈磉_(dá)式改寫成y可看成連接兩點(diǎn)A(2，0）與點(diǎn)（cosx，sinx）的直線的斜率。由于點(diǎn)（cosx,sinx）的軌跡是單位圓的上半圓(如圖），所以求y的最小值就是在這個(gè)半圓上求一點(diǎn)，使得相應(yīng)的直線斜率最小。設(shè)過點(diǎn)A的切線與半圓相切與點(diǎn)B,則可求得所以y的最小值為（此時(shí)）。法二:該題也可利用關(guān)系式asinx+bcosx=（即引入輔助角法）和有界性來求解。四、問題的解決1．函數(shù)的最大值為（)A.B.C.D.2【答案】A 【解析】由題意，得；故選A.2.將函數(shù)圖像上的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn).若位于函數(shù)的圖像上，則（）。A.，的最小值為B。,的最小值為C。，的最小值為D。，的最小值為【答案】A【解析】解法一(排除法）：由點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，可得,這樣就可排除選項(xiàng)B,D。進(jìn)而可得點(diǎn)。又點(diǎn)位于函數(shù)的圖像上，所以①由此可排除選項(xiàng)C。故選A.解法二：由①可得,Z），Z）。再由，可得的最小值為.故選A.3．在銳角中，角的對(duì)邊分別為，若,，則的取值范圍（）A.B。C。D.【答案】B【解析】由題意可得：，,,，,，故選B4.已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是，且當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,則．【答案】15．的三個(gè)內(nèi)角為,若，則的最大值為__________．【答案】【解析】，,故的最大值為，故答案為。6。函數(shù)y＝eq\f（cosx－2，cosx－1)的最小值為__________．．【答案】eq\f(3，2).【解析】解法一：∵y＝eq\f(cosx－2,cosx－1）＝eq\f（cosx－1－1，cosx－1)＝1＋eq\f(1,1－cosx)，∴當(dāng)cosx＝－1時(shí),ymin＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3，2).解法二：由y＝eq\f(cosx－2,cosx－1),得cosx＝eq\f(y－2,y－1),又∵－1≤cosx＜1，∴－1≤eq\f(y－2，y－1）＜1。∴y≥eq\f(3，2）?！嗪瘮?shù)的最小值為eq\f(3，2）.7．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最值及對(duì)稱軸方程；（2）若，求函數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚?）最大值為，最小值為，；（2）.8．設(shè)三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，的面積滿足。（1)求角的值；(2）求的取值范圍.【答案】（1)；(2）?！窘馕觥浚?）,，.（2)或者，，，因?yàn)?所以,,所以.9。設(shè)，用a表示f（x）的最大值M（a).【答案】見解析【解析】令sinx=t,則當(dāng),即在［0，1]上遞增,當(dāng)即時(shí)，在[0，1]上先增后減，當(dāng)即在[0,1]上遞減，10．在中，,，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊,且，，成等比數(shù)列．