初中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)(３2)中位線一、內(nèi)容提綱三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。中位線性質(zhì)定理的結(jié)論,兼有位置和大小關(guān)系,可以用它鑒定平行，計算線段的長度，擬定線段的和、差、倍關(guān)系。運用中位線性質(zhì)的關(guān)鍵是從出現(xiàn)的線段中點，找到三角形或梯形，涉及作出輔助線。中位線性質(zhì)定理,常與它的逆定理結(jié)合起來用。它的逆定理就是平行線截比例線段定理及推論，①一組平行線在一直線上截得相等線段,在其他直線上截得的線段也相等②通過三角形一邊中點而平行于另一邊的直線，必平分第三邊③通過梯形一腰中點而平行于兩底的直線，必平分另一腰有關(guān)線段中點的其他定理尚有：①直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半②等腰三角形底邊中線和底上的高，頂角平分線互相重合③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形④線段中垂線上的點到線段兩端的距離相等因此如何發(fā)揮中點作用必須全面考慮。二、例題已知：△ABＣ中,分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形ABＭ和ＣＡN，P是BC的中點。求證:PM＝ＰN證明：作MＥ⊥ＡＢ，ＮF⊥ＡＣ,垂足E，F(xiàn)∵△ＡBM、△ＣAＮ是等腰直角三角形∴AＥ＝ＥB＝ME，ＡＦ＝FＣ＝NF,根據(jù)三角形中位線性質(zhì)PE=AＣ=NF,PF=ＡB=ＭEPE∥ＡＣ，ＰF∥ＡB∴∠ＰEB=∠BAC=∠PＦC即∠PEM＝∠PFN∴△PＥM≌△ＰFＮ∴PM＝PN例2．已知△ＡBC中,AＢ=10，ＡC=７，ＡＤ是角平分線,ＣM⊥AＤ于M，且Ｎ是BC的中點。求MN的長。分析:N是BC的中點，若M是另一邊中點，則可運用中位線的性質(zhì)求MN的長,根據(jù)軸稱性質(zhì)作出△AＭＣ的全等三角形即可。輔助線是：延長CM交ＡB于E(證明略)例３.求證梯形對角線的中點連線平行于兩底，且等于兩底差的一半。已知：梯形ＡBCD中,AB∥ＣＤ,Ｍ、Ｎ分別是AＣ、ＢD的中點求證：ＭN∥AB∥ＣD，MN＝(AB-CＤ)分析一:∵Ｍ是AC中點,構(gòu)造一個三角形,使Ｎ為另一邊中點，以便運用中位線的性質(zhì)?！噙B結(jié)CＮ并延長交AＢ于E(如圖１)證△BNE≌△ＤNC可得N是ＣE的中點。(證明略)分析二：圖2與圖1思緒同樣。分析三：直接選擇△ABC,取BC中點Ｐ連結(jié)MP和NP，證明M,Ｎ，Ｐ三點在同一直線上,方法也是運用中位線的性質(zhì)。如圖已知:△AＢC中，AD是角平分線，BE＝CＦ，M、Ｎ分別是ＢC和ＥF的中點求證:MＮ∥AD證明一：連結(jié)ＥC，取EＣ的中點P，連結(jié)PM、PNMP∥AB,MＰ=AB,ＮP∥AＣ，NＰ=AC∵BE=CF,∴MP=NP∴∠3＝∠4=∠MPN＋∠BAC＝180(兩邊分平行的兩個角相等或互補)∴∠１＝∠2=，∠２=∠3∴NP∥ＡC∴MＮ∥ＡD證明二：連結(jié)并延長EＭ到G，使MG=ME連結(jié)ＣＧ,FＧ則MN∥FG，△ＭＣG≌△ＭBE∴CG＝BＥ＝CF∠B＝∠BCG∴AＢ∥CG,∠BAC＋∠FＣG=1８0∠CAD=（18０－∠ＦCG)∠CFG=（1８0-∠FＣG）=∠CAＤ∴MN∥ＡD已知:△AＢC中,ＡB＝AC,AＤ是高，CE是角平分線，EF⊥BC于Ｆ，ＧE⊥CE交CB的延長線于G求證：FD=CG證明要點是：延長GＥ交AC于H,可證E是GＨ的中點過點E作EＭ∥ＧC交HC于M,則M是HC的中點,EM∥GC，EＭ=GＣ由矩形ＥFDO可得FＤ=EO=EＭ=GＣ三、練習(xí)３21.已知E、F、G、H是四邊形AＢＣD各邊的中點則①四邊形EＦGH是__＿__形②當(dāng)ＡC=BD時,四邊形EFGＨ是__＿形③當(dāng)AC⊥BD時，四邊形ＥＦGH是_＿形④當(dāng)AＣ和BD_＿_＿__＿＿時,四邊形EＦＧＨ是正方形形。2.求證：梯形兩底中點連線小于兩邊和的一半。3．已知AD是銳角三角形ABC的高,E，Ｆ,G分別是邊BC,CA，AB的中點，證明順次連結(jié)E,F，G，H所成的四邊形是等腰梯形。已知：通過△AＢC頂點A任作一直線ａ,過B，C兩點作直線a的垂線段BB，和CＣ，，設(shè)Ｍ是BC的中點，求證：MB,＝MＣ，5．如圖已知△ABC中，AD=BＥ，DM∥EＮ∥BC求證ＢC=DM+EN6．如圖已知:從平行四邊形ABCD的各頂點向形外任一直線a作垂線段AE，BＦ，CＧ，DH。求證AＥ＋CG=ＢF+DＨ7.如圖已知D是AＢ的中點,Ｆ是DE的中點,求證BC＝２CE8.平行四邊形ABCD中,M，N分別是BＣ、CD的中點,求證ＡC平分MN9.已知△ABC中,D是邊ＢC上的任一點,M,N，P,Q分別是ＢC,AD,AC,MＮ的中點,求證直線PQ平分BD。1０.等腰梯形ABCＤ中，AB∥CD，AD=ＢC,點O是AC和BD的交點，∠AOB＝60,P,Q，Ｒ分別是AO，ＢC,DO的中點，求證△PＱR是等邊三角形。1１.已知：△ＡBＣ中，AD是高,AE是中線,且AＤ，AE三等分∠BAC,求證:△AＢC是Rt△。1２．已知：在銳角三角形ABC中,高AＤ和中線ＢE相交于O,∠BＯＤ＝60,求證AＤ＝ＢE１3．如圖已知:四邊形ABCＤ中,AD=BC,點E、F分別是AB、CD的中點，MＮ⊥EＦ求證:∠DMＮ=∠CＮM練習(xí)３2參考答案:①平行四邊形②菱形③矩形④相等且互相垂直取一條對角線的中點,運用三角形兩邊差小于第三邊DG＝EF＝AB過點M作a的垂線,必平分B，Ｃ,△