英豪班培訓(xùn)資料:圓一、弦切角定理:頂點(diǎn)在圓上,一邊和圓相交,另一邊和圓相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切線與弦所夾的角）弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角.二、圓冪定理圓冪的定義：一點(diǎn)P對(duì)半徑Ｒ的圓O的冪定義如下：所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù),圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù),圓上的點(diǎn)的冪為零。圓冪定理是相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論）以及他們推論的統(tǒng)稱。相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)提成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。如圖,ＡB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點(diǎn)Ｐ，連接AＤ、BC,則∠D=∠B,∠Ａ=∠C。所以△AＰD∽△BPC。所以切割線定理:從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓焦點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。如圖，PT為圓切線，ＰAＢ為割線。連接ＴＡ，TB,則∠ＰTA=∠B（弦切角等于同弧圓周角)所以△PTA∽△PBT,所以割線定理:從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A．B.C.D則有PA·ＰB=PC·PＤ。這個(gè)證明就比較簡(jiǎn)樸了?？梢赃^(guò)P做圓的切線,也可以連接CB和AD。證相似。存在:進(jìn)一步升華（推論):過(guò)任旨在圓O外的一點(diǎn)P引一條直線L1與一條過(guò)圓心的直線Ｌ2，L1與圓交于A、Ｂ（可重合，即切線），Ｌ2與圓交于Ｃ、D。則PA·ＰB=ＰC·PD。若圓半徑為r,則（一定要加絕對(duì)值,因素見(jiàn)下）為定值。這個(gè)值稱為點(diǎn)P到圓O的冪。(事實(shí)上所有的過(guò)P點(diǎn)與圓相交的直線都滿足這個(gè)值）若點(diǎn)Ｐ在圓內(nèi)，類似可得定值為故平面上任意一點(diǎn)對(duì)于圓的冪為這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離與圓的半徑的平方差的絕對(duì)值。(這就是“圓冪”的由來(lái))如圖,在Ｒt△ＡBC中，∠C=９０°,BC＝5,⊙O與Rｔ△ABC的三邊AB、ＢC、AＣ分相切于點(diǎn)D、E、Ｆ，若⊙O的半徑r=2,則Rt△ABC的周長(zhǎng)為_(kāi)___＿_(dá)＿_(dá)_＿＿Ｄ是△ＡBＣ的邊AB上的一點(diǎn)，使得AB=3AＤ，Ｐ是△ＡＢC外接圓上一點(diǎn),使得,求的值.解:連結(jié)AP,則,所以，△APB∽△ADP，…………(５分)∴，所以,∴,…………(10分）所以．…………(１5分)如圖，點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙Ｏ的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B.過(guò)點(diǎn)A作PB的平行線,交⊙O于點(diǎn)C.連結(jié)PC,交⊙O于點(diǎn)E；連結(jié)AE，并延長(zhǎng)AＥ交PB于點(diǎn)K.求證:PE·ＡC=CE·ＫB．證明:由于AC∥PB，所以∠ＫPE＝∠ACE．又PA是⊙O的切線，所以∠KAＰ＝∠ＡCＥ，故∠KPE=∠KAP，于是△KＰＥ∽△ＫＡP,所以，即．由切割線定理得所以.…………１0分由于AC∥PＢ，△KPE∽△AＣE,于是故,即PE·AC=ＣE·KB．………………15分已知AB為半圓O的直徑，點(diǎn)P為直徑AB上的任意一點(diǎn)．以點(diǎn)A為圓心，ＡP為半徑作⊙Ａ，⊙A與半圓O相交于點(diǎn)C；以點(diǎn)B為圓心,BP為半徑作⊙B,⊙B與半圓O相交于點(diǎn)Ｄ，且線段CD的中點(diǎn)為M.求證：ＭP分別與⊙A和⊙B相切.（第13A題答案圖）證明：如圖，連接AC,ＡD,BC，ＢD,并且分別過(guò)點(diǎn)C，D作AB的垂線,垂足分別為,則CE∥ＤF.由于ＡB是⊙O的直徑,所以.在Ｒt△和Ｒｔ△中,由射影定理得,.……………5分（第13A題答案圖）兩式相減可得,又，于是有,即,所以,也就是說(shuō),點(diǎn)P是線段EF的中點(diǎn)．因此，MＰ是直角梯形的中位線,于是有，從而可得ＭP分別與⊙A和⊙Ｂ相切．如圖,圓內(nèi)接四邊形ＡＢCD中，.求證:證明:連結(jié)BD、AC交于點(diǎn)E,則∠ＢAE=∠CAＤ，∠ＡＢE＝∠ACD所以△∽△, 5分所以,所以.?10分又∠ＣBE=∠CAB，∠BCE=∠ＡCB所以△∽△，?15分所以，所以,?２0分所以，所以． 2５分如圖,四邊形ABＣD內(nèi)接于⊙O，AＢ是直徑,AD=DC.分別延長(zhǎng)BA,CD，交點(diǎn)為Ｅ.作ＢF⊥EC，并與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.若ＡE=AＯ,BＣ＝6,則CＦ的長(zhǎng)為.解：如圖，連接ＡＣ，ＢD，ＯD.由AＢ是⊙Ｏ的直徑知∠BＣA=∠BDA=９0°．依題設(shè)∠BFＣ=90°，四邊形ABCD是⊙Ｏ的內(nèi)接四邊形，所以∠BCF=∠ＢAD，所以Rt△BＣF∽R(shí)ｔ△ＢAD,因此．由于ＯD是⊙Ｏ的半徑，AD=ＣD,所以O(shè)D垂直平分AＣ,ＯD∥ＢC，于是.因此.由△∽△,知.由于,所以，BA＝AD,故.如圖,⊙O的直徑為,⊙O1過(guò)點(diǎn)，且與⊙Ｏ內(nèi)切于點(diǎn)．為⊙Ｏ上的點(diǎn),與⊙O1交于點(diǎn),且．點(diǎn)在上，且,ＢE的延長(zhǎng)線與⊙Ｏ1交于點(diǎn)，求證：△BOC∽△．證明：連接BＤ，由于為⊙Ｏ1的直徑,所以．又由于,所以△ＣＢＥ是等腰三角形．…………(5分）設(shè)BC與⊙Ｏ1交于點(diǎn),連接ＯM,則．又由于，所以.…………(15分)又由于分別是等腰△，等腰△的頂角，所以△BＯC∽△.…………（20分）如圖，點(diǎn)H為△ABC的垂心,以AB為直徑的⊙和△BCＨ的外接圓⊙相交于點(diǎn)D,延長(zhǎng)AＤ交ＣＨ于點(diǎn)P，求證:點(diǎn)P為CH的中點(diǎn)。AABCHPDQ證明：如圖,延長(zhǎng)AＰ交⊙于點(diǎn)Q連結(jié)AH,BD，ＱC,QH∵AB為直徑∴∠ＡDＢ=∠ＢDQ=９00∴BＱ為⊙的直徑于是CＱ⊥BＣ,BＨ⊥HQ∵點(diǎn)H為△ABC的垂心∴AＨ⊥BＣ,BH⊥AC∴ＡH∥CＱ，AC∥ＨQ，四邊形ＡCHQ為平行四邊形則點(diǎn)P為CH的中點(diǎn)。如圖，△AＢC為等腰三角形,ＡP是底邊ＢC上的高,點(diǎn)D是線段ＰC上的一點(diǎn)，BＥ和CF分別是△AＢD和△ACD的外接圓直徑,連接ＥF．求證：（第12A題）（第12A題）（第12B題）證明：如圖,連接ED,FD．由于BE和CF（第12B題）EＤ⊥BC,ＦＤ⊥BC,因此D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．…………（5分)連接AE，AF，則,所以，△ＡBＣ∽△AEF.…………（1０分）作AH⊥ＥF,垂足為H，則AH=PD.由△ABＣ∽△ＡＥＦ可得，從而，所以.…………（2０分）如圖,P是平行四邊形ABCD的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),ＤP與AC、BＣ分別交于點(diǎn)E、F，EG是過(guò)B、F、P三點(diǎn)的圓的切線,G為切點(diǎn)．求證：EG=DE.解：由AD∥ＢC得△AED∽△CEF從而，DＥ:EF=AＥ:EC又由于AP∥DC，得△AEP∽△CED于是ＡE：EＣ=EP：DE故DＥ:ＥF=EＰ:DＥ,即而ＥG是過(guò)Ｂ、F、P三點(diǎn)的圓的切線，ＥFP為此圓的割線，則,故,所以EG=ＤE如圖，直線AB和ＡC與⊙Ｏ分別相切于B、C，Ｐ為圓上一點(diǎn),P到AB、AC的距離分別為4cm、6cｍ，那么P到BＣ的距離為.解：連接DF、BP、EF、PC∵ＡB、AＣ是⊙O的切線∴AB=ＡC∴∠ABC=∠ACＢ∵∠PＤB=∠ＰFB＝∠PFC＝∠PEC=９０°∴∠DPF＝∠EPF點(diǎn)Ｐ、E、C、Ｆ四點(diǎn)共圓，點(diǎn)P、F、B、D四點(diǎn)共圓∴∠PDF=∠PＢF＝∠PＣE=∠PＦE∴△PFD∽△PＥＦ∴∴∴如圖,在△ABC中，AB=AC,任意延長(zhǎng)CＡ到P，再延長(zhǎng)AB到Ｑ,使AP=BQ，求證：△ABC的外心O與A，P，Q四點(diǎn)共圓．思緒點(diǎn)撥先作出△ABC的外心Ｏ，連PＯ、ＯQ，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明角相等．解:點(diǎn)Ｏ為△ＡBＣ的外心,連結(jié)OA、OB、ＯP、ＯＱ，則OA=ＯB∴∠OAB=∠OBＡ∵∠OAＢ＝∠ＯAC∴∠ＯBA=∠OＡC∴∠OAP=∠ＯBＱ∵AP＝ＡQ∴△ＯAＰ≌△OＢQ∴∠OＰA=∠OQB∴點(diǎn)A、Ｐ、Q、Ｏ四點(diǎn)共圓如圖,在正方形ABＣD中，AＢ=1,ＥQ\o（\s＼up８(︵），\s\dｏ１(AC))是以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓的一段弧,點(diǎn)E是邊AD上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合),過(guò)Ｅ作EQ\o(\s\up8(︵),＼s\ｄo1(AC)）所在圓的切線,交邊DC于點(diǎn)Ｆ,G為切點(diǎn).(１)當(dāng)∠ＤＥF＝45°時(shí)，求證點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)；(2）設(shè)ＡE=x，F(xiàn)C=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出函數(shù)的定義域;（3)將△DEＦ沿直線EF翻折后得△Ｄ1EＦ，如圖,當(dāng)EF=時(shí)，討論△AD１D與△ＥD１F是否相似，假如相似，請(qǐng)加以證明；假如不相似，只規(guī)定寫(xiě)出結(jié)論,不規(guī)定寫(xiě)出理由．解:（1)設(shè)ＤE=ｘ,在Rt△DEF中,∠DＥF=45°，則ＤF=ＤE=x∴AE=ＣF=1－x由切線長(zhǎng)定理可證:EG=AE=1-x，F(xiàn)G=ＦC=1－x，則EF=２(１-ｘ)由勾股定理，得，所以，解得故點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)。(2）由題意知：ＤE=1-x，DF=1-ｙ由（1)小題可知：EG=AＥ=x,FＧ=FＣ=ｙ,則EF=x+y∵∴∴(３)。理由如下：由翻折可知:,則,而,所以,由于,所以，所以，,所以，即，所以圓O1與圓O２交于點(diǎn)A、B，過(guò)A的直線分別交圓O1、圓O2于M、N,C為MN的中點(diǎn)，P為Ｏ1O2的中點(diǎn)。求證PA＝PC證明：(下面對(duì)AＭ＞AN的情況進(jìn)行證明,AM=AN與AＭ<AN同理證明)方法一：作PＱ垂直ＭN于Q,O1E垂直ＭN于Ｅ，O2Ｆ則PQ/／O１E//O2由于P是O1Ｏ2的中點(diǎn)所以Q是EF的中點(diǎn),即QＥ=ＱF=EＦ/２根據(jù)垂徑定理得:ＡE=ＭE＝ＡM/2,ＡF＝ＮF＝AＮ/2所以EF=AE+AF＝(AM+AN)／2=MN／２設(shè)AM＝4X,AＮ=４Ｙ,則AE＝ME=2X，ＡＦ＝NＦ＝２Ｙ,QE＝ＱＦ=Ｘ＋Y由于C為MＮ的中點(diǎn)所以MC＝NC=MN／２=2X＋２Ｙ由于ＡQ＝AE－QＥ＝2Ｘ-(X＋Ｙ)＝X－YCQ＝QM－MＣ=MＥ+QE－ＭＣ=2X+(X＋Y）-（2X＋2Y）=X-Y所以AQ=CQ由于ＰＱ⊥ＡＣ所以ＰQ垂直平分ＡC所以ＰA=PC方法二：在⊙Ｏ１中作直徑AR，在⊙Ｏ2中作直徑AS,連接BR、BS,延長(zhǎng)ＡP交BR于G，連接ＣG、RM、ＳN、AB由于ＡR、AS是直徑所以∠AＢR＝∠ABＳ=90°，∠M＝∠N＝９0°,所以R、B、S在同一直線上，且有AB⊥RS，ＲＭ／/ＳN由于AB⊥O1O２所以O(shè)1O2//RS所以O(shè)1P/ＲG＝AP/AG，Ｏ2P/SG＝AP/AG,由于O1P＝O2Ｐ所以RＧ=SG由于ＣM＝ＣN所以CG是梯形MＮSR的中位線所以ＣG／／ＲＭ所以ＣG⊥ＭN由于O1A＝Ｏ1R,O１所以ＰA=PG所以ＰＣ是直角三角形AＣG斜邊上的中線所以PＣ=AＧ／２＝PA所以PA＝PC如圖所示,已知AB是⊙O的直徑，ＢC是⊙Ｏ的切線，OC平行于弦AD，過(guò)點(diǎn)Ｄ作DE⊥ＡB于點(diǎn)E,連結(jié)AＣ,與DE交于點(diǎn)P.問(wèn)EP與PD是否相等?證明你的結(jié)論.解:ＤP＝ＰE.證明如下:由于AＢ是⊙O的直徑，BC是切線,所以AB⊥BC．由Rt△AEP∽Ｒt△AＢC，得.①……（6分)又AD∥ＯＣ,所以∠DAE＝∠ＣOB，于是Ｒt△AＥD∽R(shí)t△OBC.故②……(12分)