江蘇省無錫市雪浪中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)f(x)是一個(gè)三次函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù).圖中所示的是的圖像的一部分.則f(x)的極大值與極小值分別是（

）.A.f(1)與f(－1) B.f(－1)與f(1) C.f(－2)與f(2) D.f(2)與f(－2)參考答案：C【詳解】易知，有三個(gè)零點(diǎn)因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，所以，它有兩個(gè)零點(diǎn)由圖像易知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故是極小值類似地可知，是極大值.故答案為：C2.設(shè)f(x)是一個(gè)三次函數(shù)，f′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，如圖所示的是y＝x·f′(x)的圖象的一部分，則f(x)的極大值與極小值分別是

(

)A．f(1)與f(－1)

B．f(－1)與f(1)C．f(－2)與f(2)

D．f(2)與f(－2)參考答案：C3.若a、b∈R，且ab＞0，則下列不等式中，恒成立的是()．A.a2＋b2＞2ab

B.a＋b≥2

C.

D.參考答案：D4.在正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）中，已知，，則異面直線和所成角的正弦值為(

)A.

B.

C. D.1參考答案：D略5.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=13，an+1=2Sn+1，n∈N*，則符合Sn＞a5的最小的n值為（）A．8 B．7 C．6 D．5參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】an+1=2Sn+1，n∈N*，n≥2時(shí)，an=2Sn﹣1+1，可得an+1﹣an=2an，即an+1=3an，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出．【解答】解：∵an+1=2Sn+1，n∈N*，n≥2時(shí)，an=2Sn﹣1+1，∴an+1﹣an=2an，即an+1=3an，∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為3，由S3=13，∴=13，解得a1=1．∴a5=34=81．Sn==，S5==121＞a5，S4==40＜a5．∴符合Sn＞a5的最小的n值為5．故選：D．6.下列說法中正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)B．一組數(shù)據(jù)不可能有兩個(gè)眾數(shù)C．一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定是這組數(shù)據(jù)中的某個(gè)數(shù)據(jù)D．一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度越大參考答案：D略7.點(diǎn)P(－3，4)關(guān)于直線x＋y－2＝0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(

)A．(－2，1)

B．(－2，5)

C．(2，－5)

D．(4，－3)參考答案：B8.若復(fù)數(shù)z=（i是虛數(shù)單位），則|z|=（）A． B．1 C． D．2參考答案：C【考點(diǎn)】A8：復(fù)數(shù)求模．【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)z===1+i，則|z|==．故選：C．9.命題“若，則”的逆否命題是（

）A.若，則

B.若，則C.若，則

D.若，則參考答案：C略10.直線在x軸上的截距為(

)

A.

B.

C.

D.2參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)M是，定義f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分別是△MBC，△MCA，△MAB的面積，的最小值是．參考答案：18【考點(diǎn)】HP：正弦定理；7F：基本不等式；9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則及∠ABC的度數(shù)，求出的值，再由sinA的值，利用三角形的面積公式求出三角形ABC的面積為1，即△MBC，△MCA，△MAB的面積之和為1，根據(jù)題中定義的，得出x+y=，利用此關(guān)系式對(duì)所求式子進(jìn)行變形后，利用基本不等式即可求出所求式子的最小值．【解答】解：由，得，所以，∴x+y=，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為18．故答案為：1812.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，如果在橢圓上存在一點(diǎn)p，使∠F1PF2為鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由∠F1PF2為鈍角，得到?＜0有解，轉(zhuǎn)化為c2＞x02+y02有解，求出x02+y02的最小值后求得橢圓離心率的取值范圍．【解答】解：設(shè)P（x0，y0），則|x0|＜a，又∠F1PF2為鈍角，當(dāng)且僅當(dāng)?＜0有解，即c2＞x02+y02有解，即c2＞（x02+y02）min．又y02=b2﹣x02，∴x02+y02=b2+x02∈[b2，a2），即（x02+y02）min=b2．故c2＞b2，c2＞a2﹣c2，∴＞，即e＞，又0＜e＜1，∴＜e＜1．故答案為：．13.已知，，，則的最小值是

．參考答案：4因?yàn)?，根?jù)基本不等式：，則，令，不等式轉(zhuǎn)化為：，解得：，即的最小值為4．

14.過點(diǎn)（，0）引直線l與曲線y=相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于

．參考答案：

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】通過曲線方程確定曲線表示單位圓在x軸上方的部分（含于x軸的交點(diǎn)），直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，且直線不與x軸重合，從而確定直線斜率﹣1＜k＜0，用含k的式子表示出三角形AOB的面積，利用二次函數(shù)求最值，確定直線斜率k的值．【解答】解：由，得x2+y2=1（y≥0）∴曲線表示単位圓在x軸上方的部分（含于x軸的交點(diǎn)）由題知，直線斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，且直線不與x軸重合則﹣1＜k＜0∴直線l的方程為：即則圓心O到直線l的距離直線l被半圓所截得的弦長為|AB|=∴===令則當(dāng)S△AOB有最大值為此時(shí)，∴又∵﹣1＜k＜0∴【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合，二次函數(shù)求最值等思想進(jìn)行解答．15.已知，則.參考答案：略16.如圖是某正方體被一平面截去一部分后剩下的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為

．參考答案：【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】作出幾何體的直觀圖，觀察截去幾何體的結(jié)構(gòu)特征，代入數(shù)據(jù)計(jì)算．【解答】解：由三視圖可知正方體邊長為2，截去部分為三棱錐，作出幾何體的直觀圖如圖所示：故該幾何體的體積為：23﹣=，故答案為：．17.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，則角A的大小為________．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量如下表（單位：輛）；

轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；（Ⅲ）用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測(cè)它們的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把這8輛轎車的得分看成一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過0.5的概率．參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得=，∴n=2000，∴z=2000﹣（100+300）﹣150﹣450﹣600=400．（Ⅱ）設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意，得a=2．因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車．用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標(biāo)準(zhǔn)轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有：（A1，A2），（A1B1），（A1B2），（A1，B3，），（A2，B1），（A2，B2）（A2，B3），（B1B2），（B1，B3，），（B2，B3），共10個(gè)，事件E包含的基本事件有：（A1A2），（A1，B1，），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7個(gè)，故P（E）=，即所求概率為．（Ⅲ）樣本平均數(shù)=（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．設(shè)D表示事件“從樣本中任取一數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)不超過0.5”，則基本事件空間中有8個(gè)基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6個(gè)，∴P（D）=，即所求概率為．考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式；分層抽樣方法．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（Ⅰ）根據(jù)用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛，得每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，列出關(guān)系式，得到n的值（Ⅱ）由題意知本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)和滿足條件的事件數(shù)，可以通過列舉數(shù)出結(jié)果，根據(jù)古典概型的概率公式得到結(jié)果．（Ⅲ）首先做出樣本的平均數(shù)，做出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件數(shù)，和滿足條件的事件數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式得到結(jié)果．解答：解：（Ⅰ）設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得=，∴n=2000，∴z=2000﹣（100+300）﹣150﹣450﹣600=400．（Ⅱ）設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車，由題意，得a=2．因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車．用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標(biāo)準(zhǔn)轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有：（A1，A2），（A1B1），（A1B2），（A1，B3，），（A2，B1），（A2，B2）（A2，B3），（B1B2），（B1，B3，），（B2，B3），共10個(gè)，事件E包含的基本事件有：（A1A2），（A1，B1，），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7個(gè)，故P（E）=，即所求概率為．（Ⅲ）樣本平均數(shù)=（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．設(shè)D表示事件“從樣本中任取一數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對(duì)不超過0.5”，則基本事件空間中有8個(gè)基本事件，事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6個(gè)，∴P（D）=，即所求概率為．點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型，考查用列舉法來得到事件數(shù)，考查分層抽樣，是一個(gè)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合題目，這種題目看起來比較麻煩，但是解題的原理并不復(fù)雜19.某校伙食長期以面粉和大米為主食，面食每100g含蛋白質(zhì)6個(gè)單位，含淀粉4個(gè)單位，售價(jià)0.5元，米食每100g含蛋白質(zhì)3個(gè)單位，含淀粉7個(gè)單位，售價(jià)0.4元，學(xué)校要求給學(xué)生配制盒飯，每盒盒飯至少有8個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的淀粉，問應(yīng)如何配制盒飯，才既科學(xué)又費(fèi)用最少？參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題．【分析】設(shè)每盒盒飯需要面食x（百克），米食y（百克），由已知我們可以給出x、y滿足滿足的條件，即約束條件，進(jìn)行畫出可行域，再使用角點(diǎn)法，即可求出目標(biāo)函數(shù)S=0.5x+0.4y的最小值．【解答】解：設(shè)每盒盒飯需要面食x（百克），米食y（百克），所需費(fèi)用為S=0.5x+0.4y，且x、y滿足6x+3y≥8，4x+7y≥10，x≥0，y≥0，由圖可知，直線y=﹣x+S過A（，）時(shí)，縱截距S最小，即S最小．故每盒盒飯為面食百克，米食百克時(shí)既科學(xué)又費(fèi)用最少．【點(diǎn)評(píng)】在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用題時(shí)，其步驟為：①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件?②由約束條件畫出可行域?③分析目標(biāo)函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系?④使用平移直線法求出最優(yōu)解?⑤還原到現(xiàn)實(shí)問題中．20.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+，m∈R（1）當(dāng)m=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求f（x）的最小值；（2）討論函數(shù)g（x）=f′（x）﹣零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）（理科）若對(duì)任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）當(dāng)m=e時(shí)，，x＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x）的極小值．（2）由g（x）===0，得m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，則h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)g（x）=f′（x）﹣零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．（3）（理）當(dāng)b＞a＞0時(shí)，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)m=e時(shí)，，x＞0，解f′（x）＞0，得x＞e，∴f（x）單調(diào)遞增；同理，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，∴f（x）只有極小值f（e），且f（e）=lne+=2，∴f（x）的極小值為2．（2）∵g（x）===0，∴m=，令h（x）=x﹣，x＞0，m∈R，則h（1）=，h′（x）=1﹣x2=（1+x）（1﹣x），令h′（x）＞0，解得0＜x＜1，∴h（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，值域?yàn)椋?，）；同理，令h′（x）＜0，解得x＞1，∴g（x）要區(qū)是（1，+∞）上單調(diào)遞減，值域?yàn)椋ī仭蓿喈?dāng)m≤0，或m=時(shí)，g（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0＜m＜時(shí)，g（x）有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m＞時(shí)，g（x）沒有零點(diǎn)．（3）（理）對(duì)任意b＞a＞0，＜1恒成立，等價(jià)于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；設(shè)h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），則h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；∵h(yuǎn)′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0），∴m≥；對(duì)于m=，h′（x）=0僅在x=時(shí)成立；∴m的取值范圍是[，+∞）．21.（16分）已知函數(shù)f（x）=2x，x∈R．（Ⅰ）解方程：f（2x）﹣f（x+1）=8；（Ⅱ）設(shè)a∈R，求函數(shù)g（x）=f（x）+a?4x在區(qū)間[0，1]上的最大值M（a）的表達(dá)式；（Ⅲ）若f（x1）+f（x2）=f（x1）f（x2），f（x1）+f（x2）+f（x3）=f（x1）f（x2）