2023屆北京市朝陽區(qū)高三上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題一、單選題1．已知全集，集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由補集的定義即可求解.【詳解】因為全集，集合，由補集的運算可得或，對應(yīng)區(qū)間為.故選：B.2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第三象限，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由實部與虛部均小于0聯(lián)立不等式組求解.【詳解】在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限,,即.實數(shù)的取值范圍是.故選：A.3．函數(shù)的零點的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】分別求出和時，的零點個數(shù)即可得出答案.【詳解】當(dāng)時，令，則，解得：（舍去）或，當(dāng)時，令，解得：，所以的零點個數(shù)為2.故選：C.4．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】求出雙曲線一條漸近線斜率，即，從而求出離心率.【詳解】由題意得：雙曲線的一條漸近線方程的斜率，所以雙曲線離心率.故選：D5．在中，“”是“為等腰三角形”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)得到或，充分性不成立，必要性可舉出反例，從而得到結(jié)論.【詳解】，則或，故或，故為等腰三角形或直角三角形，為等腰三角形，不一定推出，比如，此時不能得到，故“”是“為等腰三角形”的既不充分也不必要條件.故選：D6．過直線上任意一點，總存在直線與圓相切，則k的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，設(shè)為直線上任意一點，判斷點與圓的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得的最大值.【詳解】設(shè)為直線上任意一點因為過直線上任意一點，總存在直線與圓相切所以點在圓外或圓上，即直線與圓相離或相切，則，即，解得，故的最大值為.故選：A.7．已知函數(shù)，若，且函數(shù)的部分圖象如圖所示，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合圖象即可得到，進而求得，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)可求得周期和，從而求得答案.【詳解】由圖可知，函數(shù)過點和點，即，又因為，所以，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)可知，，解得，所以，解得，因為，所以所以，所以，即，解得，因為，所以故選：B.8．2022年10月31日，長征五號B遙四運載火箭帶著中華民族千百年來探索浩瀚宇宙的夢想，將中國空間站夢天實驗艙準確送入預(yù)定軌道在不考慮空氣阻力的條件下，若火箭的最大速度v（單位：）和燃料的質(zhì)量M（單位：t）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（單位：t）的關(guān)系滿足，M，m，v之間的關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】C【分析】由題及圖象關(guān)系可知，在中，當(dāng)一定時，越大，則越大，當(dāng)一定時，越小，則越大，代入對應(yīng)的，逐項判斷選項即可得到答案.【詳解】由題及圖象關(guān)系可知，在中，當(dāng)一定時，越大，則越大，當(dāng)一定時，越小，則越大，對于A，當(dāng)時，，故A錯誤.對于B，當(dāng)時，，故B錯誤.對于C，當(dāng)時，，故C正確.對于D，因為，令,，，故D錯誤.故選：C.9．已知A，B，C是單位圓上不同的三點，，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】畫出圖形，設(shè)出，，，，表達出，結(jié)合的范圍求出最小值.【詳解】如圖所示：不妨令，設(shè)，，由于，所以，則，因為，所以當(dāng)時，取得最小值，最小值為.故選：C10．在數(shù)列中，，若存在常數(shù)c，對任意的，都有成立，則正數(shù)k的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，可得用極限思想和數(shù)學(xué)歸納法的思想分析計算即可得到正數(shù)k的最大值.【詳解】因為，所以，所以，由于滿足上式，故當(dāng)時，有趨近于時，趨近于此時沒有最大值，故不滿足題意，舍去；所以，當(dāng)時，可證對任意的，都有，由題知，若存在常數(shù)c，對任意的，都有成立，則，以下進行證明：存在常數(shù)，對任意的，都有成立.當(dāng)時，，結(jié)論成立假設(shè)時結(jié)論成立，即則，則存在常數(shù)，對任意的，都有成立故正數(shù)k的最大值為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系和數(shù)列中參數(shù)最大值的求解，屬于難題，解題的關(guān)鍵是要把遞推關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解，結(jié)合數(shù)列中的極限思想和數(shù)學(xué)歸納法的思想進而求解問題.二、填空題11．展開式的常數(shù)項是___________.(用數(shù)字作答)【答案】24【分析】寫出展開式通項公式，確定常數(shù)項的項數(shù)后可得．【詳解】，，，常數(shù)項為．故答案為：24．12．若函數(shù)在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，則實數(shù)a的最大值為________【答案】【分析】化簡得到，結(jié)合的單調(diào)遞減區(qū)間得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因為,又因為在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)，且的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，即，所以實數(shù)a的最大值為，故答案為：.13．如圖，在棱長為a的正方體中，P，Q分別為的中點，點T在正方體的表面上運動，滿足．給出下列四個結(jié)論：①點T可以是棱的中點；②線段長度的最小值為；③點T的軌跡是矩形；④點T的軌跡圍成的多邊形的面積為．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．【答案】②③④【分析】以點為坐標原點建立空間直角坐標系，令正方體棱長可簡化計算，得到對應(yīng)點和向量的坐標，通過空間向量數(shù)量積的運算即可判斷對應(yīng)的垂直關(guān)系，通過計算和幾何關(guān)系得點的軌跡為四邊形EFGH，通過證明得到則點的軌跡為矩形EFGH，即可求解點T的軌跡圍成的多邊形的面積和線段長度的最小值，從而得到答案.【詳解】由題知，以點為坐標原點，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，令正方體棱長則，，，，，，，，，，設(shè)，對于①，當(dāng)點T為棱的中點時，，則，不滿足，所以點T不是棱的中點，故①錯誤.，因為所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，取，，，，連結(jié)，，，，則，，，即所以四邊形EFGH為矩形，因為，，所以，，又和為平面中的兩條相交直線，所以平面EFGH，又，，所以為EG的中點，則平面EFGH，為使，必有點平面EFGH，又點在正方體表面上運動，所以點的軌跡為四邊形EFGH，又，，所以，則點的軌跡為矩形EFGH，故③正確面積為，即，故④正確又因為，，，則，即，所以，點在正方體表面運動，則，解得，所以，結(jié)合點的軌跡為矩形EFGH，分類討論下列兩種可能取得最小值的情況當(dāng)，或時，，當(dāng)，或時，因為，所以當(dāng)，或時，取得最小值為，即，故②正確.綜上所述：正確結(jié)論的序號是②③④故答案為：②③④.【點睛】本題以正方體為載體，考查空間向量在立體幾何中的綜合運用和空間幾何關(guān)系的證明，屬于難題，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標系，設(shè)棱長為數(shù)值可簡化運算，通過空間向量即可證明和求解對應(yīng)項.三、雙空題14．已知等差數(shù)列的公差，且成等比數(shù)列，則__________；其前n項和的最大值為__________．【答案】

10【分析】由成等比數(shù)列列式求出公差,則通項公式可求;寫出等差數(shù)列的前n項和,由二次函數(shù)的對稱性求得取得最大值.【詳解】由成等比數(shù)列,得,解得.則；對稱軸方程為,或5時，取最大值，最大值為.故答案為：,1015．拋物線的準線l的方程為__________．若點P是拋物線C上的動點，l與y軸交于點A，則（O是坐標原點）的最大值為__________．【答案】

；

【分析】由定義直接求準線方程；由導(dǎo)數(shù)法求出拋物線過點A的切線方程，即可求得切線傾斜角，此時取最大值.【詳解】拋物線即的準線l的方程為；l與y軸交于點A，則有，則當(dāng)AP與拋物線相切時最大，設(shè)切點為，，∴切線方程為，切線過點A，則，解得.∴切線斜率為，即傾斜角為或，故的最大值為.故答案為：；.四、解答題16．在中，．(1)求；(2)若，求的最小值．【答案】(1)；(2)3.【分析】(1)由正弦定理可得，從而得，即可得；(2)由余弦定理可得，再由基本不等式即可求得的最小值.【詳解】（1）解：因為，所以，又因為，所以，即有，又因為，所以；（2）解：因為，，所以，當(dāng)時，等號成立，所以，故的最小值為：3.17．跳長繩是中國歷史悠久的運動，某中學(xué)高三年級舉行跳長繩比賽（該校高三年級共4個班），規(guī)定每班22人參加，其中2人搖繩，20人跳繩，在2分鐘內(nèi)跳繩個數(shù)超過120個的班級可獲得優(yōu)勝獎，跳繩個數(shù)最多的班級將獲得冠軍，為預(yù)測獲得優(yōu)勝獎的班級個數(shù)及冠軍得主，收集了高三年級各班訓(xùn)練時在2分鐘內(nèi)的跳繩個數(shù)，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：個）：高三（1）班：142，131，129，126，121，109，103，98，96，94；高三（2）班：137，126，116，108；高三（3）班：163，134，112，103；高三（4）班：158，132，130，127，110，106．假設(shè)用頻率估計概率，且高三年級各班在2分鐘內(nèi)的跳繩個數(shù)相互獨立．(1)估計高三（1）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎的概率；(2)用X表示此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎的班級個數(shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望；(3)在此次跳長繩比賽中，哪個班獲得冠軍的概率估計值最大？（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)高三（3）班【分析】（1）用古典概型概率計算公式即可求解.（2）分別記三（1）班、高三（2）班、高三（3）班、高三（4）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎為事件、、、,則、、，由題意得的取值為0,1,2,3,4，分別計算出對應(yīng)概率即可求解數(shù)學(xué)期望（3）高三（3）班：163，134，112，103的數(shù)據(jù)中163為最大數(shù)據(jù)且134為較大數(shù)據(jù)即可判斷.【詳解】（1）記高三（1）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎為事件.由題知高三（1）班在2分鐘內(nèi)的跳繩個數(shù)超過120個的有次，用頻率估計概率，估計高三（1）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎的概率為（2）分別記高三（2）班、高三（3）班、高三（4）班在此次跳長繩比賽中獲得優(yōu)勝獎為事件、、,則、、，由題意得的取值為0,1,2,3,4所以則的分布列如下表01234所以（3）在此次跳長繩比賽中，高三（3）班獲得冠軍的概率估計值最大18．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，E，F(xiàn)分別為的中點．(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角的余弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)證明見解析(2)，詳情見解析【分析】(1)設(shè)中點為，連接，由三角形中位線性質(zhì)可得，且從而可得四邊形為平行四邊形，再由即可證得平面；(2)按照條件①、條件②的不同，分別作出圖形和輔助線，利用已知條件求出的長，以及證得平面，再建立空間直角坐標系，用空間向量法求二面角的余弦值．【詳解】（1）如圖（1），設(shè)中點為，連接，底面為正方形，E，F(xiàn)分別為的中點．，且，而又，,且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）選條件①：連結(jié),過作交于點，又因為，所以點也是中點，連結(jié)，，為的中點，則,又底面為正方形，,，,在中，,平面平面，平面平面，平面，如圖（2）以為原點，所在直線分別作軸，軸，軸，建立空間直角坐標系,則，,,平面，是平面的一個法向量，;設(shè)平面的一個法向量為，則有，令,則，；.故二面角的余弦值為．選擇條件②：取的中點為，連結(jié),又平面平面，平面平面，平面，過作交于點，連結(jié),又是中點，所以點也是中點，平面，平面,,設(shè)，則,，,，，，，故在中，,即，解得，即，如圖（3）以為原點，所在直線分別作軸，軸，軸，建立空間直角坐標系,則，,,平面，是平面的一個法向量，;設(shè)平面的一個法向量為，則有，令,則，；.故二面角的余弦值為．19．已知橢圓的右頂點，P為橢圓C上的動點，且點P不在x軸上，O是坐標原點，面積的最大值為1．(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)過點的直線與橢圓C交于另一點Q，直線分別與y軸相交于點E，F(xiàn)．當(dāng)時，求直線的方程．【答案】(1),(2)或【分析】(1)由橢圓的右頂點可得，若要面積最大，則需最長，此時點P在軸上，面積可得，從而求得橢圓C的方程，再由可求得，從而可得離心率；(2)設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立方程組可解得一元二次方程，從而可得出韋達定理的表達式，再通過直線，的方程得出點E，F(xiàn)坐標，進而表達出，從而可解得，求得直線的方程.【詳解】（1）橢圓，，，P為橢圓C上的動點，且點P不在x軸上，O是坐標原點，過點P作軸，垂足為，故面積為，若要面積最大，則需最長，此時點P在軸上，即時，使得面積最大，,,.橢圓C的方程為，離心率為.（2）P為橢圓C上的動點，過點的直線與橢圓C交于另一點Q，可記，，當(dāng)直線的斜率不存在時，即軸時，，此時直線分別與y軸相交于點E，F(xiàn)．此時，不符合題意.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，消去可得,化簡得，由韋達定理可得，所以，由，，，則直線的方程為：，直線的方程為：，因為直線分別與y軸相交于點E，F(xiàn)，令分別代入直線,直線可得：點，，又，在直線方程上，所以有，分別代入并化簡可得，，，則，解得，，故直線的方程為：或，即或.20．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對恒成立，求a的取值范圍；(3)若，證明：．【答案】(1)時單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號確定單調(diào)區(qū)間；（2）運用參數(shù)分離的方法，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，計算函數(shù)最大值即可；（3）作圖，根據(jù)函數(shù)圖像確定的范圍，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明.【詳解】（1），顯然有，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；（2）由得：，，令，則有，令，顯然是減函數(shù)，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減；，a的取值范圍是；（3）當(dāng)時，，由（1）的結(jié)論作函數(shù)圖像如下：，對于，得，不妨設(shè)，則有，由圖可知當(dāng)時，對應(yīng)的自變量有2個值，