2023屆云南省部分學(xué)校高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】根據(jù)并集的知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意，所以，所以，共個(gè)元素.故選：C2．（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.【詳解】.故選：C.3．下列坐標(biāo)所表示的點(diǎn)是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦函數(shù)的對(duì)稱中心為，可得，解之即可.【詳解】因?yàn)檎液瘮?shù)的對(duì)稱中心為，所以令，解得：，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱中心為，即A是對(duì)稱中心，其它各項(xiàng)均不是對(duì)稱中心.故選：.4．已知三個(gè)單位向量滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，設(shè)與所成的角為，則有，根據(jù)求解即可.【詳解】解：由題意可得，又因?yàn)?，所以，設(shè)與所成的角為，則，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以的最小值?故選：B.5．某市場(chǎng)供應(yīng)的電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占，乙廠產(chǎn)品占，甲廠產(chǎn)品的合格率是，乙廠產(chǎn)品的合格率是．若從該市場(chǎng)供應(yīng)的電子產(chǎn)品中任意購買一件電子產(chǎn)品，則該產(chǎn)品不是合格品的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用條件概率和事件的獨(dú)立性求解概率.【詳解】設(shè)表示買到的產(chǎn)品來自甲，乙廠，表示買到的產(chǎn)品為合格品，則,所以,所以該產(chǎn)品不是合格品的概率為，故選:C.6．已知，，且，則的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】由得，巧用常數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.故選：C.7．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線經(jīng)過且與左支交于兩點(diǎn)，在以為直徑的圓上，，則的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題不妨令，得，又，，得，再由，得，即可解決.【詳解】如圖，由題知，，因?yàn)?，不妨令，所以，因?yàn)橛呻p曲線的定義得，,所以,所以，所以，所以在直角中，，即，所以，所以雙曲線的離心率為.故選：B8．已知，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算，化簡(jiǎn)可得出，根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【詳解】由已知可得，，，.所以，.故選：A.二、多選題9．已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且為鈍角（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則b的取值可以是（

）A．5 B．6 C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)已知可得，.由可得，，進(jìn)而代入點(diǎn)到直線的距離公式可得.又，即可得出答案.【詳解】由已知可得，圓心為，半徑.在中，由余弦定理知，所以有，所以.設(shè)圓心到直線的距離為，又，所以有，所以有，即，即.又直線不過圓心，所以，所以的取值范圍為且.故選：AD.10．下列命題為真命題的是（

）A．展開式的常數(shù)項(xiàng)為20 B．被7除余1C．展開式的第二項(xiàng)為 D．被63除余1【答案】BCD【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及二項(xiàng)式定理即可求解.【詳解】對(duì)于A，的展開式的通項(xiàng)為.令，解得，所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因?yàn)槎际堑谋稊?shù)，所以是的倍數(shù)，所以被7除余1，故B正確；對(duì)于C，的展開式的第二項(xiàng)為，故C正確；對(duì)于D，，因?yàn)槎际堑谋稊?shù)，所以是63的倍數(shù)，所以被63除余1，故D正確.故選：BCD.11．已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù) B．當(dāng)時(shí)，C．的最大值是1 D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】BCD【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷A，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系判斷B，換元法，利用單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求最大值判斷C,根據(jù)對(duì)稱軸的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A,不恒成立，所以不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，令，則，所以，所以原函數(shù)可換元為，，令解得，令解得或，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，所以函數(shù)的最大值為，故C正確；對(duì)于D，，，因?yàn)樗?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確，故選：BCD.12．如圖，在棱長為2的正方體中，E是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N滿足，其中，則（

）A．存在，使得B．的最小值為C．當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為D．當(dāng)時(shí)，過E，M，N三點(diǎn)的平面截正方體得到的截面多邊形面積為【答案】BCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法對(duì)ABC選項(xiàng)進(jìn)行分析，通過畫正方體的截面判斷D選項(xiàng)的正確性，從而確定正確答案.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，,所以即，即，，，由于，所以，所以不存在，使得，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.，,所以當(dāng)即時(shí)，取得最小值為，B選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，,，設(shè)平面的法向量為，則，取，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以C選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，是的中點(diǎn)，是上靠近的三等分點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知三點(diǎn)共線.連接并延長，交于，則，過作，交于，連接并延長，交于，則，連接，則，所以四邊形是平行四邊形，再根據(jù)正方體的性質(zhì)可知四邊形是矩形，所以E，M，N三點(diǎn)的平面截正方體得到的截面多邊形為矩形，，所以截面多邊形的面積為，D選項(xiàng)正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作截面的三種方法:①直接法:截面的定點(diǎn)在幾何體的棱上；②平行線法:截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個(gè)面平行；③延長交線得交點(diǎn):截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一平面上三、填空題13．若甲、乙兩個(gè)圓柱形容器的容積相等，且甲、乙兩個(gè)圓柱形的容器內(nèi)部底面半徑的比值為2，則甲、乙兩個(gè)圓柱形容器內(nèi)部的高度的比值為____________．【答案】##【分析】根據(jù)體積相等列方程，由此求得高度比.【詳解】設(shè)甲的底面半徑為，則乙的底面半徑為，設(shè)甲的高為，乙的高為，依題意，，所以.故答案為：14．若一個(gè)等差數(shù)列至少存在兩項(xiàng)為質(zhì)數(shù)，則稱該數(shù)列為K數(shù)列．已知等差數(shù)列的公差為4，且為K數(shù)列，寫出滿足題意的的一個(gè)值：____________．【答案】7（答案不唯一）【分析】根據(jù)等差數(shù)列及K數(shù)列定義，取差值為4的整數(shù)倍的兩質(zhì)數(shù)作為其中兩項(xiàng)即可取得.【詳解】同為等差數(shù)列及K數(shù)列，公差為4，由K數(shù)列的定義可得，數(shù)列有至少兩質(zhì)數(shù)項(xiàng)，差值為4的整數(shù)倍，如可取質(zhì)數(shù)7、11作為其中兩項(xiàng)，此時(shí)該數(shù)列取即可.故答案為：7（答案不唯一）15．函數(shù)的最小值為_______________．【答案】##0.5【分析】對(duì)函數(shù)變形后，利用基本不等式求出最小值.【詳解】定義域?yàn)椋驗(yàn)?，由基本不等式可得：，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出與，可知，使得，故的最小值為.故答案為：四、雙空題16．直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，則____________，____________．【答案】

4

【分析】根據(jù)點(diǎn)在直線上可求，再利用拋物線的定義即可求得弦長.【詳解】由題可得所以拋物線的焦點(diǎn)為，所以解得，所以直線方程為設(shè)，聯(lián)立化簡(jiǎn)得，所以，則，故答案為:；.五、解答題17．a(chǎn)，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．已知．(1)求C；(2)若c是a，b的等比中項(xiàng)，且的周長為6，求外接圓的半徑．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正弦定理，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦定理、余弦定理，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理，由，因?yàn)椋?，于是由，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)閏是a，b的等比中項(xiàng)，所以，因?yàn)榈闹荛L為6，所以，由余弦定理可知：，或舍去，所以外接圓的半徑為.18．某加工工廠加工產(chǎn)品A，現(xiàn)根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研收集到需加工量X（單位：千件）與加工單價(jià)Y（單位：元/件）的四組數(shù)據(jù)如下表所示：X681012Y12m64根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到Y(jié)關(guān)于X的線性回歸方程為，其中．(1)若某公司產(chǎn)品A需加工量為1.1萬件，估計(jì)該公司需要給該加工工廠多少加工費(fèi)；(2)通過計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)，判斷Y與X是否高度線性相關(guān)．參考公式：

，時(shí)，兩個(gè)相關(guān)變量之間高度線性相關(guān)．【答案】(1)該公司需要給該加工工廠57200元加工費(fèi).(2)Y與X高度線性相關(guān).【分析】（1）由線性回歸直線方程必過，代入方程與已知聯(lián)立可得與m的值，進(jìn)而求得回歸方程，代入可得單價(jià)，由總加工費(fèi)等于單價(jià)乘以件數(shù)可得結(jié)果.（2）計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)r，比較與0.9可得結(jié)果.【詳解】（1）∵，，則，又∵∴，，∴，∵1.1萬=11千，∴當(dāng)時(shí)，（元），∴（元），答：估計(jì)該公司需要給該加工工廠57200元加工費(fèi).（2）由（1）知，，，，∴∴，∴兩個(gè)相關(guān)變量之間高度線性相關(guān).19．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為矩形，點(diǎn)F在棱上，且P與E位于平面的兩側(cè)．(1)證明：平面．(2)若，且在上的投影向量為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)先證明面面平行，進(jìn)而可證明線面平行；(2)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解面面夾角的余弦值.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，平?平面,所以平面,又因?yàn)榈酌鏋榫匦危?平面,平面,所以平面,且平面,所以平面平面,又因?yàn)槠矫?所以平面.（2）因?yàn)槠矫嫫矫嫠郧?所以以為軸建系如圖，則,設(shè),因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛椋c的同向單位向量為，所以為在上的投影為，即解得，所以，且,設(shè)平面的法向量為，所以令，所以，設(shè)平面的法向量為，所以令，所以，，因?yàn)槠矫媾c平面夾角為鈍角，所以平面與平面夾角的余弦值為.20．在數(shù)列中，，．(1)證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)證明過程見詳解；(2)證明過程見詳解【分析】（1）將的左右兩邊都減去3，即可得到通項(xiàng)公式，從而得到的通項(xiàng)公式；（2）結(jié)合（1），利用分組求和法和裂項(xiàng)相消法即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：依題意可得，又，則,故，所以是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即結(jié)論得證；則，所以；（2）解：結(jié)合（1）可得，則，故結(jié)論得證．21．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線的距離是P到點(diǎn)距離的2倍，點(diǎn)P的軌跡記為C．(1)證明：存在點(diǎn)，使得為定值．(2)過點(diǎn)F且斜率的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，M，N為x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，，若，求k．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）設(shè)，根據(jù)已知可推出點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓，根據(jù)橢圓的定義找到定點(diǎn)，給出證明；（2）根據(jù)已知可得，，進(jìn)而根據(jù)斜率以及勾股定理可推得，.聯(lián)立直線與橢圓的方程，求得，進(jìn)而整理得到關(guān)于的方程，解方程即可得出.【詳解】（1）證明：設(shè)點(diǎn)，由已知可得，整理可得.所以點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓，，，，且橢圓的焦點(diǎn)為，，即是橢圓的右焦點(diǎn)，取，根據(jù)橢圓的定義可知，.所以，存在點(diǎn)，使得為定值4．（2）因?yàn)?，，所以?如圖，在中，，所以，又，即，所以.同理可得，，所以，即.又，所以.設(shè)，，直線的方程為聯(lián)立直線與橢圓的方程可得，.恒成立，且，則，又，即，整理可得，又，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.22．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）求出定義域，.對(duì)與0的關(guān)系以及與0的關(guān)系進(jìn)行討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）由已知得，.令，由已知可推得，解不等式即可得出.然后由，根據(jù)函數(shù)的連續(xù)性，證明是函數(shù)的極小值點(diǎn)即可.【詳解】（1）解：，定義域?yàn)椋?（ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，恒成立.解可得，（舍去），.當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞增；（ⅲ）當(dāng)時(shí)，令，.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，即恒成立，所以在上單調(diào)遞減；②當(dāng)，即時(shí)，解可得，（舍去），（舍去）.所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由已知可得，，.顯然，令.①因?yàn)槭呛瘮?shù)的極小值點(diǎn)，所以，，，