2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試福建省數學考試說明

（理科?課程標準實驗版）

目錄

I.命題指導思想.............................................................2

n.考試形式與試卷結構.......................................................5

一、考試形式.............................................................5

二、試卷結構.............................................................5

三、關于考試形式與試卷結構的說明.........................................5

m.考試目標與要求...........................................................7

一、知識要求.............................................................7

二、能力要求.............................................................8

三、數學思想方法........................................................29

四、個性品質要求........................................................41

IV.考試內容..............................................................41

一、考試內容及要求......................................................41

二、若干問題的說明......................................................55

V.參考試卷...............................................................69

I.命題指導思想

普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試，是由合格的高中畢業(yè)生和具有同等學力的考生參加的選拔

性考試.2009年福建省高考數學（理科）的命題應以教育部頒布的《普通高中數學課程標準（實

驗》、《2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱（課程標準實驗版?理科數學）》、《福建省

普通高中新課程教學要求（數學）》為指導，以《2009年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試福建省

數學考試說明》（理科?課程標準實驗版）為依據，并結合我省普通高中數學教學的實際進行.命

題應有利于高?？茖W公正地選拔人才，有利于推進普通高中新課程，實施素質教育.命題應體現

《普通高中數學課程標準（實驗）》的理念，體現對知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值

觀等目標的要求，堅持能力立意，注重考查數學基礎知識、基本技能和基本思想，著重考查考生

的數學素養(yǎng)和對數學木質的理解水平，以及進入高等學校繼續(xù)學習的潛能.命題應遵循以下命題

原則：

一、貫徹新課程理念，促進素質教育的有效實施

命題要立足于《普通高中數學課程標準（實驗）》，體現普通高中新課程的理念，準確理解

和把握新課程標準的內涵與要求，考查對基礎知識、基本技能的掌握程度和運用所學知識分析問

題、解決問題的能力.重視數學素養(yǎng)的考查，關注科學技術和社會經濟的發(fā)展，注重時代性和實

踐性，有利于高?？茖W公正地選拔人才；有利于激發(fā)學生學習數學的興趣，促進素質教育的實施;

有利于促進學生學習方式的轉變，發(fā)揮高考命題對中學數學教學的正確導向作用，扎實推進我省

普通高中新課程的順利實施.

二、強化基礎知識，注重試卷的整體設計

考查考生對基礎知識的掌握程度，是數學高考的重要目標之一,對數學基礎知識的考查，

要求既全面，又突出重點.對于支撐數學知識體系的主干知識——函數與導數、數列、三角函數、

立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計，要占有較大的比例，構成數學試卷的主體.對數學知識的考

查要求全面，但不刻意追求知識點的百分比、知識內容的覆蓋面，而是強調試題的綜合性，注重

學科的內在聯系和知識的綜合.

高考命題應從學科整體意義的高度去考慮問題，強調知識之間的交叉、滲透和綜合，體現

綜合性，以檢驗考生是否具備一個有序的網絡化的知識體系，并能從中提取相關的信息，有效、

靈活地解決問題.命題應繼承和發(fā)揚我省白行命題的成果和經驗，在保持整體穩(wěn)定的前提下，適

度創(chuàng)新，注重試題的多樣性和選擇性.命題應科學設置探究性和開放性試題，體現對不同層次的

考生的選拔.命題應合理分配必考、選考內容的比例，既考查考生的共同基礎，又滿足不同考生

的選擇需求.對選考內容的命題應做到各選考專題的試題分值相等，難度基本等值.試卷應具有

較高的信度、效度和必要的區(qū)分度以及適當的難度.

鑒于我省新課程教材使用的多樣性，命題務必充分體現公平性，試題必須適用于不同版本

的教材.試題可以是取材于教材或課外參考資料中經過實質性改造后的問題，但切忌照搬任何教

材或課外參考資料的原題或未經實質性改造過的題目.所設置的試題，特別是區(qū)分學生學習能力

的把關試題應當關注解法的多樣性，充分尊重學生在學習數學方面的差異，力求使得不同思維方

式、思維層次的學生都能得到科學的評價.整份試卷的設計應合理，注重整體效應.

三、淡化特殊技巧，強調數學思想和方法

數學思想和方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵在數學知識發(fā)生、發(fā)展和

應用的過程中.因此，對于數學思想和方法的考查必然要與數學知識的考查結合進行，通過對數

學知識的考查，反映考生對數學思想、方法的理解和掌握程度.考查時，要從學科整體意義和思

想含義上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測考生對中學數學知識中所蘊涵的數學

思想和方法的掌握程度.

一般認為，中學數學基本思想是指滲透在中學數學知識與方法中具有普遍適應性的本質思

想.中學數學涉及的數學思想主要有：函數與方程思想，數形結合思想，分類與整合思想，化歸

與轉化思想，特殊與一般思想，有限與無限思想，或然與必然思想等.數學基本方法主要有：待

定系數法、換元法、配方法、割補法等.數學邏輯方法或思維方法主要有：分析與綜合、歸納與

演繹、比較與類比、具體與抽象等.它們是理解、思考、分析與解決數學問題的普通方法，對數

學思想和方法的考查要結合數學知識多層次進行.

四、強調能力立意，突出分析和解決問題能力

“以能力立意命題”是數學的學科特點和考試H標所決定的.高考數學科考試的重點是考查

運用知識分析問題和解決問題的能力，因此命題中應盡量避免編制刻板、繁難和偏怪的試題，避

免編制死記硬背的內容和繁瑣計算的試題，力圖通過數學科的考試，不僅考查考生數學知識的積

累是否達到進入高等學校學習的基本水平，而且要以數學知識為載體，測量考生將知識遷移到不

同情境的能力，從而檢測考生已有的和潛在的學習能力.命題應突出能力立意，對知識的考查側

重于理解和應用，力求突破固定的解答模式，要求考生抓住問題的實質，對試題提供的信息進行

合理地分檢、組合、加工，尋找解決問題的辦法.

高考對能力的考查，應以抽象概括能力、推理論證能力為重點，全面考查各種能力，強調綜

合性、應用性，切合考生實際.運算求解能力是推理論證能力和運算技能的結合，它包括數的運

算、式的運算；包括精算、近似計算與估算.對考生運算求解能力的考查主要是以含字母的式的

運算為主，同時要兼顧對算理和推理論證能力的考查.空間想像能力是對空間形式的觀察、分析、

抽象的能力，圖形的處理與圖形的變換都要注意與推理相結合.數據處理能力主要是指能對收集

到的相關數據，采用適當的方法進行整理、歸納、分析、解決問題.分析問題和解決問題的能力

是上述幾種基本數學能力的綜合體現，對數學能力的考查要以數學基礎知識、數學思想和方法為

基礎，加強思維品質的考查.

五、強化應用意識，關注應用能力

加強應用意識的培養(yǎng)與考查是時代的需要，是教育改革的需要，同時也是數學科的特點所決

定的.應用性問題主要是考查數學知識的實際應用.應用題的設計應貼近生活，聯系實際，具有

強烈的現實意義.

應用問題考查的重點是客觀事物的數學化，這個過程主要是依據現實的生活背景，提煉相關

的數量關系，構造數學模型，將現實問題轉化為數學問題，并加以解決.命題時要堅持“貼近生

活，背景公平，控制難度”的原則，要把握好提出問題所涉及的數學知識和方法的深度和廣度，

要切合我省中學數學教學的實際，讓數學應用問題的難度更加符合考生的水平，引導考生自覺地

置身于現實社會的大環(huán)境，關心自己身邊的數學問題，促使學生在學習和實踐中形成和發(fā)展數學

應用的意識.

六、提倡開放探索，關注創(chuàng)新意識

高考作為選拔性考試，應該偏重于能力測驗，特別是能力傾向測驗，適當考查考生在未來的

學習或工作中是否具有創(chuàng)新意識.因此，高考中可適當設置開放性、探索性試題，考查創(chuàng)新意識

和探究精神.考查創(chuàng)新意識的問題應立足于中學數學，以中學數學的基礎知識為基本素材，考查

學生創(chuàng)造性地應用知識分析問題、解決問題的能力.

考查創(chuàng)新意識的創(chuàng)新性試題可重點體現在情景、設問等方面.在設計考查創(chuàng)新意識的試題時，

一方面，要積極探索，大膽實踐；另一方面，應進一步研究試題的穩(wěn)定性與創(chuàng)新性的關系，處理

好試題創(chuàng)新與試題難度的關系，做到“新題不難、不怪

七、體現層次要求，控制試卷難度

高考在考試目的、考試性質、考試內容和考試要求方面均不同于數學競賽和普通高中學生

學業(yè)基礎會考.高考是要選拔部分合格高中畢業(yè)生升入高等院校深造，命題時應以知識為基礎，

多層次、多角度考查各種能力，試卷難度要適中，既要使一般考生都能得到基本分，乂要使優(yōu)秀

學生的水平得以充分顯現.根據我省高考的實際情況，整卷難度值應控制在0.6左右.試卷中各

個試題的難度值一般控制在0.2?0.8之間，整份試卷中各種難度的試題分數的分布也應該適

當.每種題型中都應編擬一些較易試題，使大部分考生都能得到一定的基本分；每種題型中也應

編擬一些有一定難度的試題，以實現選拔的目的.

II.考試形式與試卷結構

一、考試形式

考試采用閉卷、筆試形式.考試時間為120分鐘，全卷滿分150分，考試不使用計算器.

二、試卷結構

考試內容包括必考內容和選考內容兩部分.

必考內容為《普通高中數學課程標準（實驗）》的必修課程和選修課程系列2的內容.選考

內容為《普通高中數學課程標準（實驗）》的選修課程系列4的4-2《矩陣與變換》、4-4《坐標系

與參數方程》、4-5《不等式選講》等三個專題的內容.

試卷包括第I卷和第11卷兩部分，第I卷為10個選擇題，全部為必考內容；第11卷為非選

擇題，分為必考和選考兩部分，必考部分由5個填空題和5個解答題組成；選考部分安排在第

21題，作為解答題出現，由選修課程系列4的4-2《矩陣與變換、4-4《坐標系與參數方程》、

4-5《不等式選講》等三個專題各命制1小題，考生從3小題中任選2小題作答，如果多做，則

按所做的前兩小題記分.

選擇題共10題，每題5分，共計50分；填空題共5題，每題4分，共計20分；解答題共

6題，其中必考題5題，選考1題（包含3小題，每小題7分，考生從中任選2小題作答，滿分

14分），共計80分.

選擇題為四選?型的單項選擇題；填空題只要求直接填寫結果，不必寫出計算過程或推證

過程；解答題包括計算題、證明題和應用題等，解答題應寫出文字說明、演算步驟或推證過程.

試卷應由容易題、中等題和難題組成，難度值在0.7以上的試題為容易題，難度值在0.4?0.7

的試題為中等題，難度值在0.4以下的試題為難題，易、中、難試題的比例約為4：4：2,全卷

難度值控制在0.6左右.

三、關于考試形式與試卷結構的說明

1.注重試卷整體設計，發(fā)揮結構效應

為發(fā)揮學科特點，體現高考的選拔功能，發(fā)揮整份試卷的區(qū)分作用，命題應注重試卷的整

體設計.試卷的好壞取決于整張試卷產生的效應，而不僅僅是個別試題產生的效應，因此設計一

價好的試卷不僅要編制好的試題，而且要注意試卷的整體結構，發(fā)揮整體效應.

試卷應兼顧數學知識和能力等方面，要有合理的知識結構和能力層次結構.知識結構是指

試卷中包含學科各部分知識的比例，在編制雙向細目表時，應根據各部分內容的教學時數和高考

對考生知識結構的要求，綜合平衡試卷中各部分知識內容的分值比例.試卷對能力要求的層次和

比例，反映著考查的性質和要求.在高考中，應既考查數學能力，又考查一般認識能力，如觀察

力、注意力、記憶力等.由于新課程高考考試目標還包括基本數學方法以及按照一定程序與步驟

進行運算、處理數據，繪制圖表等基本技能的內容，因此還應注意結合各項知識考查數學方法與

技能.將數學知識和能力有機結合，并融入具體試題，以便有效地全面檢測考生的素質和潛能.同

時應使試題編排合理，體現人性化和選拔功能的和諧統(tǒng)一.

2.合理確定試題梯度，體現試卷較好的區(qū)分度

根據我省高中發(fā)展和高校招生的實際情況，確定本學科試卷難度值為0.6左右.為使考生產

生良好的心理效應，應充分發(fā)揮各種題型的功能.試卷中必考內容的難度按兩級坡度設計，整卷

是一個大坡度，而每種題型由易到難又是一個坡度.各種題型中起點試題的難度都應比較低，特

別是在選擇題部分，起點題水平應相當于普通高中學生學業(yè)基礎會考的水平，其目的是測量全體

考生對基礎知識的掌握情況,為教學評價提供參考.選擇題最后幾題的備選項應有較大的迷惑性,

以此來區(qū)分考生對基礎知識掌握的深度和熟練運用的程度.解答題變一題把關為多題把關，解答

題中必考部分的最后兩題應分別考查不同的內容并設置一定的關卡，區(qū)分考生綜合和靈活運用數

學知識分析問題、解決問題的能力.由于選修課程系列4中的《矩陣與變換》、《坐標系與參數方

程》、《不等式選講》是我省第一次作為選考內容進入高考試卷，應注意與實際教學相適應，控制

好難度.難度定位為中等偏易.同時各選考專題的試題的分值應相等，并力求做到難度基本等值,

體現考試的公平性.

在命題中應適當控制新穎試題的比例，要充分估計考生對試題的適應程度，有效地控制整卷

難度，避免因為考生對新穎試題的不適應而導致發(fā)揮失常.同時還應控制試題的綜合程度，適當

降低起點試題的難度.試題的表述應注意運用考生熟悉的語言和表述方式，同時采用文字語言、

圖表、數學符號等多種數學語言，簡明直觀，有利于考生的閱讀理解；試題背景應貼近考生的生

活實際，讓考生處于一個較為平和、熟悉的環(huán)境中，增強解題信心.要控制計算量，避免繁瑣運

算，一些貌似有較長運算過程的試題要有不同的解題思維層次，以保證考生有較多的時間和精力

思考問題.

3.發(fā)揮各種題型的功能，充分體現新課程理念

今年的高考是我省實施普通高中新課程的首次高考，試題應體現新課程理念，在命題時應

當注意教材的多樣性，講究取材，以確保試題的公平性.應適當顧及新增課程內容在試卷中的比

例，重視“探究”與“思考”問題，讓新課程中“倡導積極主動、勇于探索的學習方式和注重提

高學生的數學思維能力”等基本理念得到有效落實.

從考查目標來看，高考強調在考查知識的基礎上考查能力，因此需要一定數量的選擇題和

填空題以考查基礎知識和基本技能，提高知識考查的覆蓋面，考查考生敏銳地捕捉題設信息，迅

捷地尋找合理的解題途徑的解決問題能力，同時也增加考試的信度和效度.

解答題包括計算題、證明題和應用題等，能比較全面地反映考生學科智力水平，展示其分

析數學問題、綜合運用數學知識進行邏輯思維的過程，適合對發(fā)散、綜合以及推理運算、文字表

達等高層次能力的考查.

4.合理控制卷面字數和計算量

卷面字數指卷面印刷符號數量和考生答卷書寫字符的總和.為使考生能盡快、無誤地獲取

信息，題目敘述應簡單明了，字母、符號、標點等都應正確運用并發(fā)揮其作用，在文字語言不能

簡明敘述或不能清楚表達時，應注意各種符號和圖形的運用，減少生活語言對數學語言的干擾，

合理控制卷面字數.高考應以考查能力、檢測素養(yǎng)為主，試題應盡量避免繁、難的運算，控制各

題的計算量，排除由于計算過多過繁造成耗時較多，或由計算錯誤而造成全題失分的現象，以便

更好地考查考生的各種能力.

數學試卷全卷的計算量一直是高考命題研究的重要問題，而計算量的大小是和全卷的工作

量的大小密切相關的.實際上，控制全卷工作量的大小主要是由高考的性質決定的，一般來說應

以50%的考生在110分鐘內能完成全卷的解答為標準.這里所謂完成，不含復核時間，由于數

學試題往往存在一題多解、計算量相差懸殊的現象，同一道試題不同的解題思路會反映出不同的

能力層次，考生實際計算量的大小往往反映出考生能力水平的差異.計算量的估計應以―一般通用

解法為準.

III.考試目標與要求

一、知識要求

知識是指《普通高中數學課程標準（實驗）》所規(guī)定的必修課程、選修課程系列2和系列4

的4-2《矩陣與變換》、4-4《坐標系與參數方程》、4-5《不等式選講》中的數學概念、性質、法

則、公式、公理、定理以及由其內容反映的數學思想方法，還包括按照一定程序與步驟進行運算、

處理數據、繪制圖表等基本技能.

對知識的要求由低到高分為三個層次，依次是了解、理解、掌握，且高一級的層次要求包括

低一級的層次要求.

1.了解：要求對所列知識的含義有初步的、感性的認識，知道這一知識內容是什么，按照

一定的程序和步驟照樣模仿，并能（或會）在有關的問題中識別和認識它.

這一層次所涉及的主要行為動詞有：了解，知道、識別，模仿，會求、會解等.

2.理解：要求對所列知識內容有較深刻的理性認識，知道知識間的邏輯關系，能夠對所列

知識作正確的描述說明并用數學語言表達，能夠利用所學的知識內容對有關問題進行比較、判斷、

討論，具備利用所學知識解決簡單問題的能力.

這一層次所涉及的主要行為動詞有：理解，描述，說明，表達，推測、想像，比較、判別，

初步應用等.

3.掌握：要求能夠對所列知識內容進行推導證明，能夠利用所學知識對問題進行分析、研

究、討論，并且加以解決.

這一層次所涉及的主要行為動詞有：掌握、導出、分析，推導、證明，研究、討論、運用、

解決問題等.

二、能力要求

高考的目的和性質決定了它不僅要對考生的學科知識和具體技能進行考核，而且要對考生所

學習的知識的內在聯系、基本規(guī)律及方法的理解程度和應用程度進行考查.數學科的考試，按照

“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導思想.試題包括立意、

情境和設問三個方面.以能力立意命題，就是首先確定試題在能力方面的考查目的，然后根據能

力考查的要求，選擇適宜的考查內容，設計恰當的設問方式.根據以能力立意命題的指導思想，

命題應把具有發(fā)展能力價值、富有發(fā)展?jié)摿?、再生性強的能力、方法和知識作為切入點，從測量

學生的發(fā)展性學力和創(chuàng)造性學力著手進行，突出能力考查，發(fā)揮數學科考試的區(qū)分選拔功能和對

中學數學教學的積極的導向作用.

能力是指空間想像能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力以及

應用意識和創(chuàng)新意識.

1.空間想像能力

空間想像能力：能根據條件作出正確的圖形，根據圖形想像出直觀形象；能正確地分析出圖

形中基本元素及其相互關系；能對圖形進行分解、組合；會運用圖形與圖表等手段形象地揭示問

題的本質.

空間想像能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力，主要表現為識圖、畫圖和對圖形

的想像能力.識圖是指觀察研究所給圖形中幾何元素之間的相互關系；畫圖是指將文字語言和符

號語言轉化為圖形語言，以及對圖形添加輔助圖形或對圖形進行各種變換.對圖形的想像主要包

括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空間想像能力高層次的標志.對圖形的想像，是指能根據圖形想

像出空間圖形直觀形象，包括對空間基本圖形的識記、再現和思考；能從復雜的圖形中區(qū)分出基

本的圖形，正確地分析出圖形中基本元素及其相互關系.

立體幾何是考查空間想像能力的主要載體，立體幾何問題的解法一般有幾何法與代數法兩

種，它們從不同的角度解決立體兒何問題.向量具有兒何形式和代數形式的“雙重身份”，是聯系

幾何與代數的橋梁.用空間向量處理空間問題，空間元素間的位置關系轉化為數量關系，形式邏

輯證明轉化為數值計算.由于思路清晰，降低了思維的難度，因此空間向量就成為處理空間問題的

重要方法.

下面從識圖與畫圖的結合、概念與推理的結合、對圖形的處理等三個方面進行討論.

（1）識圖與畫圖的結合.在立體幾何中，強調對空間圖形的整體認識和把握，從實物到圖

形，從三視圖、直觀圖想像空間幾何體，再從空間幾何體的整體來把握直線與直線、直線與平面、

平面與平面的位置關系，因此識別圖形就相當重要了.一方面，對基本的幾何圖形（平面或立體）

要非常熟悉，能正確畫圖；另一方面，能正確識別圖形，了解三視圖和直觀圖的關系，分析兒何

圖形中各元素在空間中的形狀、大小和位置關系，突破習慣看

平面圖形的思維定勢.

【例1】（2007年高考海南與寧夏卷?理）f?—20—20—?1

正視圖側視圖

已知某個幾何體的三視圖如卜，根據圖中標出的尺寸（單

位：cm）,可得這個幾何體的體積是

400038000③

A.-----cmB.-----cm

33￡12Q一廠

俯視圖

C.2000cm3D.4000cm3

本題以幾何體的三視圖為載體，考查空間想像能力.由題目給出的三視圖，通過想像，可得

出幾何體是四棱錐，其底面是邊長為20cm的正方形，高是20cm,故求出幾何體的體積是

80003、“

--------cm.選B.

3

能根據給出的三視圖，通過畫圖、分析，想像出空間幾何體，并找出兩者的聯系，是解題的

關鍵.

（2）概念與推理的結合.概念是抽象思維與邏輯思維的基本形式、基本元素.立體幾何是通過

概念、公理來演繹的，對概念的理解是解題的基礎.因此，考生要理解概念的木質，能夠根據概

念畫出圖形，借助圖形來思考，分解出解題所需要的要素，從而進行推理和運算.

在考題中，一般只給出最簡單的圖形及最基本的條件.在解答時，考生需要以此為依托，根

據定義和性質畫出所需要的線、面、角等幾何要素，對照圖形，將概念、性質靈活應用于圖形.

【例2】（2007年高考四川卷?理）

如圖，ABCC-A向G0為正方體，下面結論車苜堡的是

人.3?！ㄆ矫妗?|。|B.AC|_L8O

C.4C」平面CBQiD.異面直線A。與C&所成的角為60。

本題依托正方體，通過考查有關線面平行、垂直的判定，線線垂直與線線成角的概念，考

查空間想像能力與推理論證能力.VBDHB.D,,：.80〃平面CBS,A成立；

vBDlffl4CC,AACi±BD,B成立;ACt1AC,1BtC,平面,C成

立；異面直線AD與CBi所成的角轉化為BC與CB｛所成的角，而BC與CB,所成的角為45。,故

。錯誤.選D.

（3）對圖形的處理.為了使解題過程變得直觀、簡捷，我們常常需要對圖形進行適當的構

造與處理.對圖形常見的處理有：分割、補形、展開、平移和對稱；添加輔助線、輔助面；將立

體幾何問題轉化為平面問題等.通過處理，使得復雜圖形簡單化、非標準圖形標準化.對空間圖

形的處理能力是空間想像能力深化的標志，是高考從深層次上考查空間想像能力的主要方面.

【例3】（2008年高考海南與寧夏卷?理）

某兒何體的一條棱長為J7,在該兒何體的正視圖中，這條棱的投影是長為后的線段，在

該兒何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和的線段，則。+/2的最大值為

A.272B.2石C.4D.275

本題以三視圖為載體，考查考生對空間基本的幾何圖形（平面圖形或立體圖形）的熟悉程度,

考查空間想像能力.解答本題，必須想像出圖形，借助圖形思考.為了使得思考直觀、簡捷，我

們需要對圖形進行適當的構造，不妨構造一個長方體，其一條對角線長為J7,其三個相鄰面的

對角線長分別為痛、。和從設過長方體同一頂點的三條棱長分別是X、y、z，則

x2+y2=42,

■x2+z2^b2,所以段知■>2+22）=/+/+6,a2+b2=8,結合基本不等式得：

z2+y2-6,

（a+b）2-a2+b2+2aW足（/+/）=16.選C.

本題在如何構造圖形上是開放的，因此，構造的圖形是否突出問題的本質，達到直觀、簡捷,

體現了空間想像能力的差異.

[例4]（2008年高考浙江卷?理）

如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF,

ZBCF=ZCEF=90°,AD=6,EF=2.

（I）求證：AE//平面DCF-,

（II）當AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為60°?

本題主要考查空間線面關系、空間向量的運算等基礎知

識，同時考查空間想像能力和推理論證能力.第（I）問由矩

形ABCD得AB//CD,推出AB//平面DCF.由BEHCF

得BE〃平面DCF.所以平面A8E〃平面OCR.從而

4E〃平面。CF.第（II）問，如圖，建立空間直角坐標系

C-xyz，設AB^a,BE=bCF=c,得

EF=(-V3,e-b0),怎=(百，b0),由呼屈=0,1而1=2,得b=3,c=4.進

而求得平面AEF的一個法向量3=（1，V3—）.又因為84J,平面BEbC,所以

a

lcos<n,BA>1=-,解得。=2.所以當時，二面角A-EF-C的大小為60°.

222

用向量方法解空間幾何問題，絕不能脫離圖形，依然需要對圖形進行觀察、思考、推理、判

斷，做到''眼里有圖，腦中有圖”，能把圖形和概念聯系起來，用圖形思考問題.在思考過程中，

空間想像是前提，代數運算是關鍵.

2.抽象概括能力

抽象概括能力：對具體、生動的實例，在抽象概括的過程中，發(fā)現研究對象的本質，從給定

的大量信息中，概括出?些結論，并能將其應用于解決問題或作出新的判斷.

抽象是指舍棄事物非本質的屬性，揭示其木質屬性的思維過程；概括是指把僅僅屬于某一類

對象的共同屬性區(qū)分出來的思維過程.抽象是一步一步逐級進行的，具有層次性的，而且往往是

將前一層次看作后一層次的“具體通過抽象，揭示本質，發(fā)現規(guī)律，這是科學研究工作必須具

備的基本修養(yǎng)，是數學學習過程中要培養(yǎng)的一種能力.抽象和概括是相互聯系的，沒有抽象就不

可能有概括，而概括必須在抽象的基礎上得出某種觀點或某個結論.抽象與概括乂是有區(qū)別的，

其主要區(qū)別在于：概括過程中的對象保持不變，但對象的范圍擴展了，并推廣到同類的全體事物;

而在抽象過程中，對象由具體的變?yōu)樾问交?、一般化?

高考主要從數學語言、數學模式與數學模型兩方面對抽象概括能力進行考查.

（1）數學語言.在逐次抽象的過程中，牢固的數學基礎知識、必要的邏輯知識、數學語言

是必不可少的工具.因此，使用數學語言與符號的能力，是抽象概括能力的重要體現.

數學語言是數學化了的自然語言，是數學特有的形式化的符號體系.語言是思維的載體，思

維需要用語言或文字表達.依靠數學語言進行思維能夠使思維在可見的形式下再現出來.數學語

言包括文字語言、符號語言和圖形語言.在高考數學試題中，主要是用文字語言和符號語言，輔

之以圖形語言表述、呈現試題內容.高考中考查的重點是文字語言，并要求考生能夠根據實際情

況進行三種形式的語言間的轉換.對語言的考查包括兩方面的要求：一是要求考生讀懂題目的敘

述，把所給的文字和數學符號翻譯成數學關系輸入大腦，以便于大腦加工；二是要求考生有一定

的語言表達能力，能清楚、準確、流暢地表達自己的解題過程，并要求表達條理清晰，層次分明，

沒有邏輯錯誤，能準確規(guī)范地使用各種數學名詞、術語和數學符號.

【例1】（2007年高考湖南理）

設集合A=｛（x,詡y5=｛（x,俗Iy-國+勾，APlBx。，

（I）b的取值范圍是；

（II）若（x,y）eAn3,且x+2y的最大值為9,則b的值是.

本題以數學符號語言為載體，重點考查三種語言的相互轉化，考查抽象概括能力.第（I）

問要能讀懂有關集合的符號語言，理解集合A、B表示的區(qū)域.把A、B對應的區(qū)域用圖形表示出

來，即把數學符號語言轉化為圖形語言：先畫區(qū)域A,以及b=0時B表示的區(qū)域

8=｛（x,殲一兇｝,把折線y=—國上下平移，通過觀察，易得時滿足

第（II）問，令機=x+2y,由線性規(guī)劃知識知，直線機=x+2y過點（0,—）時，x+2y的

9

最大值為9,所以匕=一.

2

(2)數學模式與數學模型.不論是把實際問題轉化為數學問題，還是單純解數學題，都離不

開把問題和解決問題的方法進行比較分類，抽象概括出一種數學結構形式，然后利用這種結構形

式來熟練地解決同類型的實際問題和數學問題，從這個意義上講，數學模型是數學抽象概括的結

果.因此，抽象概括能力還包括對模式和方法的概括能力，以及從現實問題中概括出具體的數學

模型的能力.

解數學問題有常用的數學思想方法，應在夯實"雙基"的同時，認識各種思想或方法的適應

性，抽象概括出解決問題的有效的數學思想與方法，這樣，可以提高解決問題的能力.如果抽象

概括能力差，對平時所學的知識就無法形成知識網絡，無法形成能力，無法從紛繁復雜的題目中

發(fā)現問題的本質，找到正確的解題思路.因此，在考試中能否快速識別模式，進而正確選擇解題

方法，體現了抽象概括能力的差異.

【例2】(2008年高考江蘇卷)

設函數f(x)=ax3-3x+l(xwR),若對于任意,W/(x)>0成立，則實數a

的值為.

本題以不等式恒成立的問題為載體，反映了對抽象概括能力的考查.本題考慮用分離變量來

_1

解決.當x=0時，無論。取何值，〃x)=l>0成立；當OKxWla2「一恒成立.令

3r—1

g(》則轉化為研究g(6的最大值與a的關系.令

x

g持國烏=0，x=：.當OQbk夕;gx>0當時,g)x<0,可知

x=4時;gd取最大值4,所以。24；當T時x<0。4紅早恒成立.令g(3二包二，

2第九，

.63

則轉化為研究gT的最小值與a的關系.由g,(it―>o得g(良是增函數，所以

XX

g(>mi^)=g4-l，所以a44.

綜上，a=4.

本題考查了一些常見的解題規(guī)律或模式，如：“a4/(x)恒成立問題”一般轉化為研究/(》

的最小值與a的關系問題.

從現實問題中概括出具體的數學模型，需要抽象概括能力，最典型的是解應用題.我們知道,

應用題一般都有模型，如“指數型函數”是重要的數學模型，在細胞分裂、生物繁殖、人口增長、

勞動生產率、銀行利息等問題上經常用到.解決應用題的關鍵是建立數學模型，即把生產或生活

中遇到的實際問題，抽象為一個數學問題來解決.從雜亂無章的現實世界中，由表及里，去偽存

真，將生活問題提煉、抽象為一個數學問題來解決，體現了我們常說的“分析問題和解決問題的

能力”，體現了抽象概括能力.

【例4】（2000年春季高考上海卷理）

有一批影碟機（VCD）原銷售價為每臺800元，在甲、乙兩家家電商場均有銷售.甲商場用

如下的方法促銷：買一臺單價為780元，買二臺每臺單價都為760元，依次類推，每多買一臺則

所買各臺單價均再減少20元，但每臺最低價不能低于440元；乙商場一律都按原價的75%銷售.

某單位需購買一批此類影碟機，問去哪家商場購買花費較少？

本題以實際應用問題為載體，在將實際問題轉化為數學模型的過程中，考查了抽象概括能

力.要確定去哪家商場購買，關鍵是要建立兩商場影碟機的銷售價與購買臺數的函數關系，并利

用不等式知識確定購買方案.設某單位需購買n臺影碟機，甲商場每臺單價為4元，乙商場每

臺單價為4元?則”=0.75x800=600,800-nx20>440,解得〃W18.于是建立出

800-20/1,<18,.

數列模型：an=\接著比較?！芭c打的大小.當〃218時，因為

"[440,〃218,""

600〉440,即斯以“，"218時去甲處購買；當〃<18時，令得

800—20〃4600,解得“210,所以10<〃<18時去甲處購買；〃=10時去甲處或乙處購買；

〃<9時去乙處購買.

綜上，〃>10時去甲處購買；〃=10時去甲處或乙處購買；“W9時去乙處購買.

3.推理論證能力

推理論證能力：根據已知的事實和已獲得的正確數學命題，論證某一數學命題真實性的初步

的推理能力.

推理是思維的基本形式之一，它由前提和結論兩部分組成；論證是由已有的正確的前提到被

論證的結論正確的一連串的推理過程.推理既包括演繹推理，也包括合情推理；論證方法既包括

按形式劃分的演繹法和歸納法，也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法.一般運用合情推

理進行猜想，再運用演繹推理進行證明.

（1）演繹推理.演繹推理是從定義、定理出發(fā)進行分析、推理、論證，其重點是三段論推

理，是進行數學證明的有力工具.它把一般前提下蘊含的性質揭露出來，使這些性質間的內在聯

系更清楚,對數學的形成和發(fā)展有重要的作用，因此演繹推理能力是數學能力的一個重要方面.高

考對推理論證能力的考查主要體現在對演繹推理的考查上，試卷中考查演繹推理的題型，既可使

用選擇題、填空題的形式，也可使用解答題的形式進行重點考查.

［例1］(2007年高考上海卷理)

設/(x)是定義在正整數集上的函數，對于定義域內任意的k,若/(幻》/成立，則

/伏+1)》(4+1)2成立.下列命題成立的是

A.若,(3)29成立，則對于任意人均有)2公成立

B.若八4)216成立，則對于任意均有成立

C.若"7)249成立，則對于任意/<7,均有/(k)<Y成立

D.若/(4)=25成立，則對于任意&24,均有/'(左)》公成立

本題以新定義的命題為載體，通過對給定命題真假的判斷，考查了推理論證能力.判斷命題

是否成立，耍從閱讀理解題意開始.對于A,只能推出當k23時，均有/(口力^翊，故A錯；

同理B也錯；對于C,只能推出“27時，均有/(A)2%?,故C錯.選D.

本題中，已知大前提，小前提，要判斷命題是否成立，屬于典型的演繹推理.學生要在閱讀

理解的基礎上，以給出的命題為大前提，收集信息，對信息進行加工提煉，才能正確解題.

數學歸納法也是演繹推理的一種，典型地用于證明與正整數n有關的數學命題.數學上研究

與正整數n有關的命題時，通常是通過觀察、實驗，從特例中歸納出一般結論，形成猜想，然后

用數學歸納法加以證明.

【例2】(2008高考遼寧卷理)

在數列｛4｝，圾｝中，m=2,6=4,且4,b?a,用成等差數列，bn,??+1%］成等比

數列(〃eN*).

(I)求。2,小，及打，公，①，由此猜測｛4｝，也｝的通項公式，并證明你的結論；

(II)略.

第(I)問主要以等差數列、等比數列為載體，考查推理論證能力.由條件得

2"=4+限,小=6，晨，進而求

得由此猜測

%=6,4廣9%=124=16,a4=20,a=25

+2=(“+1)2.用數學歸納法證明如下：

①當”=1時，4=1x2,A=4=(1+1>,故猜想成立.

②假設當”=及時，結論成立，即4=%伏+1),%=伏+1尸，那么當"=k+l時，

2

4+i=2"—4=2(%+1)2—4出+1)=(%+1)a+2),4+]=也=伏+2)2.

%

所以當"=k+l時，結論也成立.

由①②，可知。“=”(〃+1),a=(〃+1)2對一切正整數都成立.

本題從數列前兒項出發(fā)，分析共性，發(fā)現通項公式，而后再用數學歸納法證明，這體現了從

特殊到一般、從具體到抽象的思維過程，既考查了歸納推理，又考查了演繹推理.

(2)合情推理.合情推理是根據已有的事實和正確的結論、實踐和實驗的結果，以及個人

的經驗和直覺等猜測某些結果的推理過程.歸納和類比均屬于合情推理.在解決問題的過程中，合

情推理有助于探索解決問題的思路、發(fā)現結論；演繹推理用于驗證結論的正確性.表面上看，學

生在解決問題時的合情推理是不按邏輯程序去思考,但實際上是學生把自己的經驗與邏輯推理的

方法有機地整合進來的一種跳躍性的思維表現形式.

【例3】(2004年高考廣東卷)

由圖(1)有關系包口=，則由圖(2)有關系%3=__________________.

SPABPA,PB^P-ABC

B

BC

B'B'

PP

A-AA'A

(7)⑵

本題以空間圖形為載體，通過比較、分析、判斷、類比，考查了推理論證能力.利用圖

(1)的結論^^竺=”包，通過將線段PA'、PA的長度分別與APAC'、APAC的面

SPABPAPB

積類比，將APA'B'、AP45的面積分別與三棱錐8'-PA'C',8-PAC的體積類比，將

平面上的結論推廣至空間，就可以得到圖(2)的結論為J.

PAPB-PC

在上述推理過程中，直覺和頓悟發(fā)揮了很大的作用.事實上，直覺和頓悟是數學發(fā)現的重要

因素.首先，直覺和頓悟在發(fā)現有價值的研究對象和問題時具有重要作用.其次，在研究的思路同

時存在幾種可能時，直覺和頓悟能幫助人們快速地從中作出抉擇；再次，當解決問題的邏輯通道

阻塞，思路發(fā)生中斷時，直覺和頓悟能夠幫助人們打破僵局，另辟全新思路.因此，合情推理的

關鍵是直覺和頓悟.

數學既需要嚴密的邏輯證明，也需要合情猜想與合情推理.“猜”是直覺思維的產物，是發(fā)明

創(chuàng)造的基礎，是人的素質的標志.科學、合理的猜測是數學能力的體現.正如數學教育家波利亞所

說：數學有兩個側面，一方面它是歐幾里得式的嚴謹科學，從這方面看數學是一門系統(tǒng)的演繹科

學，但另一方面，創(chuàng)造過程中的數學，看起來更象一門試驗性的歸納科學.

4.運算求解能力

運算求解能力：會根據法則、公式進行正確運算、變形和數據處理，能根據問題的條件尋

找與設計合理、簡捷的運算途徑，能根據要求對數據進行估計和近似計算.

運算求解能力是中學數學中要求培養(yǎng)的重要能力，運算求解能力是思維能力和運算技能的結

合.運算包括對數字的計算、估值和近似計算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形各幾

何量的計算求解等.運算求解能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算公式、確定運算

程序等?系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到障礙而調整運算的能力.

對運算求解能力的考查不僅包括對數的運算，還包括對式的運算，兼顧對算理和推理論證的

考查.對考生運算求解能力的考查主要是以含字母的式的運算為主，包括數字的計算、代數式和

某些超越式的恒等變形、集合的運算、解方程與不等式、三角恒等變形、數列的計算、求導運算、

概率計算、向量運算和幾何圖形中的計算等.運算結果具有存在性、確定性和最簡性.

運算求解能力是一項基本能力，在代數、立體兒何、平面解析兒何、概率與統(tǒng)計等方面都有

所體現.在高考中多數題目的解決需要運算，運算的作用不僅是只求出結果，有時還可以輔助證

也運算求解能力是最基礎的又是應用最廣的一種能力.高考對運算求解能力的考查應注重算理

和符號運算考查，合理控制計算量，注意精確計算與合理估算結合.

(1)運算的合理性.運算的合理性是運算能力的核心.一般一個較復雜的運算，往往是由

多個簡單的運算組合而成的.能正確確定運算目標，將各部分有機地聯系在一起，這是運算合理

性的主要標志，是提高運算求解能力的重要因素.運算的合理性表現在運算要符合算理，運算過

程的每一步變形都要有所依據，或依據概念，或依據公式，或依據法則，可以說運算的每一步變

形都是演繹法的體現.運算過程包含著思維過程，運算離不開思維.隨著計算機和計算器技術的

發(fā)展和普及，只要能設計出運算程序，計算機就能夠完成相應的計算，而且高效、快捷、準確.因

此時，運算求解能力的考查重點應考查算理.

運算的合理性首先表現在運算目標的確定上.運算的H的是要得到化簡的數值結果或代數式

等，有時還是完成推理和判斷的工具.對一些比較直接、簡單的運算目標一般比較容易把握，但

對一些比較復雜的運算目標，需要經過多步運算才能得到最終結果，學生一般都感到困難.如在

進行三角恒等變形時，變形的目的性不明確，濫用公式，把有關的三角公式都寫上，分辨不出用

公式的目的；研究函數的單調性時，不懂得先對函數求導，然后考察導函數的正負取值，特別地,

當含有參數時不懂得對參數進行討論；在求曲線的軌跡方程時，對如何消去方程組中的參數，確

定運算目標問題把握不準等.運算的合理性還表現在運算途徑的選擇上.合理選擇運算途徑不僅

是迅速運算的需要，也是運算準確性的保證.運算的步驟越多，越繁瑣，出錯的可能性也就越

大.因而，根據問題的不同條件和特點，合理選擇運算途徑是提高運算能力的關鍵.靈活地運用

公式、法則和有關的運算律，掌握同一個問題的多種運算方法和途徑，善于通過觀察、分析、比

較，將有助于作出合理的選擇.因此，對運算求解能力的考查中包括了對思維能力的要求以及對

思維品質(如思維的靈活性、敏捷性、深刻性)的考查.

【例1】(2005年高考全國卷1理)

,_7t,?皿”、l+cos2x+8sin2x

當0<x<一時，函數/(x)=----------------的最小值為

2sin2x

A.2B.2>/3C.4D.46

本題以三角函數的知識為載體，著重考查了運算求解能力.先化簡得

171

f(x)=----+4tanx,再由0<x<—知tanx>0,所以f(x)>4,即/(%)的最小值為4.選

tanx2

C.

本題把函數式化為/(X)=」一+4tanX,可借助基本不等式求解.如果使用二倍角公式,

tanx

5—3cos2光

可得/(幻=-----------,后續(xù)的解題計算量大，技巧性高，不是理想的選擇.解題過程應關

sin2x

注運算的合理性，注意合理選擇運算公式，合理確定運算的方向，如果運算較繁，及時調整方向

就顯得十分必要.

通過以上分析可以看出，運算的FI標，變形的方向，運算的路徑，它們之間是密切相關的.要

從運算的目標出發(fā)，研究變形方向，最終作出判斷，確定運算路徑.這一系列的活動都是運算過

程中的思維活動，是運算合理性的表現.

(2)運算的準確性.運算的準確性是運算求解能力的基本要求，要求考生根據算理和題目

的運算要求，有根有據地一步一步地實施運算.影響運算準確的因素是多方面的，數學中的定義、

公理、定理、公式、法則和定律等是運算的依據，只有準確地理解概念，熟練地掌握運算法則和

運算定律，才能使運算順利進行.只要在運算過程的某一個環(huán)節(jié)出現問題，就會導致整個運算的

錯誤，因此，在運算過程中使用的概念、公式、法則等都要準確無誤，才能保證運算結果的準確

性.

【例2】（2007年高考四川卷理）

已知拋物線y=-l+3上存在關于直線x+y=0對稱的相異兩點A、B,則A8I等于

A.3B.4C.3&D.4衣

本題以拋物線弦長的計算為載體，在運算的準確性、熟練性上考查了運算求解能力.本題

的解決有以下兩種思路：其一，設點A（X1,弘）,6（尤2，y2），則M=-x；+3①③!=-X22+3.①

一②得：比士=—（七+x,）,因為心8=&二&=1,所以工旦=一!，得AB的中點坐標

x}-x2xx-x222

（一；,手,進而求出AB方程，求得AB=30.選C.其二，設直線AB的方程為y=X+8代

入），=-/+3,得：x2+x+b-3=0,所以=以下解法同方法一.

22

考查運算求解能力是以考查運算的準確性為前提的，本題作為選擇題，只看結果不看過程，

運算過程中，無論是公式記錯了，還是運算錯了，都會由一步的錯誤引發(fā)全題解答的錯誤.因此，

強調運算的準確性是十分必要的.

（3）運算的熟練性.運算的熟練性是對考生思維敏捷性的考查.思維敏捷性是在諸多思維

特征中具有創(chuàng)新意義的一個重要思維特征，也是思維個性品質的一個重要層面.在高考中考查運

算能力，一般不是增大每題的運算量，而是通過合理控制題目數量、控制每題的運算量，增加思

考強度和思維深度來實現的.控制題目數量和每題的運算量，可以給考生以充裕的時間去思考如

何進行計算，而不是把時間花在冗長的計算過程和運算符號、文字的書寫上.過難、過繁的計算

將消耗考生的時間和精力，影響對基本概念、方法，特別是思維能力的考查.

（4）運算的簡捷性.運算的簡捷性是指運算過程中所選擇的運算路徑短、運算步驟少、運

算時間省.運算的簡捷是運算合理性的標志，是運算速度的要求.

高考對運算簡捷性的考查，主要體現在運算過程中概念的靈活應用，公式的恰當選擇，數學

思想方法的合理使用等.其中數形結合思想，函數與方程思想，化歸與轉化思想，換元法等數學

思想方法在簡化運算中都有重要的作用.運算的簡捷性是對考生思維深刻性、靈活性的考查.

【例3】（2005年高考全國卷山理）

設橢圓的兩個焦點分別為R.、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P,若△F1PF2為等腰

直角三角形，則橢圓的離心率為

人也C.2-72D.V2-1

22

本題以橢圓的離心率為載體，通過考查運算的簡捷性，思維深刻

性、靈活性，考查了運算求解能力.本題的解決有以下三種思路：其J2P

一，如圖，設橢圓方程為：?7+%=1（?！地啊?）,因為點P是過（湛,）

焦點F2作x軸的垂線與橢圓的交點，所以P（c,y）.將點P的坐標代入

方2h2_2

橢圓方程，可得y=—.又IFF2ITPF2L則2。=一=-------,化為（一＞+2-（）-1=0,解

aaaaa

得上=V2—1或￡=—\/2—1（舍去）即e=J5—1.選D.其二，在等腰直角三角形PFF2

aa

中，IFFT=IPF2l=2c,IPF1I=2",IPFIl+IPF2l=2rz,即2yp2c+2c=2。，所以

—=—7=—=yp2—1,B|Je=V2—1.其三，由IPF2l=IFF2l=2c,可得點P（c,2c）,由點P在橢圓

aV2+1

上，得：\+三1=1,又b2=fl2-c2,消去b,得=+-^~r=l,化為e2+;J=l,可

a2b2a2a--c2l-e2

整理成關于離心率e的四次（雙二次）方程，而后解出e=收一1.

通過比較不難發(fā)現，不同的運算途徑，所獲得方程不同，雖然都能達到運算的目標，但計算

的難易程度及相應的計算量的差異較大.思路二是靈活利用橢圓的定義解題，要比其他方法簡捷

得多.思路三的計算量偏大，可能導致計算結果出錯，或計算到中途放棄.

5.數據處理能力

數據處理能力：會收集、整理、分析數據，能從大量數據中抽取對研究問題有用的信息，并

作出判斷.數據處理能力主要依據統(tǒng)計或統(tǒng)計案例中的方法對數據進行整理、分析，并解決給定

的實際問題.

數據是由實驗、觀測或其它方法所收集得到，而收集的數據通常是分散的，一般缺乏系統(tǒng)和

次序，它們所遵循的規(guī)律往往不能一目了然，因此，必須去粗取精，去偽存真，對數據作科學的

整理和歸納，方能顯露出這?批數據所遵循的規(guī)律.

對現實生活的許多問題的研究，?般先獲取數據，并對數據用列表或作圖等方法進行分析，

再結合數學、物理、化學等自然科學的知識，采用某個數學模型來刻畫它，通過對該模型的研究,

發(fā)現該類問題具有的屬性，并對它作出決策和判斷.

數據處理一般需要以下三步：

第一步：將收集到的數據資料加以整理和歸納，用列表、作圖等方法，并借助于少數兒個

簡單的特征數字，把這些數據的主要特點表現出來；

第二步：將整理、歸納后所得到的數據資料加以分析，發(fā)掘這些數據資料所遵循的規(guī)律；

第三步：依據統(tǒng)計或