電磁場與電磁波第講梯度散度散度定理第一頁，共二十八頁，2022年，8月28日作業(yè)情況1班：人2班：人合計(jì)：人情況:2第二頁，共二十八頁，2022年，8月28日Review位置矢量:任意矢量A:點(diǎn)積:叉積:微分長度:微分體積:微分面積:3第三頁，共二十八頁，2022年，8月28日Maintopic梯度和散度1.

標(biāo)量場的梯度2.

矢量場的散度3.

散度定理4第四頁，共二十八頁，2022年，8月28日1.

標(biāo)量場的梯度Wenowaddressthemethodfordescribingthespacerateofchangeofascalarfieldatagiventime.Astherateofchangemaybedifferentindifferentdirections,avectorisneededtodefinethespacerateofchangeofascalarfieldatagivenpointandatagiventime.5第五頁，共二十八頁，2022年，8月28日1).

方向?qū)?shù)標(biāo)量場在某點(diǎn)的方向?qū)?shù)表示標(biāo)量場自該點(diǎn)沿某一方向上的變化率。6第六頁，共二十八頁，2022年，8月28日2).

梯度標(biāo)量f(x,y,z)等于常數(shù)的空間曲面稱為標(biāo)量場的等值面。函數(shù)值相等的點(diǎn)構(gòu)成的曲面。電勢V沿ln方向的方向?qū)?shù)最大7第七頁，共二十八頁，2022年，8月28日①梯度的概念標(biāo)量場在某點(diǎn)的梯度的大小等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)，梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)具有最大方向?qū)?shù)的方向（與等值面垂直，且指向標(biāo)量場增大的方向）。沿任意方向的方向?qū)?shù)（變化率）？標(biāo)量函數(shù)在任意方向l上的變化率等于梯度在該方向的投影。8第八頁，共二十八頁，2022年，8月28日某點(diǎn)的梯度的性質(zhì)：（1）垂直于給定函數(shù)的等值面。（2）指向給定函數(shù)在某位置變化最快的方向。（3）它的大小等于給定函數(shù)每單位距離的最大變化率。（4）一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)任意方向的方向?qū)?shù)等于此函數(shù)的梯度與該方向單位矢量的點(diǎn)積（標(biāo)積）?？梢钥闯觯赫莆樟四骋稽c(diǎn)的梯度，可以知道標(biāo)量場沿什么方向標(biāo)量場變化最大，及其最大值（梯度的方向及大小）；而且可以求出任意方向的方向?qū)?shù)，這只要求出梯度與該方向單位矢量的標(biāo)積就行了?？偠灾荻葓鍪窃从跇?biāo)量場的一個(gè)矢量場，它全面地刻畫了標(biāo)量場的空間變化特征。9第九頁，共二十八頁，2022年，8月28日②梯度的計(jì)算直角坐標(biāo)系▽稱為“del”算子球坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系廣義坐標(biāo)系10第十頁，共二十八頁，2022年，8月28日梯度運(yùn)算符合以下規(guī)則：C為常數(shù)11第十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日例1已知標(biāo)量場求（2，1，3）處方向?qū)?shù)的最大值。那么在（2，1，3）處的梯度為其模為因此，在（2，1，3）處方向?qū)?shù)的最大值為（117）1/2解根據(jù)梯度的定義12第十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日例

213第十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日例

3設(shè)標(biāo)量=xy2+yz3,矢量試求標(biāo)量函數(shù)在點(diǎn)（2，-1，1）處沿矢量A的方向上的方向?qū)?shù)。解已知梯度那么，在點(diǎn)（2，-1，1）處的梯度為因此，標(biāo)量函數(shù)在點(diǎn)（2，-1，1）處沿矢量A的方向上的方向?qū)?shù)為14第十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日例場點(diǎn)P(x,y,z)y源點(diǎn)P’(x’,y’,z’)zxO計(jì)算解同理可得15第十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日2.

矢量場的散度AB通量線

or流線源

and匯（洞）凈通量矢量場電力線矢量的通量16第十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日如：真空中的電場強(qiáng)度E通過任一閉合曲面的通量等于該閉合面包圍的自由電荷的電荷量q與真空介電常數(shù)0之比：高斯定理閉合曲面內(nèi)的電量為正、負(fù)、零時(shí)的通量······根據(jù)矢量通過某一閉合面的通量性質(zhì)可以判斷閉合曲面中源的正負(fù)特性，以及存在與否。通量僅能表示閉合曲面中源的總量，它不能顯示源的分布特性，如何顯示源的特性呢？？？5C5C3C4C-2C17第十七頁，共二十八頁，2022年，8月28日1)散度的概念當(dāng)閉合面S向某點(diǎn)無限收縮時(shí)，矢量A通過該閉合面S的通量與該閉合面包圍的體積之比的極限稱為矢量場A在該點(diǎn)的散度，記為：式中，V為閉合面S包圍的體積。①如果矢量場F每一點(diǎn)的散度都有定義，則形成一個(gè)標(biāo)量的分布（標(biāo)量場)稱為矢量F的散度場，描述源的強(qiáng)度在空間的分布，矢量場的變化.②散度是描述矢量場的變化特性的物理量，矢量場的變化由源引起的，某點(diǎn)的散度就是該點(diǎn)處源（通量源）的強(qiáng)度.18第十八頁，共二十八頁，2022年，8月28日2)

散度計(jì)算方法直角坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系球坐標(biāo)系廣義坐標(biāo)系19第十九頁，共二十八頁，2022年，8月28日散度運(yùn)算規(guī)則直角坐標(biāo)系中拉普拉斯算子20第二十頁，共二十八頁，2022年，8月28日例求到任一點(diǎn)的位置矢量的散度。解21第二十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日矢量場散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉面的總通量，記為①數(shù)學(xué)上看，利用散度定理可以將矢量函數(shù)的面積分轉(zhuǎn)化為標(biāo)量函數(shù)的體積分，或反之。②場的觀點(diǎn)看，散度定理建立了區(qū)域中的場與包圍該區(qū)域的邊界上的場之間的關(guān)系。3.

散度定理22第二十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日例已知判斷散度定理是否適用于圖中所示的殼層區(qū)域。殼層的封閉面是以原點(diǎn)為中心而半徑分別為R=R1和R=R2（R2>R1）的兩個(gè)球面。解在外表面上：在內(nèi)表面上：R2R123第二十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日Example:example：Forvectorfunction,verifythedivergencetheoremforthecircularcylindricalregionenclosedbyr=5,z=0,andz=424第二十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日25第二十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日26第二十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日summary1.

標(biāo)量場的梯度2.

矢量場的散度