關(guān)注公眾號(hào)”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧！關(guān)注公眾號(hào)”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧！微專題100利用同構(gòu)特點(diǎn)解決問題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式2、同構(gòu)式的應(yīng)用：(1)在方程中的應(yīng)用：如果方程f(a)=0和f(b)=0呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則a,b可視為方程f(x)=0的兩個(gè)根2)在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個(gè)函數(shù)，進(jìn)而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系?？杀容^大小或解不等式在解析幾何中的應(yīng)用：如果A(x,y),B(x,y)滿足的方程為同構(gòu)式，則A,B為方程所1122表示曲線上的兩點(diǎn)。特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線AB的方程在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于(a,n)與(a,n-1)nn-1的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解二、典型例題：f(x—l)5+2x+sin(x—1)=3例1：(2015天津十二校聯(lián)考)設(shè)x,yeR，滿足｛，則x+y=卜y—1丿5+2y+sin(y—1)=1()A.0B.2C.4D.6思路：本題研究對(duì)象并非x,y，而是(x—1),(y—1)，進(jìn)而可變形為f(x—1)5+2(x—1)+sin(x—1)=1f，觀察上下式子左邊結(jié)構(gòu)相同，進(jìn)而可將相同的結(jié)構(gòu)[(y—1)5+2(y—1)+sin(y—1)=—1視為一個(gè)函數(shù)，而等式右邊兩個(gè)結(jié)果互為相反數(shù)，可聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性，從而利用函數(shù)性質(zhì)求解f(x—1)5+2x+sin(x—1)=3J(x—1)5+2(x—1)+sin(x—1)=1[(y-1)5+2y+sin-2(y—1)+sin(y—1)=—1設(shè)f(t)=15+2t+sint，可得f(t)為奇函數(shù)，由題意可得：

/.x-1=—(y-1)x+y=2答案：B例2：若函數(shù)f(x)=Jx_1+m在區(qū)間［a,b］上的值域?yàn)?,2(b>a>1)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是思路：注意到f(x)思路：注意到f(x)是增函數(shù),從而得到f(a)=y,f(b)2<a-1+m=a2Jb-1+m=—2，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)式子為a,b的同構(gòu)式，進(jìn)而將同構(gòu)式視為一個(gè)方程，而a,b為該方程的兩個(gè)根，m的取值只需要保證方程有兩根即可解：f(x)為增函數(shù)...f(a)=i，f(b)...f(a)=i，f(b)=2?2\b-1+m=—2a,b為方程Px-1+m=—在i+a)上的兩個(gè)根，即m=—一弋x一1有兩個(gè)不同的根22令t=\：x—1(t>0)nx=12+1所以方程變形為：m=2C2+1)-1=2C2-2t+1),結(jié)合圖像可得：m0,2］(1答案：mg0,-\2TOC\o"1-5"\h\z例3：設(shè)a,bR，貝ij|“ab”是“a|a|b|b|”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件e>>C.充要條件D.既不充要又不必要條件思路：觀察a|a|b|b|可發(fā)現(xiàn)其同構(gòu)的特點(diǎn)，所以將這種結(jié)構(gòu)設(shè)為函數(shù)f(x)=x|x|，分析其單調(diào)性。f(x)=xixi單調(diào)性。f(x)=xixi=V可得f(x丿為增函數(shù)。所以abfafb，即-x2,x<0

aba|a|b|b,所以是充要條件答案：C〉O>例4：若o<x<x<1，貝y()12A.exA.ex2一ex]>Inx一Inx2121C.xex1>xex22112B.ex]一ex2>Inx一Inx21D.xex]<xex22112答案：C思路：本題從選項(xiàng)出發(fā)可發(fā)現(xiàn)'每個(gè)選項(xiàng)通過不等式變形將xi,x2分居在不等式兩側(cè)后都具備同構(gòu)的特點(diǎn)，所以考慮將相同的形式構(gòu)造為函數(shù)，從而只需判斷函數(shù)在(0,1)的單調(diào)性即可解：A選項(xiàng)：ex2一ex1>lnx一lnxoex2一lnx>ex1一lnx，設(shè)f(x)=ex一lnx21212211???f(x)=ex一1=xex-一1，設(shè)g(x)=xex-1，則有g(shù)'(x)=(x+1)ex>0恒成立，所以xxg(x)在(0,1)單調(diào)遞增，所以g(0)=-1<0,g(1)=e-1>0，從而存在xg(0,1)，使得0g(x)=0，由單調(diào)性可判斷出：0xG(0,x),g'(x)<0nf'(x)<0,xG(x,1),g'(x)>0nf'(x)>0，所以f(x)在(0,1)00設(shè)f設(shè)f(x)=ex+lnx可知f(x)單B選項(xiàng)：ex1一ex2>Inx一Inxoex1+Inx>ex2+Inx12211122調(diào)遞增。所以應(yīng)該f(*<fg)，B錯(cuò)誤x2C選項(xiàng)：xex1>xex?o空>竺，構(gòu)造函數(shù)f(x)=—，f'(x)=，則f'(x)<x2TOC\o"1-5"\h\z21xxx12在xG(0,1)恒成立。所以f(x)在(0,1)單調(diào)遞減，所以f(x)>f(x)成立12exexexD選項(xiàng)：xex1<xex2<，同樣構(gòu)造f(x)=，由C選項(xiàng)分析可知D錯(cuò)誤21xxx12答案：C例5:已知函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有

xf(x+l)=(x+1)f(x)，則f2015]

丁丿的值是(1A.02°1D.思路：觀察條件可變形為：fxf(x+l)=(x+1)f(x)，則f2015]

丁丿的值是(1A.02°1D.思路：觀察條件可變形為：f(x+1)_f(x)

x+1x從而得到等式左右的結(jié)構(gòu)均為f(t)t的形式，且括號(hào)內(nèi)的數(shù)間隔為1。所以2015答案：A(2015、(2013、2015I2丿2013。因?yàn)閒(x)(1]—f(1]<2‘-J<2丿為偶函數(shù)，所以f，由(1]〔2丿_f「2丿212可得f2(1](1]遼丿—f—f<2丿—0，進(jìn)而例6：如果cos50-sin50<7-cos30),0et0,2兀)，那么0的取值范圍是思路：本題很難直接去解不等式，觀察式子特點(diǎn)可發(fā)現(xiàn)若將關(guān)于sin0,cos0的項(xiàng)分居在不等號(hào)兩側(cè)：cos50+7cos30<sin50+7sins0，則左右呈現(xiàn)同構(gòu)的特點(diǎn)，將相同的結(jié)構(gòu)設(shè)為函數(shù)f(x)=x5+7x3，能夠判斷f(x)是奇函數(shù)且單調(diào)遞增。所以不等式f(COS0)<f(sin0)等價(jià)于cos0等價(jià)于cos0<sin0即sin0-cos0>0nQsin0-一>0所以2kn<2kn<0-—<兀+2k兀(keZ)，結(jié)合0ef0,2兀)，可得04(—5—144答案：例7：如圖，設(shè)點(diǎn)P(x例7：如圖，設(shè)點(diǎn)P(x,y)在直線00x=m(y豐±m(xù),0<m<1,且m為常數(shù))上，過點(diǎn)P作雙曲線x2-y2二1的兩條切線PA,PB，切點(diǎn)為A,B，求證：直線AB過某一個(gè)定點(diǎn)解：設(shè)A(x,y),B(x,y)，PA的斜率為k1122則pA:y-人=k（x-珥），聯(lián)立方程y-y1x2一y2=則pA:y-人=k（x-珥），聯(lián)立方程y-y1x2一y2=1=k(x一x)1消去y可得：x2一[kx+(—kx+y)]2=1，整理可得:(1一k2)x2一2k(y-kx)x_(y-kx?-1=0,1111因?yàn)镻A與雙曲線相切所以A=4k2(y一kx1+4G-k2)(y一kx1+4G-k2)=01111???4(y-kx)2+4G-k2)=011k2x2一2kxy+y2+1一k2=0n(x2一1)k2一2kxy+(y2+1)=011111111x2一y2=1x2一1=y2,y2+1=x2代入可得:111111.y2k2一2xyk+x2=0即(yk—x匕=0111111x即k=—y1?PA:y-y=—(x-x)nyy=xx-11y1111同理，切線PB的方程為y2y=x1x一1Iyy=mx一1P(m,y丿在切線PA,PB上，所以有｛01140Iyy=mx一1022.A,B滿足直線方程y0y=mx一1，而兩點(diǎn)唯一確定一條直線AB:yy=mx一1所以當(dāng)<01x=—m時(shí)，無論y0為何值，等式均成立、y=0???點(diǎn)-,0恒在直線AB上，故無論P(yáng)在何處，AB恒過定點(diǎn)f丄,0'm丿例8：已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)為（0,1），離心率為|<5（1）求橢圓C的方程(2)過右焦點(diǎn)F作直線l交橢圓于A,B，交y軸于R,若RA=九AF,RB=BF，求九+?c解：(1)e=aa2-c2=b2=1解得a=\c=2:::C:::C:+y25=1(2)思路：本題肯定從RA=九AF,RB=卩BF入手，將向量關(guān)系翻譯成坐標(biāo)的方程，但觀

察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)等式除了A,B不同，系數(shù)九,》不同，其余字母均相同。且A(x,y),B(x,y)也1122僅是角標(biāo)不同。所以可推斷由RA=九AF,RB=卩BF列出的方程是同構(gòu)的，而A,B在同一橢圓上，所以如果用九,?表示x,x,y,y，代入橢圓方程中也可能是同構(gòu)的。通過計(jì)算可得：1212'九2+10九+5-20k2=0^一一<，所以九,卩為方程x2+10x+5—20k2=0的兩個(gè)不同根，進(jìn)而利[|n2+10卩+5—20k2=0用韋達(dá)定理即可得到九+?=-10解：由(1)得F(2,0)，設(shè)直線l:y=k(x-2)，可得R(0,-2k)，設(shè)A(x,y),B(x,y)1122可得：RA=(x,y+2k),AF=(2—x,-y)，由RA=XAF可得：2九2九x=11+九=ky=11+九x=X(2-x)1—>1y+2k=—九y11因?yàn)閍在橢圓上，：x2+5y2=5，將①代入可得：11‘2^丫+5丫=5=4九2+20k2=5(九+1)2U+九丿U+九丿:入2+10九+5-20k2=0對(duì)于卩，RB=(x,y+2k),BF=(2—x,—y)，RB=卩BF2222同理可得：|lx2+10|lx+5—20k2=0:九,卩為方程x2+10x+5-20k2=0的兩個(gè)不同根高中數(shù)學(xué)二輪微專題高中數(shù)學(xué)二輪微專題272關(guān)注公眾號(hào)”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧！272關(guān)注公眾號(hào)”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧！.?.九+卩=-10例9:已知函數(shù)9a為I正常數(shù),右g(x)—lnx+9(x),且對(duì)任意、x+1x,xe(0,2],x豐x,都有g(shù)G?)g)>-1，求a的取值范圍.1212x-x21思路：觀察到已知不等式為輪換對(duì)稱式，所以考慮定序以便于化簡，令x>x，則不等式變21形為g(x)-g(x)>x-x，將相同變量放置一側(cè)，可發(fā)現(xiàn)左右具備同構(gòu)特點(diǎn)，所以將相同2112結(jié)構(gòu)視為函數(shù)h(x)=g(x)+x，從而由x>x且h(x)>h(x)可知只需h(x)為增函數(shù)即2121可。從而只需不等式h'(x)>0恒成立即可，從而求出a的范圍解：gIlnx+冷，不妨設(shè)x?，則恒成立不等式轉(zhuǎn)化為:(x)+x11g(x)-g(x)>x-xng(x(x)+x11211222設(shè)h(設(shè)h(x)=g(x)+x=lnx+a+x,x+1只需h(x)在(0,2]單調(diào)遞增即可則由h(x)>h(x)恒成立和x<x可得:2112.h'(x)>0恒成立h'h'(x)=I-du+1x(x+1^?即a<(x即a<(x+1)?+"x+"恒成立x所以只需a<(x+1)?min令p(x)=(x+1)????p'(x)=2(???p'(x)=2(x+1)+2x(x+1)-(x+1)2=(x+?(?x-Jx2.p(1)(130,-單調(diào)遞減，在—，2I2J12丿x2單調(diào)遞增p(x)在(x)=pmin高中數(shù)學(xué)二輪微專題高中數(shù)學(xué)二輪微專題關(guān)注公眾號(hào)”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧！關(guān)注公眾號(hào)”品數(shù)學(xué)“，一起學(xué)數(shù)學(xué)吧！270270<a<-2例10：已知數(shù)列｛a｝滿足a1—2t-3(teR,tH±1)，且(2tn+1—3)a+2(t—1)tn—1na+2tn—1n求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式n思路：本題遞推公式較為復(fù)雜，所以考慮先化簡分式，觀察到分子中含有分母的項(xiàng)，所以想2(tn+1—1)(a+1)到分離常數(shù)簡化分式，即a+1—小汁，尋求相鄰?fù)瑯?gòu)的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為a+2tn—1na+1―n+1—tn+1—1a+12?—n—小汁，尋求相鄰?fù)瑯?gòu)的特點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為a+2tn—1na+1―n+1—tn+1—1a+12?—n—斗二^，即可設(shè)ba+1nf+2tn—1a—ntn—1+1，遞推公式變?yōu)閎—n+12bn，則能夠求出b通b+2nn項(xiàng)公式，解：an+1進(jìn)而求出an(2tn+1—3)a+2(t—1)tn—1——na+2tn—1n(2tn+1—2)a+2tn+1—2+(—a—2tn+1)2(tn+1—1)(a+1)nn—n—1+2tn—1a+2tn—1n2(tn+1—1)(a+1)a+1—n+1a+2tn—1na+1=(nI1Atn+1—1(a+1)2——n—tn—12(a+1)a+1n—(n丨1)—