電力生產(chǎn)問題數(shù)學(xué)模型摘要本文解決的是電力生產(chǎn)問題，在解決發(fā)電機的發(fā)電量能滿足每日的電力需求的條件下，為了使每日的總成本達到最低，我們建了一個最優(yōu)化模型[1]。對于問題一，首先我們根據(jù)題意運用非線性規(guī)劃方法[2]列出目標(biāo)函數(shù)即四種型號的發(fā)電機的總的固定成本、總的邊際成本、總的啟動成本的和函數(shù)，其次根據(jù)表一和表二所給的數(shù)據(jù)要求，列出模型約束條件，然后根據(jù)lingo軟件【3】，編出相應(yīng)的程序，對建立的模型進行求解，最終得出每天最低總成本為146.3180萬元。對于問題二，顯然問題一建模的思想也適應(yīng)于問題二，，問題一所列的目標(biāo)函數(shù)也適用于問題二，與問題一不同的是，問題二多了一個約束條件，即在任何時間段工作的發(fā)電機組要保留20%的發(fā)電余量以防用電量增加，換言之即每個時間段發(fā)電機發(fā)電量總和的80%要滿足該時間段用電需求，并據(jù)此又列出一個約束方程，最終也根據(jù)lingo【3】計算軟件得出每天最低成本為188.5420萬元。同時我們對模型進行了評價、改進和推廣，便于我們所建立的模型更好的應(yīng)用到生活實際中去。關(guān)鍵詞：啟動成本非線性規(guī)劃電力生產(chǎn)問題1、問題重述1.1問題背景：由于各種不同型號的發(fā)電機的性能不同，各種型號的發(fā)電機數(shù)量不同，所需成本也一樣，合理的選擇發(fā)電機組既可以滿足用電需求，又能夠降低生產(chǎn)成本，提高經(jīng)濟效益。在本文中我們要解決的問題就是怎樣合理選擇發(fā)電機的組合，從而將電廠的生產(chǎn)成本降低至最小值以便提高電廠的經(jīng)濟效益。1.2每日用電需求與發(fā)電機具體情況：為滿足每日電力需求（單位為兆瓦（MW）），可以選用四種不同類型的發(fā)電機。每日電力需求如下表1。表1：每日用電需求（兆瓦）時段（0-24）0-66-99-1212-1414-1818-2222-24需求12000320002500036000250003000018000每種發(fā)電機都有一個最大發(fā)電能力，當(dāng)接入電網(wǎng)時，其輸出功率不應(yīng)低于某一最小輸出功率。所有發(fā)電機都存在一個啟動成本，以及工作于最小功率狀態(tài)時的固定的每小時成本，并且如果功率高于最小功率，則超出部分的功率每兆瓦每小時還存在一個成本，即邊際成本。這些數(shù)據(jù)均列于表2中。表2：發(fā)電機情況可用數(shù)量最小輸出功率（MW）最大輸出功率（MW）固定成本（元/小時）每兆瓦邊際成本（元/小時）啟動成本型號110750175022502.75000型號241000150018002.21600型號381200200037501.82400型號431800350048003.81200只有在每個時段開始時才允許啟動或關(guān)閉發(fā)電機。與啟動發(fā)電機不同，關(guān)閉發(fā)電機不需要付出任何代價。1.3本文所需解決的問題問題（1）在每個時段應(yīng)分別使用哪些發(fā)電機才能使每天的總成本最小，最小總成本為多少？問題（2）如果在任何時刻，正在工作的發(fā)電機組必須留出20%的發(fā)電能力余量，以防用電量突然上升。那么每個時段又應(yīng)分別使用哪些發(fā)電機才能使每天的總成本最小，此時最小總成本又為多少？模型假設(shè)及符號說明2.1模型假設(shè)假設(shè)1：在每個時段里，型號相同的發(fā)電機的功率相等并且在該時段維持不變假設(shè)2:發(fā)電機在每天的零點全部關(guān)閉，第二天根據(jù)需要選擇性的開啟假設(shè)3：發(fā)電機啟動和關(guān)閉時間都忽略不計假設(shè)4：發(fā)電機在運行過程中不發(fā)生故障假設(shè)5：不計發(fā)電機的摩擦損耗功率假設(shè)6：不計調(diào)整發(fā)電機功率的成本2.2模型符號符號符號說明 ，取整數(shù)，取整數(shù)表示第個時段表示第個時段對應(yīng)電力需求機型最小發(fā)電功率機型最大發(fā)電功率機型固定成本機型邊際成本機型啟動成本機型總數(shù)量表示第階段機型數(shù)量表示第階段機型發(fā)電機的功率最小成本總固定成本總邊際成本總啟動成本3.問題分析此題解決的是在不同時間段應(yīng)如何選擇不同發(fā)電機的型號使總成本最低的優(yōu)化模型【1】問題。要使所選擇的發(fā)電機的總成本最低應(yīng)該需要建立合理的模型?？偝杀臼怯捎筛鱾€時間段的總的固定成本、總的邊際成本和總的啟動成本構(gòu)成，即。由于不同時間段中，上一階段的電機運行情況將影響下一階段的啟動成本，這樣就會進接影響總成本，因此在考慮電機的運行費用時應(yīng)該把下一階段電機的運行狀況和上一階段的運行狀況聯(lián)系起來，這樣的話我們將得到最優(yōu)的總成本。對于問題一，建了一個模型要求在各個時間段應(yīng)該選擇哪種型號電機使每天的總成本最低?？偝杀究煞譃椋汗潭ǔ杀尽⑦呺H成本、啟動成本。此問題除了考慮滿足每天的用電需求外，還應(yīng)該使每天電機的運行費用盡可能的小。啟動的發(fā)電機數(shù)量越少功率越小總成本越低，數(shù)量越多輸出功率越大就越能滿足每個階段用電需求。于是根據(jù)問題一，假設(shè)發(fā)電機在每天的24：00全部關(guān)閉，0：00開啟。它的啟動成本等于第一階段開啟的發(fā)電機數(shù)量、第二階段開啟的發(fā)電機數(shù)量在第一階段開啟的發(fā)電機數(shù)量……一直到第七階段開啟的數(shù)量在第六階段新開啟的數(shù)量的總和乘以每臺發(fā)電機的啟動成本。于是我們把七個時間段情況綜合起來考慮，運用單目標(biāo)非線性化方法建立了模型一，然后根據(jù)合理的分配、使用有效的資源來減少使用成本，來達到最佳效益。對于問題二，要在任何時候，使正在工作的發(fā)電機必須留出20%的發(fā)電能力余量，以防用電量突然上升，我們只需要在第一問的基礎(chǔ)上，把各時段電機最大輸出功率總和的80%作為各時段電機輸出功率總和的最大值。模型一的思想也適用于模型二，通過非線性規(guī)劃【2】，用lingo軟件【3】計算，最終得到最優(yōu)解。4.數(shù)據(jù)分析根據(jù)題目所給的兩個數(shù)據(jù)表繪制出下面兩個圖圖1:每日各時段需求量由圖1我們可以看出:0-6小時的時段到6-9小時的時段用電需求明顯增大,總體看來6-9時段和12-14時段為用電高峰期,在這兩階段的電力生產(chǎn)成本可能會明顯增大。`由問題重述中的表二我們同樣可以畫出如下的圖表，由圖表可知型號二的固定成本最小，啟動成本也相對較小，而型號一的啟動成本和型號四的固定成本較大，我們也可以從原表二中觀察出型號三的邊際成本最小，型號四的邊際成本最大。圖2邊際成本，固定成本與啟動成本由圖2我們可以看出:型號1的發(fā)電機的啟動成本明顯高于其他型號的發(fā)電機,且其總共臺數(shù)最多;型號2的發(fā)電機的綜合成本(固定成本、邊際成本、啟動成本)相對其他型號的發(fā)電機要低,且其固定成本最小,故增加其臺數(shù)可能使總生產(chǎn)成本減小;型號3的發(fā)電機的邊際成本最小,故可以使其實際輸出功率盡可能大,這樣可能降低總生產(chǎn)成本;型號4的發(fā)電機的啟動成本最小。5.問題一的解答5.1模型一的建立5.1.1確定出目標(biāo)函數(shù)由題目給的條件及模型假設(shè)知目標(biāo)函數(shù)由發(fā)電廠每天的總固定成本，總邊際成本，總啟動成本組成，下面來一一進行求解1.總固定成本：即四種型號發(fā)電機在七個時間段類的固定成本乘以啟動臺數(shù)乘以工作時間數(shù)值的疊加和，其數(shù)值表達式如下： 2.總邊際成本：即四種型號的發(fā)電機在七個時間段內(nèi)的輸出功率與最小輸出功率的差值乘以相對應(yīng)的邊際成本乘以啟動臺數(shù)乘以工作時間數(shù)值的疊加和，其數(shù)學(xué)表達式為：3.總啟動成本：即四種型號的發(fā)電機在關(guān)閉狀態(tài)下重新啟動的臺數(shù)乘以相應(yīng)的啟動成本數(shù)值的疊加和，其數(shù)學(xué)表達式為目標(biāo)函數(shù)：總成本＝總固定成本+總邊際成本+總啟動成本,即5.1.2根據(jù)題目要求確定其約束條件若型號發(fā)電機在時段使用，則功率需在最小功率和最大功率之間，即：若型號發(fā)電機在時段不使用，則功率為零，即:各個型號的發(fā)電機在一個時間段發(fā)電量的總和應(yīng)等于各個時間段的用電需求，它的的數(shù)學(xué)表達式為：即：（3）第個時間段的型發(fā)電機的臺數(shù)應(yīng)滿足題目告訴的條件，其表達為：即:5.1.2求出問題一的多變量最優(yōu)化模型綜上所述：其中5.2模型一的求解我們用lingo軟件【3】求解這個模型，首先把各個變量，常量寫入到集合中；然后根據(jù)我們所建模型，分別將目標(biāo)函數(shù)，約束條件，所需數(shù)據(jù)寫入程序中。在處理發(fā)電機是否啟動這個問題上，我們引入了一個變量,根據(jù)發(fā)電機的啟動臺數(shù)來確定發(fā)電機的功率是否為0，若發(fā)電機的臺數(shù)不為零，則為，我們把的范圍設(shè)在最小功率和最大功率之間。這樣我們就解決了發(fā)電機的功率約束問題。在lingo【3】環(huán)境下運行結(jié)果如下：表3:各型號發(fā)電機數(shù)量及功率問題類型型號時段型號1型號2型號3型號4臺數(shù)輸出功率臺數(shù)輸出功率臺數(shù)輸出功率臺數(shù)平均輸出功率一般運行情況0-60041500.00032000.000006-921750.00041500.00082000.00032166.6679-122750.000041425.00082000.00011800.00012-1421750.00041500.00082000.00033500.00014-182750.000041425.00082000.00011800.00018-2221300.00041500.00082000.00031800.00022-24004751.259361500.00002000.000總成本1463180元根據(jù)此表我們可以畫出關(guān)于每一時段每種型號發(fā)電機臺數(shù)的柱狀圖，如下所示：圖3:各階段發(fā)電機數(shù)量由圖可知，型號二發(fā)電機從第一時段到第七時段一直處于運行狀態(tài)，我們也可以從原始數(shù)據(jù)中找出原因，因為型號2發(fā)電機的固定成本最低，啟動成本和邊際成本也相對較低。從圖中我們也可以得知2，4，6時段發(fā)電機所需臺數(shù)相對較多，即為用電高峰期，與原始數(shù)據(jù)正好對應(yīng)。5.3結(jié)果分析:將上述求解結(jié)果與表一、二對照,發(fā)現(xiàn)各型號的發(fā)電機臺數(shù)和功率均滿足題目要求,每個時段的發(fā)電機按上述分別進行組合后的實際供電量均恰好等于每時段的供電需求.從結(jié)果的對比中我們還可以得出以下結(jié)論:結(jié)論一:當(dāng)某型號的邊際成本相對較小時,其實際輸出功率盡量達到最大時可減少總成本,例如型號3的邊際成本最小,解出的結(jié)果中其實際輸出功率達到其最大輸出功率2000MW;結(jié)論二:在不同時段的用電需求越大,所需要的大功率型號的發(fā)電機的數(shù)量就越多,這樣可降低總成本;結(jié)論三:盡量少開啟動成本大的發(fā)電機可以減少總成本問題二的解答針對問題二我們建立了模型二.6.1模型二的建立6.1.1確定目標(biāo)函數(shù)在問題分析中已經(jīng)知道模型二的目標(biāo)函數(shù)與模型一相同,即：6.1.2確定約束條件因為問題二是在問題一的基礎(chǔ)上新增了一個約束條件,以防用電量突然上升.我們只需要在第一問的基礎(chǔ)上，把各時段電機最大輸出功率總和的80%作為各時段電機輸出功率總和的最大值，將問題一中的第二個約束條件稍加修改可得到新的約束條件，即：其它約束條件均不變6.1.3模型二的求解根據(jù)建立的模型用Lingo軟件【3】代入數(shù)據(jù)求解后將所得結(jié)果制成下表表4：各型號發(fā)電機數(shù)量及功率問題類型型號時段型號1型號2型號3型號42000臺數(shù)輸出功率臺數(shù)輸出功率臺數(shù)輸出功率臺數(shù)輸出功率保留20%的發(fā)電能力0-611000.00041500.00042000.000006-971750.00041500.00082000.00031916.6679-124807.142981500.00022000.00081800.00012-1441750.00081500.00032000.00063000.00014-186750.000041337.50082000.00031800.000018-2261683.33341500.00082000.00031800.00022-241750.000041437.50082000.00000總成本1885420元將上述求解結(jié)果與表1和表2對照,發(fā)現(xiàn)各型號的發(fā)電機臺數(shù)和功率均滿足題目要求.因為問題二要使任何時刻發(fā)電機組都有20%的發(fā)電能力余量,以防用電量突然上升,所以每個時段的發(fā)電機按上述分別進行組合后的實際供電量總和的80%滿足用電需求。將模型二的不同類型發(fā)電機的使用數(shù)量與模型一對比，可繪制如下變化圖。圖4：模型一與模型二發(fā)電機使用數(shù)量對比圖圖5：模型一與模型二發(fā)電機發(fā)電功率對比圖由上圖我們可以得出如下結(jié)論:結(jié)論一:相對模型一的結(jié)果,模型二的每個時段中啟動成本較小的型號的發(fā)電機的實際功率都有明顯下降但臺數(shù)卻有一定的上升,這是為了保留一定的發(fā)電能力,同時又使電機的啟動成本減小,如模型二中啟動成本最小的型號4發(fā)電機實際功率都降至最小功率,其相應(yīng)臺數(shù)卻較模型一大;結(jié)論二:在不同時段的用電需求越大,所需要的大功率型號的發(fā)電機的輸出功率越大，這樣可以節(jié)約成本。結(jié)論三:啟動成本大而邊際成本小的發(fā)電機如型號3開啟后其實際功率基本達到其最大輸出功率,且極少重復(fù)開啟,這樣既減少邊際成本又減少固定成本的同時還最大限度的利用了其發(fā)電資源6模型的評價、改進、以及推廣6.1模型的評價優(yōu)點一:根據(jù)題目的要求我們確立了三個指標(biāo)，即固定總成本、邊際總成本、啟用總成本，以上三項總成本之和即為總成本，通過對三項總成本的逐項分析，建立了最優(yōu)的目標(biāo)函數(shù)。優(yōu)點二：將一天作為一個整體進行求解，考慮到了各個時段間的關(guān)聯(lián)，得出的解為全局最優(yōu)解。優(yōu)點三：解決該題的方法方便、直觀，運用的數(shù)學(xué)原理、概念簡單明了，易于在計算機上實現(xiàn)此模型的通用性較好，可以廣泛推廣到其他非線性規(guī)劃模型中去，忽略次要因素，抓住關(guān)鍵因素，既符合實際生活中取材的主要衡量標(biāo)準(zhǔn)，又使問題簡單化，便于求解。缺點一：假定了同時段同型號的發(fā)電機的輸出功率相同且維持不變，與實際情況有些不符，從而使得出的最優(yōu)解與實際最優(yōu)解有一定誤差。缺點二:對數(shù)據(jù)的分析可能不夠仔細,應(yīng)該能得到更多有用的分析結(jié)果.6.2模型的改進因假定了同時段同型號發(fā)電機的輸出功率相等且維持不變，使得得出的結(jié)果不是十分準(zhǔn)確，我們可在得出結(jié)果的基礎(chǔ)上用計算機在每兩個時段之間對功率進行一些調(diào)整，即：在保證滿足供電需求的情況下，調(diào)整同型號發(fā)電機的輸出功率(不要求相同)，使得出的結(jié)果進一步優(yōu)化。6.3模型的推廣我們的模型經(jīng)過一定的改進可在電力網(wǎng)的一些有功功率、無功功率的補償和分配問題上具有一定的指導(dǎo)作用，還可用于一些運輸領(lǐng)域的優(yōu)化問題參考文獻[1]宋來忠,王志明,數(shù)學(xué)建模與實驗,北京:科學(xué)出版社,2005[2]《運籌學(xué)》教材編寫組編,運籌學(xué)（3版）,北京:清華大學(xué)出版社,2005.6[3]張宏偉，牛廣志，LINGO8.0及其在環(huán)境系統(tǒng)優(yōu)化中的應(yīng)用，天津大學(xué)出版社附錄附錄一:模型一求解的Lingo源程序sets:!t為時段，x為需求;shiduan/1..7/:t,x;xinghao/1..4/:qmin,qmax,g,b,d,m;link(shiduan,xinghao):n,q,p;endsetsdata:t=6332442;x=12000320002500036000250003000018000;qmin=750100012001800;qmax=1750150020003500;g=2250180037504800;b=2.72.21.83.8;d=5000160024001200;m=10483;enddatamin=s1+s2+s3;!s1為固定成本，s2為邊際成本，s3為啟動成本;s1=@sum(shiduan(i):@sum(xinghao(j):g(j)*t(i)*n(i,j)));s2=@sum(shiduan(i):@sum(xinghao(j):n(i,j)*t(i)*b(j)*(q(i,j)-qmin(j))));s3=@sum(xinghao(j):d(j)*n(1,j))+@sum(xinghao(j):@sum(shiduan(i)|i#ge#2:@if(n(i,j)#gt#n(i-1,j),(n(i,j)-n(i-1,j))*d(j),0)));@for(link(i,j):n(i,j)<=m(j));@for(shiduan(i):@sum(xinghao(j):q(i,j)*n(i,j))=x(i));@for(link:@gin(n));@for(link(i,j):q(i,j)=@if(n(i,j)#eq#0,0,p));@for(link(i,j):@bnd(qmin(j),p,qmax(j)));End運行結(jié)果：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:1463180.Objectivebound:1463180.Infeasibilities:0.000000Extendedsolversteps:1Totalsolveriterations:184090VariableValueS11000500.S2418680.0S344000.00T(1)6.000000T(2)3.000000T(3)3.000000T(4)2.000000T(5)4.000000T(6)4.000000T(7)2.000000X(1)12000.00X(2)32000.00X(3)25000.00X(4)36000.00X(5)25000.00X(6)30000.00X(7)18000.00QMIN(1)750.0000QMIN(2)1000.000QMIN(3)1200.000QMIN(4)1800.000QMAX(1)1750.000QMAX(2)1500.000QMAX(3)2000.000QMAX(4)3500.000G(1)2250.000G(2)1800.000G(3)3750.000G(4)4800.000B(1)2.700000B(2)2.200000B(3)1.800000B(4)3.800000D(1)5000.000D(2)1600.000D(3)2400.000D(4)1200.000M(1)10.00000M(2)4.000000M(3)8.000000M(4)3.000000N(1,1)0.000000N(1,2)4.000000N(1,3)3.000000N(1,4)0.000000N(2,1)2.000000N(2,2)4.000000N(2,3)8.000000N(2,4)3.000000N(3,1)2.000000N(3,2)4.000000N(3,3)8.000000N(3,4)1.000000N(4,1)2.000000N(4,2)4.000000N(4,3)8.000000N(4,4)3.000000N(5,1)2.000000N(5,2)4.000000N(5,3)8.000000N(5,4)1.000000N(6,1)2.000000N(6,2)4.000000N(6,3)8.000000N(6,4)3.000000N(7,1)0.000000N(7,2)4.000000N(7,3)6.000000N(7,4)0.000000Q(1,1)0.000000Q(1,2)1500.000Q(1,3)2000.000Q(1,4)0.000000Q(2,1)1750.000Q(2,2)1500.000Q(2,3)2000.000Q(2,4)2166.667Q(3,1)750.0000Q(3,2)1425.000Q(3,3)2000.000Q(3,4)1800.000Q(4,1)1750.000Q(4,2)1500.000Q(4,3)2000.000Q(4,4)3500.000Q(5,1)750.0000Q(5,2)1425.000Q(5,3)2000.000Q(5,4)1800.000Q(6,1)1300.000Q(6,2)1500.000Q(6,3)2000.000Q(6,4)1800.000Q(7,1)0.000000Q(7,2)1500.000Q(7,3)2000.000Q(7,4)0.000000P(1,1)751.2593P(1,2)1500.000P(1,3)2000.000P(1,4)1801.333P(2,1)1750.000P(2,2)1500.000P(2,3)2000.000P(2,4)2166.667P(3,1)750.0000P(3,2)1425.000P(3,3)2000.000P(3,4)1800.000P(4,1)1750.000P(4,2)1500.000P(4,3)2000.000P(4,4)3500.000P(5,1)750.0000P(5,2)1425.000P(5,3)2000.000P(5,4)1800.000P(6,1)1300.000P(6,2)1500.000P(6,3)2000.000P(6,4)1800.000P(7,1)751.8518P(7,2)1500.000P(7,3)2000.000P(7,4)1801.926RowSlackorSurplus11463180.20.00000030.00000040.000000510.0000060.00000075.00000083.00000098.000000100.000000110.000000120.000000138.000000140.000000150.000000162.000000178.000000180.000000190.000000200.000000218.000000220.000000230.000000242.000000258.000000260.000000270.000000280.0000002910.00000300.000000312.000000323.000000330.000000340.000000350.000000360.000000370.000000380.000000390.000000400.000000410.000000420.000000430.000000440.000000450.000000460.000000470.000000480.000000490.000000500.000000510.000000520.000000530.000000540.000000550.000000560.000000570.000000580.000000590.000000600.000000610.000000620.000000630.000000640.000000650.000000660.000000670.000000附錄二:模型二求解的Lingo源程序sets:!t為時段，x為需求;shiduan/1..7/:t,x;xinghao/1..4/:qmin,qmax,g,b,d,m;link(shiduan,xinghao):n,q,p;endsetsdata:t=6332442;x=12000320002500036000250003000018000;qmin=750100012001800;qmax=1750150020003500;g=2250180037504800;b=2.72.21.83.8;d=5000160024001200;m=10483;enddatamin=s1+s2+s3;!s1為固定成本，s2為邊際成本，s3為啟動成本;s1=@sum(shiduan(i):@sum(xinghao(j):g(j)*t(i)*n(i,j)));s2=@sum(shiduan(i):@sum(xinghao(j):n(i,j)*t(i)*b(j)*(q(i,j)-qmin(j))));s3=@sum(xinghao(j):d(j)*n(1,j))+@sum(xinghao(j):@sum(shiduan(i)|i#ge#2:@if(n(i,j)#gt#n(i-1,j),(n(i,j)-n(i-1,j))*d(j),0)));@for(link(i,j):n(i,j)<=m(j));@for(shiduan(i):@sum(xinghao(j):q(i,j)*n(i,j))*0.8>=x(i));@for(link:@gin(n));@for(link(i,j):q(i,j)=@if(n(i,j)#eq#0,0,p));@for(link(i,j):@bnd(qmin(j),p,qmax(j)));end運行結(jié)果:Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:1885420.Objectivebound:1885420.Infeasibilities:0.000000Extendedsolversteps:1Totalsolveriterations:197281VariableValueS11275300.S2539720.0S370400.00T(1)6.000000T(2)3.000000T(3)3.000000T(4)2.000000T(5)4.000000T(6)4.000000T(7)2.000000X(1)12000.00X(2)32000.00X(3)25000.00X(4)36000.00X(5)25000.00X(6)30000.00X(7)18000.00QMIN(1)750.0000QMIN(2)1000.000QMIN(3)1200.000QMIN(4)1800.000QMAX(1)1750.000QMAX(2)1500.000QMAX(3)2000.000QMAX(4)3500.000G(1)2250.000G(2)1800.000G(3)3750.000G(4)4800.000B(1)2.700000B(2)2.200000B(3)1.800000B(4)3.800000D(1)5000.000D(2)1600.000D(3)2400.000D(4)1200.000M(1)10.00000M(2)4.000000M(3)8.000000M(4)3.000000N(1,1)1.000000N(1,2)4.000000N(1,3)4.000000N(1,4)0.000000N(2,1)7.000000N(2,2)4.000000N(2,3)8.000000N(2,4)3.000000N(3,1)7.000000N(3,2)4.000000N(3,3)8.000000N(3,4)2.000000N(4,1)8.000000N(4,2)4.000000N(4,3)8.000000N(4,4)3.000000N(5,1)6.000000N(5,2)4.000000N(5,3)8.000000N(5,4)3.000000N(6,1)6.000000N(6,2)4.000000N(6,3)8.000000N(6,4)3.000000N(7,1)1.000000N(7,2)4.000000N(7,3)8.000000N(7,4)0.000000Q(1,1)1000.000Q(1,2)1500.000Q(1,3)2000.000Q(1,4)0.000000Q(2,1)1750.000Q(2,2)1500.000Q(2,3)2000.000Q(2,4)1916.667Q(3,1)807.1429Q(3,2)1500.000Q(3,3)2000.000Q(3,4)1800.000Q(4,1)1750.000Q(4,2)1500.000Q(4,3)2000.000