第一節(jié)單因素方差分析第一頁，共二十四頁，2022年，8月28日【例1】某化肥生產(chǎn)商要檢驗三種新產(chǎn)品的效果，在同一地區(qū)選取18塊大小相同，土質(zhì)相近的農(nóng)田中播種同樣的種子，用等量的甲乙丙化肥各施于六塊農(nóng)田，試驗結(jié)果每塊農(nóng)田的糧食產(chǎn)量如下所示．

試根據(jù)試驗數(shù)據(jù)推斷甲乙丙三種化肥的肥效是否存在差異．產(chǎn)量甲化肥504649524848乙化肥495047474649丙化肥5150494650505.1.1單因素方差分析的問題第二頁，共二十四頁，2022年，8月28日本例中，只考慮化肥這一個因素(記為A)對糧食產(chǎn)量的影響，三種不同的化肥稱為該因素的三個不同水平（分別記為A1，A2，A3）．從表中數(shù)據(jù)看出，即使是施同一種化肥，由于隨機因素（溫度，濕度等）的影響，產(chǎn)量也不同．第三頁，共二十四頁，2022年，8月28日因而有：

(1)糧食產(chǎn)量是隨機變量，是數(shù)值型的變量；

(2)把同一化肥(A的同一水平)得到的糧食產(chǎn)量看作同一總體抽得的樣本，施用不同化肥得到的糧食產(chǎn)量視為不同總體下抽得的樣本，表中數(shù)據(jù)應看成從三個總體X1，X2，X3中分別抽了容量為6的樣本的觀測值.

推斷甲乙丙三種化肥的肥效是否存在差異的問題，就是要辨別糧食產(chǎn)量之間的差異主要是由隨機誤差造成的，還是由不同化肥造成的，這一問題可歸結(jié)為三個總體是否有相同分布的討論．第四頁，共二十四頁，2022年，8月28日由于在實際中有充分的理由認為糧食產(chǎn)量服從正態(tài)分布,且在安排試驗時,除所關心的因素(這里是化肥)外,其它試驗條件總是盡可能做到一致.

這使我們可以認為每個總體的方差相同即Xi～N(i,σ2)i=1,2,3

因此，推斷三個總體是否具有相同分布的問題就簡化為：檢驗幾個具有相同方差的正態(tài)總體均值是否相等的問題，即只需檢驗H0：

1=

2=

3第五頁，共二十四頁，2022年，8月28日因此，推斷三個總體是否具有相同分布的問題就簡化為：檢驗幾個具有相同方差的正態(tài)總體均值是否相等的問題，即只需檢驗H0：

1=

2=

3

象這類檢驗若干同方差的正態(tài)總體均值是否相等的一種統(tǒng)計分析方法稱為方差分析．當只有兩個正態(tài)總體時，這類問題也可以用第八章講過的兩正態(tài)總體均值比較的方法來解決．第六頁，共二十四頁，2022年，8月28日5.1.2單因素方差分析的數(shù)學模型進行單因素方差分析時，需要得到如表1所示的數(shù)據(jù)結(jié)構．

第七頁，共二十四頁，2022年，8月28日

表中用A表示因素，A的m個取值稱為m個水平分別用A1，A2，…，Am表示，每個水平對應一個總體．從不同水平（總體）中抽出的樣本容量可以相同，也可以不同．若不同水平抽出的樣本容量相同則稱為均衡數(shù)據(jù)，否則稱非均衡數(shù)據(jù)．觀測值（j）A因素（i）A1A2…Am1x11x21…xm12x12x22…xm2……………ni…平均值表1單因素方差分析中數(shù)據(jù)結(jié)構第八頁，共二十四頁，2022年，8月28日設xij表示第i個總體的第j個觀測值(j=1,2,…，ni，i=1，2，…，m),由于，i=1,2,…,m單因素方差分析模型?？杀硎緸椋簒ij=i+ij

，相互獨立，1≤i≤m，1≤j≤ni.其中i表示第i個總體的均值，ij為隨機誤差．

第九頁，共二十四頁，2022年，8月28日5.1.3方差分析的方法為了方便起見，可將i記為：i=+i其中稱為總均值,i=i–(i=1,2,…,m)稱為因素A的第i個水平的附加效應.對不同水平下均值是否相同的檢驗H0：1=2=…=m，H1：1，2，…，m不全相等；就可以表示為：H0：1=2=…=m=0，

H1：1，2，…，m不全為零．第十頁，共二十四頁，2022年，8月28日下面簡單介紹檢驗統(tǒng)計量及檢驗方法．以表示所有xij的總平值，表示第i組數(shù)據(jù)的組內(nèi)平均值，即其中n=n1+n2+…+nm．統(tǒng)計量：稱為總離差平方和，或簡稱總平方和.它反映了全部試驗數(shù)據(jù)之間的差異．第十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日另外反映了每組數(shù)據(jù)均值和總平均值的誤差，稱為組間離差平方和，簡稱組間平方和，或稱因素A平方和．反映了組內(nèi)數(shù)據(jù)和組內(nèi)平均的隨機誤差，稱為組內(nèi)離差平方和，或稱為誤差平方和．第十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日可以證明SST=SSMA+SSE構造檢驗統(tǒng)計量可以證明，在H0成立下第十三頁，共二十四頁，2022年，8月28日當原假設成立時，各總體均值相等，各樣本均值間的差異應該較小，模型平方和也應較小，F(xiàn)統(tǒng)計量取很大值應該是稀有的情形．所以對給定顯著性水平

(0,1)，H0的拒絕域為：若由觀測數(shù)據(jù)xij(j=1,2,…,ni，i=1,2,…,m)計算得到F的觀測值為F0,當F0落入拒絕域時拒絕原假設H0,可以認為因素A對響應變量有顯著影響；否則不能拒絕H0，認為因素A對響應變量無顯著影響．第十四頁，共二十四頁，2022年，8月28日另外，F(xiàn)統(tǒng)計量的P值為P=P{F

F0}，在顯著水平下，若P=P{F

F0}<,則拒絕原假設H0,可以認為所考慮的因素對響應變量有顯著影響；否則不能拒絕H0,認為所考慮的因素對響應變量無顯著影響．通常將上述計算結(jié)果表示為方差分析表．其中，MSA=SSMA/(m–1)，MSE=SSE/(n–m)．利用方差分析表中的信息，就可以對因素各水平間的差異是否顯著做出判斷．來源Source平方和SunofSquare自由度DF平均平方和MeanSquareF統(tǒng)計量FvalueP值Pr>F組間SSMAm–1SSMA/(m–1)MSA/MSEP組內(nèi)SSEn–mSSE/(n–m)全部SSMA+SSEn–1第十五頁，共二十四頁，2022年，8月28日【實驗1】利用Excel的數(shù)據(jù)分析工具對例1作方差分析．

Excel的數(shù)據(jù)分析工具作方差分析的步驟如下：

(1)將例1中數(shù)據(jù)輸入Excel中，如圖1所示．

(2)在Excel主菜單中選擇“工具”“數(shù)據(jù)分析”，打開“數(shù)據(jù)分析”對話框，在“分析工具”列表中選擇“方差分析：單因素方差分析”選項，單擊“確定”按鈕．

第十六頁，共二十四頁，2022年，8月28日(3)在打開的“方差分析：單因素方差分析”對話框中，輸入“輸入?yún)^(qū)域”：B2:D8，“分組方式”取默認的“列”方式，選中“標志位于第一行”復選框，如圖2所示，單擊“確定”按鈕．得到單因素方差分析的結(jié)果如圖3所示．

第十七頁，共二十四頁，2022年，8月28日

(4)結(jié)果分析．第一部分“SUMMARY”提供擬合模型的一般信息，包括各分組的名稱、觀測數(shù)、和、均值和方差，如圖3所示．第二部分為方差分析表，其中各項含義可參見表的說明．最右邊多了一列：在

=0.05的顯著水平下，單因素方差分析F檢驗的臨界值（即F統(tǒng)計量的上分位點：F）．

第十八頁，共二十四頁，2022年，8月28日從方差分析表可以看出，P值大于0.05（顯著水平），所以不能拒絕原假設，沒有足夠的證據(jù)證明三種化肥的肥效有顯著差異．

第十九頁，共二十四頁，2022年，8月28日【例2】為了對幾個行業(yè)的服務質(zhì)量進行評價，消費者協(xié)會在零售業(yè)、旅游業(yè)、航空公司、家電制造業(yè)分別抽取了不同的企業(yè)作為樣本．每個行業(yè)各抽取5家企業(yè),所抽取的這些企業(yè)在服務對象、服務內(nèi)容、企業(yè)規(guī)模等方面基本上是相同的．然后統(tǒng)計出最近一年中消費者對總共20家企業(yè)投訴的次數(shù)結(jié)果如下：行業(yè)投訴次數(shù)零售業(yè)5766494044旅游業(yè)6839294556航空公司3149213440家電制造業(yè)4451657758第二十頁，共二十四頁，2022年，8月28日通常，受到投訴的次數(shù)越多，說明服務的質(zhì)量越差．消費者協(xié)會想知道這幾個行業(yè)之間的服務質(zhì)量是否有顯著差異，試進行方差分析.

本例采用單因素方差分析法，只考慮行業(yè)這一個因素對投訴次數(shù)的影響，四個不同的行業(yè)稱為該因素的四個不同水平．原假設是：不同行業(yè)對服務質(zhì)量的投訴次數(shù)沒有顯著差異．

行業(yè)投訴次數(shù)零售業(yè)5766494044旅游業(yè)6839294556航空公司3149213440家電制造業(yè)4451657758第二十一頁，共二十四頁，2022年，8月28日【實驗2】利用Excel的數(shù)據(jù)分析工具對例2作方差分析．

(1)將數(shù)據(jù)輸入Excel中，如圖所示．

(2)在Excel主菜單中選擇“工具”“數(shù)據(jù)分析”，打開“數(shù)據(jù)分析”對話框，在“分析工具”列表中選擇“方差分析：單因素方差分析”選項，單擊“確定”按鈕．

第二十二頁，共二十四頁，2022年，8月28日(3)在打開的“方差分析：單因素方差分析”對話框中，輸入“輸入?yún)^(qū)域”：A2:D7，“分組方式”取默認的“列”方式