2023年數(shù)學(xué)中考一輪復(fù)習(xí)--特殊的平行四邊形3（正方形）知識(shí)點(diǎn)梳理：知識(shí)點(diǎn)一：特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定關(guān)鍵點(diǎn)撥及對(duì)應(yīng)舉例1.性質(zhì)（具有平行四邊形的一切性質(zhì)，對(duì)邊平行且相等）矩形菱形正方形(1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC;_兩對(duì)全等的等腰三角形.所以經(jīng)常結(jié)合勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)解題.（2）菱形中，有兩對(duì)全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ABC=60°，則△ABC和△ADC為等邊三角形，且四個(gè)直角三角形中都有一個(gè)30°的銳角.（3）正方形中有8個(gè)等腰直角三角形，解題時(shí)結(jié)合等腰直角三角形的銳角為45°，斜邊=直角邊.（1）四個(gè)角都是直角（2）對(duì)角線相等且互相平分.即AO=CO=BO=DO.（3）面積=長(zhǎng)×寬=2S△ABD=4S△AOB.（1）四邊相等（2）對(duì)角線互相垂直、平分，一條對(duì)角線平分一組對(duì)角（3）面積=底×高=對(duì)角線_乘積的一半(1)四條邊都相等，四個(gè)角都是直角(2)對(duì)角線相等且互相垂直平分(3)面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)=2S△ABD=4S△AOB2.判定（1）定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形（2）有三個(gè)角是直角（3）對(duì)角線相等的平行四邊形（1）定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形（2）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形（3）四條邊都相等的四邊形（1）定義法：有一個(gè)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形（2）一組鄰邊相等的矩形（3）一個(gè)角是直角的菱形（4）對(duì)角線相等且互相垂直、平分例：判斷正誤.鄰邊相等的四邊形為菱形.（）有三個(gè)角是直角的四邊形式矩形.（）對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形.（）對(duì)邊相等的矩形是正方形.（）3.聯(lián)系包含關(guān)系：知識(shí)點(diǎn)二：特殊平行四邊形的拓展歸納4.中點(diǎn)四邊形（1）任意四邊形多得到的中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形.（2）對(duì)角線相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是矩形.（3）對(duì)角線互相垂直的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是菱形.（4）對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是正方形.如圖，四邊形ABCD為菱形，則其中點(diǎn)四邊形EFGD的形狀是矩形.5.特殊四邊形中的解題模型（1）矩形：如圖①，E為AD上任意一點(diǎn)，EF過(guò)矩形中心O，則△AOE≌△COF,S1=S2.（2）正方形:如圖②，若EF⊥MN，則EF=MN;如圖③，P為AD邊上任意一點(diǎn)，則PE+PF=AO.（變式：如圖④，四邊形ABCD為矩形，則PE+PF的求法利用面積法，需連接PO.）圖①圖②圖③圖④配套精練：一、單選題1．如圖，在學(xué)習(xí)“四邊形”一章時(shí)，小明的書(shū)上有一圖因不小心被滴上墨水，看不清所印的字，請(qǐng)問(wèn)被墨跡遮蓋了的文字應(yīng)是（）A．四邊形 B．梯形 C．矩形 D．菱形2．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．四邊相等的四邊形是菱形B．對(duì)角線相等的矩形是正方形C．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形D．對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形3．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于，點(diǎn)P在上，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．4．如圖，已知在正方形ABCD中，點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)的射線OM、ON分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于點(diǎn)P，則下面結(jié)論中：①圖形中全等的三角形只有三對(duì)；②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；④BE+BF=OA；⑤=2OP·OB．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)5．如圖，正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，，，與交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N．有如下結(jié)論：①；②；③；④．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)B、點(diǎn)A，以線段為邊作正方形，且點(diǎn)C在反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為（）A． B． C． D．7．如圖，點(diǎn)B、C分別在直線y＝2x和y＝kx上，點(diǎn)A，D是x軸上的兩點(diǎn)，已知四邊形ABCD是正方形，則k的值為（）A． B． C．1 D．8．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，已知BE＝1，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)G與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，連結(jié)BG并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F，則GF的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．9．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于點(diǎn)D，以AB為邊作矩形ABEF，使得AF＝AD，延長(zhǎng)CD，交EF于點(diǎn)G，作AN⊥AC交GF于點(diǎn)N，作MN⊥AN交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，MN分別交BE，DG于點(diǎn)H、P，若NP=HP，NF=1，則四邊形ABMN的面積為（）A．3 B．2.5 C．3.5 D．10．兩個(gè)邊長(zhǎng)都是2的正方形與正方形，位置關(guān)系如圖所示，其中是正方形的中心，當(dāng)正方形以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，設(shè)兩個(gè)正方形重疊部分（陰影部分）的面積為，則（）A． B．C． D．隨旋轉(zhuǎn)而變化二、填空題11．如圖，點(diǎn)E為正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，且，則的度數(shù)為.12．平行四邊形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：．使得平行四邊形為正方形．13．命題“對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形”成為真命題，須添加一個(gè)條件，你認(rèn)為應(yīng)添加的這個(gè)條件是：。14．如圖，以正方形ABCD的邊AB為一邊向內(nèi)作等邊△ABE，連結(jié)DE，則∠BED=.15．一個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2，則其周長(zhǎng)為．16．邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為；如圖，在中，若，則的度數(shù)為．17．如圖所示，在正方形ABCD中，以AB為邊向正方形外作等邊三角形ABE，連接CE、BD交于點(diǎn)G，連接AG，那么∠AGD的底數(shù)是度．18．如圖，正方形ABCD中，AD＝，已知點(diǎn)E是邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合）將△ADE沿DE對(duì)折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P，當(dāng)△APB是等腰三角形時(shí)，線段AE=.三、解答題19．如圖，E是正方形ABCD對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，求證：AE＝CE．20．如圖，四邊形是正方形，對(duì)角線、相交于點(diǎn)F，，.求證：四邊形是正方形.21．如圖，在正方形ABCD中，AE、BF相交于點(diǎn)O且AF＝DE．求證：∠DAE＝∠ABF．22．如圖，在正方形ABCD中，CE=CF，求證：△AEF是等腰三角形.23．如圖，是的垂直平分線，交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，已知．求證：四邊形是正方形．24．正方形的邊長(zhǎng)為2，建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，使它的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），并寫(xiě)出另外三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】由題意，得被墨跡遮蓋了的文字應(yīng)是矩形，故答案為：C.【分析】有一組鄰邊相等的矩形是正方形；有一個(gè)角是直角的菱形是正方形，圖中已有菱形，那么另一個(gè)表中應(yīng)是矩形.2．【答案】B【解析】【解答】解：A.四邊相等的四邊形是菱形，正確，不合題意；B.對(duì)角線相等的矩形是正方形，錯(cuò)誤,符合題意；C.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，正確，不合題意；D.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，正確，不合題意.故答案為：B.【分析】根據(jù)菱形的判斷方法：①四邊相等的四邊形是菱形，②對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，③一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；正方形的判斷方法：對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形即可一一判斷得出答案.3．【答案】B【解析】【解答】解：連接OB，OC，如圖，∵正方形ABCD內(nèi)接于，∴∴故答案為：B.【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可知∠BOC為90°，然后根據(jù)同圓中圓周角和圓心角的關(guān)系求∠P即可.4．【答案】B【解析】【解答】△ACD≌△ACB、△AOB≌△COB、△BOE≌△COF、△AOE≌△BOF，則①不符合題意；根據(jù)△BOE≌△COF可得OE=OF，則△EOF是等腰直角三角形，則②符合題意；四邊形OEBF的面積等于△BOC的面積，則正方形的面積是△BOC面積的4倍，則③符合題意；根據(jù)BE+BF=FC+BF=BC，根據(jù)△BOC為等腰直角三角形可得BC=OC=OA，則④符合題意；+=，則⑤不符合題意.

【分析】由正方形的性質(zhì)和已知條件得出圖形中全等的三角形有四對(duì)，得出①不正確；由△AOE≌△BOF，得出對(duì)應(yīng)邊相等OE=OF，得出②正確；由△AOE≌△BOF，得出四邊形OEBF的面積=△ABO的面積=正方形ABCD的面積，得出③正確；由△BOE≌△COF，得出BE=CF，得出BE+BF=AB=OA，得出④正確；由△AOE≌△BOF，得出AE=BF，得出+=，得出⑤不正確。5．【答案】C【解析】【解答】解：正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∵AF=DE，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠AFD=∠DEC，∵∠ADF+∠AFD=90°，∴∠ADF+∠DEC=90°，∴∠DME=90°，∴CE⊥DF，故①正確；設(shè)AF=2，則FB=4，AB=CD=AD=6，∴，∵ABCD，∴△AFN∽△CDN，∴，∴，解得，∴，∴，故②正確；設(shè)△ANF的面積為m，∵ABCD，∴，△AFN∽△CDN，∴△AND的面積為3m，△CDN的面積為9m，∴△ADC的面積=△ABC的面積=12m，∴，故③錯(cuò)誤；由題可知，四邊形為正方形，，故④正確．故答案為：C.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，由已知條件可知AF=DE，證明△ADF≌△DCE，得到∠AFD=∠DEC，結(jié)合∠ADF+∠AFD=90°可得∠DME=90°，據(jù)此判斷①；設(shè)AF=2，則FB=4，AB=CD=AD=6，易證△AFN∽△CDN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AN，據(jù)此判斷②；設(shè)△ANF的面積為m，根據(jù)平行線分線段成比例的性質(zhì)可得，易證△AFN∽△CDN，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可判斷③；根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠DMC=∠DAF=90°，證明△CDM∽△DFA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可判斷④.6．【答案】A【解析】【解答】解：∵一次函數(shù)中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0＋3＝3，∴A（0，3），∴OA＝3；∵當(dāng)y＝0時(shí)，0＝，∴x＝?2，∴B（?2，0），∴OB＝2；過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∵∠CBE＋∠ABO＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO.在△AOB和△BEC中，∠CBE=∠BAO∠BEC=∠AOB∴△AOB≌△BEC（AAS），∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝2，∴OE＝2＋3＝5，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，2），∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)（x＜0）圖象上，∴k＝?5×2＝?10.故答案為：A.

【分析】由求出A、B的坐標(biāo)，即得OA、OB的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于E，根據(jù)AAS證明△AOB≌△BEC，可得BE＝AO＝3，CE＝OB＝2，從而求出OE＝5，即得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)C坐標(biāo)代入（x＜0）中，即可求出k值.

7．【答案】B【解析】【解答】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，則B的縱坐標(biāo)是a，把點(diǎn)B的縱坐標(biāo)代入直線y＝2x的解析式，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，a），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，a），把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入y＝kx中得，a＝k（），解得k＝，故答案為：B.【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，根據(jù)正方形的性質(zhì)分別表示出B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再將C的坐標(biāo)代入函數(shù)中從而可求得k的值.8．【答案】B【解析】【解答】解：如圖所示：設(shè)BF與AE相交于M，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵△ABE沿AE折疊得到△AGE，∴AE是線段BG的垂直平分線，∴∠EMB＝90°，∴∠EBM+∠BEM＝90°，∵∠BAE+∠BEM＝90°，∴∠EBM＝∠BAE，在Rt△ABE和Rt△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（ASA），∴CF＝BE＝1，∴，又∵∠EBM＝∠FBC，∠BME＝∠BCF，∴△EBM∽△FBC，∴，即，∴，∴BG＝2BM＝，∴FG＝BF﹣BG＝3﹣，故答案為：B.【分析】設(shè)BF與AE相交于M，由ASA證明Rt△ABE≌Rt△BCF，可得CF＝BE＝1，利用勾股定理求出BF的長(zhǎng)，證明△EBM∽△FBC可得，據(jù)此求出BM的長(zhǎng)，利用折疊的性質(zhì)求出BG＝2BM，利用FG＝BF﹣BG即可求解.9．【答案】B【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，∠F＝90°，∴∠ADC＝∠F＝90°，∵AN⊥AC，∠DAF＝90°，∴∠FAN+∠DAN＝∠DAC+∠DAN＝90°，∴∠FAN＝∠DAC．在△ADC和△AFN中，，∴△ADC≌△AFN（ASA），∴CD＝FN＝1，AC＝AN．∵AN⊥AC，MN⊥AN，∴∠ACB＝∠CAN＝∠ANM＝90°，∴四邊形ACMN是矩形，∴四邊形ACMN是正方形，∵∠CDB＝∠DBE＝90°，∴CGBE，又∵NP＝PH，∴NG＝GE，設(shè)NG＝GE＝x，則FG＝1+x＝AD，DB＝GE＝x，∵Rt△ACB中，CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCD∴△ADC∽△CDB，∴．∴CD2＝AD·DB，∴12＝（1+x）x，即x2+x＝1．四邊形ABMN的面積＝S正方形ACMN﹣S△ABC＝AC2﹣＝（AD2+CD2）﹣＝（1+x）2+12﹣＝x2+x+1.5＝1+1.5＝2.5．故答案為：B.【分析】根據(jù)垂直的概念可得∠ADC＝∠F＝90°，根據(jù)同角的余角相等可得∠FAN＝∠DAC，證明△ADC≌△AFN，得到CD＝FN＝1，AC＝AN，易得四邊形ACMN是正方形，得到∠CDB＝∠DBE＝90°，推出NG＝GE，設(shè)NG＝GE＝x，則FG＝1+x＝AD，DB＝GE＝x，證明△ADC∽△CDB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得x2+x＝1，然后根據(jù)S四邊形ABMN＝S正方形ACMN-S△ABC進(jìn)行計(jì)算.10．【答案】B【解析】【解答】解：連接OC、OD設(shè)OG、DC交于點(diǎn)M，BC、OE交于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD和四邊形OEFG都是邊長(zhǎng)為2的正方形，∴∴∠即∠在△和△中，∠DOM=∠CON∴△∴∴∵∴故答案為：B.【分析】如圖：連接OC、OD，設(shè)OG、DC交于點(diǎn)M，OE、BC交于點(diǎn)N，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得OC=OD，∠ODM=∠OCN=45°，∠DOC=∠GOE=90°，S△DOC=S正方形ABCD，根據(jù)同角的余角相等可得∠DOM=∠CON，證明△DOM≌△CON，得到S△DOM=S△OCN，推出S=S正方形ABCD，然后結(jié)合正方形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.11．【答案】22.5°【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，∴BC＝AB，∠DBC＝45°，∠BCD=90°∵BE＝BA，∴BC=BE

∴∠BEC＝∠BCE＝67.5°，∴∠DCE＝∠BCD?∠BCE＝90°?67.5°＝22.5°，故答案為：22.5°.【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得BC＝BA，∠DBC＝45°，∠BCD=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和以及BE＝BC可得∠BCE＝67.5°，由角的和差可得結(jié)果.12．【答案】∠BAD=90°或AC=BD【解析】【解答】解：∵平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，當(dāng)∠BAD=90°時(shí)，平行四邊形ABCD為正方形；當(dāng)AC=BD時(shí)，平行四邊形ABCD為正方形；故答案為：∠BAD=90°或AC=BD．【分析】利用正方形的判定方法求解即可。13．【答案】對(duì)角線互相平分【解析】【解答】解：對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形有可能是菱形；

要想是正方形，對(duì)角線互相垂直平分且相等；

故添加的一個(gè)條件是對(duì)角線互相平分；

故答案為：對(duì)角線互相平分

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和正方形的判定定理即可得出。14．【答案】135o【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∵△ABE是等邊三角形，

∴AE=AB=AD，∠BAE=∠AEB=60o，

∴∠DAE=30°，

∴AED=∠AED=75°，

∴∠BED=∠BAE+∠AED=60°+75°=135o.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=AD，∠BAD=90°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AE=AB=AD，∠BAE=∠AEB=60o，得出∠DAE=30°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出AED=∠AED=75°，即可得出∠BED=∠BAE+∠AED=135o.15．【答案】【解析】【解答】解：由正方形性質(zhì)設(shè)邊長(zhǎng)為a，已知對(duì)角線長(zhǎng)為2，則由勾股定理知：，∴，則周長(zhǎng)為，故答案為：．

【分析】先求出正方形的邊長(zhǎng)為，再利用正方形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可。16．【答案】；【解析】【解答】解：邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)=在中，∵∴故答案為：，【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理即可求出對(duì)角線的長(zhǎng)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，結(jié)合即可得出結(jié)論。17．【答案】60【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°，∵GD＝GD，∴△ADG≌△CDG，∴∠AGD＝∠CGD，∵∠CGD＝∠EGB，∴∠AGD＝∠EGB，∵△ABE是等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°，∴BE＝BC，∠EBC＝150°，∴∠BEC＝∠ECB＝15°，∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°，∴∠AGD＝60°故答案為60．【分析】根據(jù)已知可求得∠BEC的度數(shù)，根據(jù)三角形外角定理可求得∠AGD的度數(shù)．18．【答案】2或【解析】【解答】①當(dāng)時(shí)：由正方形性質(zhì)可得：,由折疊性質(zhì)可得：△APD是等邊三角形;②當(dāng)時(shí)：過(guò)P點(diǎn)作于點(diǎn)F,過(guò)P點(diǎn)作于點(diǎn)G,如下圖所示：四邊形為矩形，又，又在四邊形中：設(shè)，那么由勾股定理可得：解得：【分析】根據(jù)△APB是等腰三角形可以進(jìn)行分類討論：①,此時(shí)根據(jù)折疊的性質(zhì)可以得到△APD是等邊三角形，則,那么,結(jié)合正方形的邊長(zhǎng)便可以求出;②,此時(shí)可以結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解；③,這種情況下是不符合題意得，所以不作考慮；19．【答案】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠A