第十八次課二次型第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日一、二次型及其標準形的概念稱為二次型.第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日只含有平方項的二次型稱為二次型的標準形（或法式）．例如都為二次型；為二次型的標準形.第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日1．用和號表示二、二次型的表示方法第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日取則則二次型可以表示為二次型用和號表示二、二次型的表示方法第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日令則其中為對稱矩陣。二次型的矩陣表示（重點）注1、對稱矩陣A的寫法：A一定是方陣。2、其對角線上的元素恰好是的系數(shù)。3、的系數(shù)的一半分給可保證第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日解例１第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日例如：二次型注：二次型對稱矩陣把對稱矩陣稱為二次型的矩陣也把二次型稱為對稱矩陣的二次型對稱矩陣的秩稱為二次型的秩二次型定義2：第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日設(shè)三化二次型為標準形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標準形．第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日定義6.12（正交變換）y=(y1,y2,…,yn)T,x=(x1,x2,…,xn)T,如果Q為正交矩陣，則稱線性變換y=Qx為正交變換.設(shè)y=Qx是歐氏空間V的一個線性變換，定理6.7設(shè)y=Qx是正交變換，則y=Qx保持向量的內(nèi)積不變，y=Qx保持向量的長度不變.證明設(shè)y=Qx，QTQ=E.設(shè)y1=Qx1，y2=Qx2于是，正交變換保持向量內(nèi)積不變.得到，向量長度經(jīng)正交變換不變.特別地，令y1=y2，可有第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日證明即為對稱矩陣.第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日(1)自反性：A與A合同；(2)對稱性：若B與

A合同，則A與B合同;(3)傳遞性：若A與B合同,B

與C合同，則A與C合同.矩陣的合同等價相當于二次型可以互化(也稱二次型等價).性質(zhì)6.5在實對稱集合中，合同關(guān)系是一個等價關(guān)系，即第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日說明第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日用正交變換化二次型為標準形的具體步驟3對每一個特征值λi,

解方程(λiE-A)X=0,求出基礎(chǔ)解系，利用施密特正交化方法將基礎(chǔ)解系正交化，然后單位化。第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日解例3第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日通過正交變換Ｘ＝ＰＹ化為標準型，求a,b的值及正交矩陣Ｐ．解：f的矩陣Ａ及標準型的矩陣Λ分別為：由已知條件知：

P-1AP=PTAP=Λ故Ａ相似于對角陣Λ，所以｜Ａ｜＝｜Λ｜

tr(A)=tr(Λ)即：-(b-1)2=0

a+2=5解得：a=3,b=1

由Ａ相似于對角陣Λ，得Ａ的特征值為λ1=0，λ2=1,λ3=4．對于λ1=0，解方程組

(0E-A)X=0得基礎(chǔ)解系例3

已知二次型第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日例3

已知二次型通過正交變換Ｘ＝ＰＹ化為標準型，求a,b的值及相似變換矩陣Ｐ．把ξ１單位化，得對應于λ1=0的單位特征向量類似可得對應于λ２=１的單位特征向量為：對應于λ３=４的單位特征向量為：所求的正交矩陣為第二十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日五、小結(jié)

1.實二次型的化簡問題，在理論和實際中經(jīng)常遇到，通過在二次型和對稱矩陣之間建立一一對應的關(guān)系，將二次型的化簡轉(zhuǎn)化為將對稱矩陣化為對角矩陣，而這是已經(jīng)解決了的問題，請同學們注意這種研究問題的思想方法．

2.實二次型的化簡，并不局限于使用正交矩陣，根據(jù)二次型本身的特點，可以找到某種運算更快的可逆變換．下一節(jié)，我們將介紹另一種方法——拉格朗日配