學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第1講數(shù)列的概念及簡單表示法基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1。數(shù)列0，1，0，－1,0，1，0，－1，…的一個通項(xiàng)公式是an等于(）A。eq\f((－1）n＋1,2) B.coseq\f(nπ,2)C.coseq\f（n＋1,2)π D.coseq\f(n＋2,2)π解析令n＝1，2，3，…,逐一驗(yàn)證四個選項(xiàng)，易得D正確。答案D2。數(shù)列eq\f(2,3)，－eq\f(4，5）,eq\f(6,7），－eq\f（8,9）,…的第10項(xiàng)是(）A.－eq\f（16，17) B.－eq\f(18，19） C。－eq\f(20,21） D.－eq\f（22，23)解析所給數(shù)列呈現(xiàn)分?jǐn)?shù)形式，且正負(fù)相間,求通項(xiàng)公式時,我們可以把每一部分進(jìn)行分解：符號、分母、分子.很容易歸納出數(shù)列{an｝的通項(xiàng)公式an＝(－1）n＋1·eq\f（2n,2n＋1)，故a10＝－eq\f（20，21)。答案C3。(2017·紹興一中檢測）在數(shù)列{an}中，已知a1＝1,an＋1＝2an＋1,則其通項(xiàng)公式an＝（)A。2n－1 B。2n－1＋1C。2n－1 D。2（n－1)解析法一由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7,a4＝15，…，驗(yàn)證可知an＝2n－1.法二由題意知an＋1＋1＝2（an＋1)，∴數(shù)列｛an＋1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.答案A4.數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n≥2時，an等于（）A。2n－1 B。n2C.eq\f(（n＋1）2,n2) D.eq\f(n2,（n－1）2)解析設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則Tn＝n2,當(dāng)n≥2時，an＝eq\f（Tn,Tn－1)＝eq\f（n2，(n－1）2）。答案D5。數(shù)列｛an｝滿足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，則a8－a4＝（)A。7 B.6 C。5 D.4解析依題意得（an＋2＋an＋1）－（an＋1＋an）＝[2(n＋1)－3]－（2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋（a6－a4）＝2＋2＝4。答案D二、填空題6。若數(shù)列｛an}滿足關(guān)系an＋1＝1＋eq\f(1,an）,a8＝eq\f(34,21),則a5＝________.解析借助遞推關(guān)系，則a8遞推依次得到a7＝eq\f(21，13),a6＝eq\f(13,8），a5＝eq\f（8,5).答案eq\f（8，5)7。(2017·紹興月考)已知數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋2n＋1（n∈N＊)，則a1＝________;an＝________.解析當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此an＝eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（4，n＝1，，2n＋1，n≥2。）)答案4eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(4，n＝1，,2n＋1，n≥2））8。（2017·嘉興七校聯(lián)考)已知數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an≠0（n∈N＊)，又anan＋1＝Sn，則a3－a1＝________。解析因?yàn)閍nan＋1＝Sn，所以令n＝1得a1a2＝S1＝a1，由于a1≠0，則a2＝1,令n＝2，得a2a3＝S2＝a1＋a2，即a3＝1＋a1,所以a3－a1＝1.答案1三、解答題9.數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式是an＝n2－7n＋6.(1）這個數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？(2）150是不是這個數(shù)列的項(xiàng)？若是這個數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？（3）該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始各項(xiàng)都是正數(shù)?解(1)當(dāng)n＝4時，a4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150,解得n＝16或n＝－9（舍去)，即150是這個數(shù)列的第16項(xiàng).(3)令an＝n2－7n＋6＞0,解得n＞6或n＜1(舍)?！鄰牡?項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù)。10。已知數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n＋2,3)an.（1）求a2，a3；（2）求｛an}的通項(xiàng)公式。解（1）由S2＝eq\f（4,3)a2得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3.由S3＝eq\f(5，3）a3得3（a1＋a2＋a3）＝5a3，解得a3＝eq\f(3,2）(a1＋a2)＝6。（2）由題設(shè)知a1＝1。當(dāng)n≥2時，有an＝Sn－Sn－1＝eq\f（n＋2,3）an－eq\f（n＋1,3)an－1,整理得an＝eq\f（n＋1,n－1)an－1.于是a1＝1，a2＝eq\f(3,1）a1，a3＝eq\f（4,2）a2,……an－1＝eq\f（n,n－2)an－2，an＝eq\f（n＋1，n－1）an－1.將以上n個等式兩端分別相乘，整理得an＝eq\f（n（n＋1)，2)。顯然，當(dāng)n＝1時也滿足上式。綜上可知，{an｝的通項(xiàng)公式an＝eq\f(n（n＋1）,2）.能力提升題組(建議用時：25分鐘)11.設(shè)an＝－3n2＋15n－18，則數(shù)列{an｝中的最大項(xiàng)的值是（）A.eq\f（16，3） B.eq\f（13,3） C.4 D。0解析∵an＝－3eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（n－\f(5，2）))eq\s\up12（2）＋eq\f(3,4),由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n＝2或3時，an最大，最大為0.答案D12。(2017·石家莊質(zhì)檢)已知數(shù)列{an｝滿足an＋2＝an＋1－an，且a1＝2,a2＝3,則a2016的值為________.解析由題意得，a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－2，a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝2，∴數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，而2016＝6×336，∴a2016＝a6＝－1。答案－113.（2017·金麗衢十二校聯(lián)考）對于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列｛an｝,如果ai＋i（i＝1,2，3，…)為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列｛an}具有“P性質(zhì)"。不論數(shù)列{an｝是否具有“P性質(zhì)",如果存在與{an}不是同一數(shù)列的{bn}，且{bn｝同時滿足下面兩個條件：①b1，b2，b3,…,bn是a1，a2，a3，…，an的一個排列；②數(shù)列{bn}具有“P性質(zhì)”，則稱數(shù)列{an}具有“變換P性質(zhì)”。下面三個數(shù)列:①數(shù)列{an｝的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f（n,3）(n2－1)；②數(shù)列1，2，3，4，5；③1,2，3,…，11.具有“P性質(zhì)”的為________;具有“變換P性質(zhì)”的為________。解析對于①，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－n,∵a1＝0,∴an＝n2－n，∴ai＋i＝i2(i＝1，2，3，…）為完全平方數(shù),∴數(shù)列{an}具有“P性質(zhì)”；對于②，數(shù)列1，2，3，4，5，具有“變換P性質(zhì)”，數(shù)列｛bn}為3，2，1，5,4，具有“P性質(zhì)"，∴數(shù)列{an}具有“變換P性質(zhì)”;對于③，因?yàn)?1,4都只有與5的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)，所以1，2，3，…，11,不具有“變換P性質(zhì)"。答案①②14.(2017·瑞安市模擬)已知數(shù)列｛an｝中，an＝1＋eq\f（1，a＋2(n－1）)（n∈N＊，a∈R且a≠0).（1)若a＝－7，求數(shù)列{an｝中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值;（2)若對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍.解(1）∵an＝1＋eq\f(1，a＋2（n－1）)(n∈N＊，a∈R，且a≠0),又a＝－7，∴an＝1＋eq\f(1,2n－9）（n∈N＊)。結(jié)合函數(shù)f(x）＝1＋eq\f（1,2x－9)的單調(diào)性，可知1>a1〉a2〉a3>a4，a5>a6>a7>…＞an〉1(n∈N＊).∴數(shù)列｛an｝中的最大項(xiàng)為a5＝2，最小項(xiàng)為a4＝0.(2）an＝1＋eq\f（1,a＋2(n－1）)＝1＋eq\f（\f(1,2)，n－\f（2－a,2）),已知對任意的n∈N*,都有an≤a6成立，結(jié)合函數(shù)f(x）＝1＋eq\f（\f（1，2）,x－\f（2－a，2）)的單調(diào)性,可知5〈eq\f(2－a,2)<6，即－10〈a<－8.即a的取值范圍是（－10，－8)。15.已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝2－bn.（1)求數(shù)列{an｝與{bn｝的通項(xiàng)公式；(2）設(shè)cn＝aeq\o\al(2,n）·bn，證明:當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時，cn＋1＜cn。（1)解當(dāng)n＝1時,a1＝S1＝4。對于n≥2，有an＝Sn－Sn－1＝2n（n＋1)－2(n－1）n＝4n。又當(dāng)n＝1時，a1＝4適合上式，故{an｝的通項(xiàng)公式an＝4n.將n＝1代入Tn＝2－bn,得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1。(求bn法一)對于n≥2，由Tn－1＝2－bn－1，Tn＝2－bn，得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1）,bn＝eq\f（1，2）bn－1，所以數(shù)列{bn｝是以1為首項(xiàng)，公比為eq\f(1，2）的等比數(shù)列,故bn＝21－n。（求bn法二)對于n≥2，由Tn＝2－bn，得Tn＝2－（Tn－Tn－1）,2Tn＝2＋Tn－1,Tn－2＝eq\f(1,2)(Tn－1－2),Tn－2＝21－n(T1－2)＝－21－n,Tn＝2－21－n，bn＝Tn－Tn－1＝(2－21－n）－（2－22－n)＝21－n.又n＝1時，b1＝1適合上式，故{bn}的通項(xiàng)公式bn＝21－n。（2)證明（法一)由cn＝aeq\o\al(2，n）·bn＝n225－n，得eq\f(cn＋1,cn)＝eq\f（1，2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1＋\f（1,n)））eq\s\up12（2)。當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時,1＋eq\f（1，n）