第五章 彎曲應力1．掌握梁彎曲時橫截面上的分布規(guī)律及相應的強度條件；2．了解彎曲時橫截面上切應力的分布規(guī)律；3．了解提高梁彎曲強度的一些措施?；疽?/18/20231§5-1基本概念1．中性層和中性軸MM2/18/20232橫彎曲：（AC、DB段）Fs≠0，M≠0純彎曲：（CD段）Fs=0，M≠02．橫彎曲和純彎曲FFaABCDaFFFaM+FFsF+-2/18/20233變形現(xiàn)象：（1）橫線仍是直線，只是發(fā)生相對轉動，但仍與縱線正交。（2）縱線彎曲成曲線，且梁的一側伸長，另一側縮短。平面假設：梁變形后，橫截面仍保持平面，并垂直于變形后梁的軸線，只是繞著梁上某一軸轉過一個角度。一．試驗與假設§5-2 純彎曲時的正應力

2/18/20234需討論：①正應力沿高度方向的分布規(guī)律；②各點正應力的大小?；炯僭O：①縱向纖維間互不擠壓（無擠壓應力）；②平面假設二．彎曲正應力公式2/18/20235分析梁橫截面上的正應力，就是要確定梁橫截面上各點的正應力與彎矩、橫截面的形狀和尺寸之間的關系。由于橫截面上的應力是看不見的，而梁的變形是可以看見的，應力又和變形有關，因此，可以根據(jù)梁的變形情形推知梁橫截面上的正應力分布。

應力分布應力公式變形應變分布平面假定物理關系靜力方程2/18/20236MMrdqyaaooaayoodx線段aa正應變表明：純彎曲時梁橫截面上各點的縱向線應變沿截面高度線性分布。

建立坐標系：x——截面外法線y——截面對稱軸z——中性軸1、變形幾何關系2/18/20237對于線彈性材料，有胡克定律表明：純彎梁橫截面上任一點處的正應力與該點到中性軸的垂直距離y成正比，即正應力沿著截面高度按線性分布。2、物理關系2/18/20238表明：中性軸z通過截面形心，并且垂直于對稱軸。EIz——截面的抗彎剛度。3、靜力關系2/18/20239實際計算中，可根據(jù)截面上彎矩的方向，直接判斷中性軸的哪一側產生拉應力，哪一側產生壓應力，而不必計及M和y的正負。純彎曲時正應力計算公式

2/18/202310§5-3橫力彎曲時正應力——抗彎截面系數(shù)一．最大彎曲正應力2/18/202311yzbhzydzydD抗彎截面系數(shù)2/18/202312強度計算步驟：（1）求支反力并畫內力圖。（2）判斷梁的危險截面和危險點。（3）求截面圖形的靜矩和慣性矩等。（4）計算危險點的應力。（5）列出強度條件，進行強度計算。利用強度條件，可進行強度校核、截面設計、確定許可載荷。

二．彎曲強度條件脆性材料塑性材料2/18/202313

例5-1矩形截面簡支梁承受均布載荷作用。已知：矩形的寬度b=20mm，高度h＝30mm；均布載荷集度q＝10kN/m

；梁的長度l＝450mm。求：梁最大彎矩截面上1、2兩點處的正應力。

l2/18/202314lFRAFRB2.計算慣性矩解：1.計算最大彎矩2/18/202315于是彎矩最大截面上，1、2兩點的正應力分別為

均布載荷作用在縱向對稱面內，因此橫截面的水平對稱軸(x)就是中性軸。根據(jù)彎矩最大截面上彎矩的方向，可以判斷：1點受拉應力，2點受壓應力。l2/18/202316

例5-2圖示懸臂梁，自由端承受集中載荷F=15kN作用，試計算截面B－B的最大彎曲拉應力與最大彎曲壓應力。BF400B1202012020yCzy截面B－B2/18/202317BF400B1202012020yCzy截面B－B解：1、確定形心位置2、計算慣性矩3、計算B截面的應力2/18/202318

例5-3圓軸在A、B兩處的滾珠軸承可以簡化為鉸鏈支座；軸的外伸部分BD是空心的。軸的直徑和其余尺寸以及軸所承受的載荷都標在圖中。已知的拉伸和壓縮的許用應力相等。試分析：圓軸的強度是否安全。

M(KNm)+-1.170.92/18/202319FRA＝2.93kNFRB=5.07kN解：1.確定約束力MC＝1.17kNmMB＝-0.9kNm2.畫彎矩圖，判斷可能的危險截面M(KNm)+-1.170.93.計算危險截面上的最大正應力C截面：FRAFRB2/18/202320B以右的截面：因此，圓軸的強度是安全的。M(KNm)+-1.170.9C截面：2/18/202321例5-4

簡支梁在跨中受集中載荷F=30kN，l=8m，[s]=120MPa。（1）試為梁選擇工字鋼型號。（2）當F提高為40kN時，原工字鋼型號不變，試問采取什么措施使梁仍能滿足強度條件。Fl/2l/2AB2/18/202322Fl/2l/2AB解：（1）選擇工字鋼的型號選28a工字鋼，（2）當P=40KN時，Bl/2l/2AFa/2a/2CD方法一，加付梁，設總長為a。(+)M2/18/202323方法二，焊接一長度為a，截面為80mm*10mm的鋼板條。Fl/2l/2AB2/18/202324例5-5T形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖所示。鑄鐵的抗拉許用應力為[st]=30MPa，抗壓許用應力為[sc]=160MPa。已知截面對形心軸z的慣性矩為Iz=763cm4，且y1=52mm。試核核梁的強度。ABF1=9KNF2=4KN1m1m1mCD802012020y2y1zFRB=10.5KNFRA=2.5KNM(KNm)+-2.542/18/202325§5-4彎曲切應力

（1）橫截面上任一點處的切應力方向均平行于剪力。（2）切應力沿截面寬度均勻分布。基本假設2/18/202326dxbdxABzdxbhOyyttt’sdAFN1FN2dxM+dMMsdAy1Fs2/18/202327bhzyFstytmax一、矩形截面梁的橫彎曲切應力2/18/202328hh0yzbb0tmintmax可以從型鋼表中查得。

對于軋制的工字鋼二、工字形截面梁橫的彎曲切應力2/18/202329tmaxyzFs三、圓截面梁的彎曲切應力2/18/202330 當梁的跨度較小或載荷靠近支座時，焊接或鉚接的壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力較差（木梁的順紋方向，膠合梁的膠合層）等，還需進行彎曲剪應力強度校核。

一般先按正應力的強度條件選擇截面的尺寸和形狀，然后按切應力強度條件校核。

四．彎曲切應力強度條件2/18/202331例5-6如圖所示簡易起重機梁，用工字鋼制成。若載荷F=20KN，并可沿梁軸移動，試選擇工字鋼型號。已知梁的跨度l=6m，許用應力[s]=100MPa，許用切應力[t]=60MPa。FlABh2/18/202332FlABh解：（1）內力分析選28a工字鋼，（2）按正應力強度條件選擇截面（3）校核切應力強度2/18/202333例5-7畫出圖示結構的剪力圖和彎矩圖，并求梁中橫截面上的最大正應力和最大切應力。50cm50cmAC50cm3KNm4KN/mBD1002525100252.5KN0.5KNFs（KN）M（KNm）2.521.251.75+-+0.5解：1、畫出剪力和彎矩圖；2/18/202334yC=42.5mmD截面上側有最大拉應力：D截面下側有最大壓應力：100252510025yCCzy2、計算截面形心和對中性軸的慣性矩；3、計算最大正應力；M（KNm）1.251.75-+0.5ADC50cm50cmAC50cm3KNm4KN/mBD2.5KN0.5KN2/18/202335100252510025yCCz最大剪應力出現(xiàn)在AB段的中性層上。Fs（KN）2.52+4、計算最大切應力；50cm50cmAC50cm3KNm4KN/mBD2.5KN0.5KN2/18/202336§5-5提高彎曲強度的措施一．減小最大彎矩二．提高抗彎截面系數(shù)三．提高材料的力學性能2/18/2023371．改變加載的位置或加載方式2．改變支座的位置一．減小最大彎矩F2/18/202338合理布置支座2/18/2023391．選用合理的截面形狀

二．提高抗彎截面系數(shù)zyzzyyCCCzyC脆性材料

塑性材料

2/18/202340合理設計截面2/18/202341合理放置截面2/18/2023422．用變截面梁（等強度梁）2/18/202343階梯軸2/18/202344構件選用何種材料，應綜合考慮安全、經濟等因素。低合金鋼如16Mn、15MnTi代替普通鋼；球墨鑄鐵代替鋼材制造曲軸和齒輪。

三．提高材料的力學性能2/18/202345本章小結

1．基本概念：

純彎曲、橫彎曲、中性層、中性軸3．彎曲切應力（了解）

2．彎曲正應力