小題滿分練（三）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)A={x|/—8x+15=0},8={可以一1=0},若則實(shí)數(shù)a組

成的集合的子集個數(shù)有（）

A.2B.3

C.4D.8

D[A={3,5},B={x\ax=1},

"：AHB=B,：.B^A,.?.①8=0時，a=0;

②BW0時，；=3或}=5,.,.。=；或點(diǎn)，

二實(shí)數(shù)a組成的集合的元素有3個，

實(shí)數(shù)a組成的集合的子集個數(shù)有23=8個.故選D.]

2.已知復(fù)數(shù)2=1+3"則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

A[因?yàn)閦=*+3i=2—i+3i=2+2i,

所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z（2,2）,位于第一象限.

故選A.]

3.化學(xué)上用溶液中氫離子物質(zhì)的量濃度的常用對數(shù)值的相反數(shù)表示溶液的

pH值，例如氫離子物質(zhì)的量濃度為0.1mol/L的溶液，因?yàn)橐?g0.1=1。，所以

該溶液pH的值是1.0.現(xiàn)有pH值分別為3和4的甲乙兩份溶液，將1L甲溶液與

2L乙溶液混合，假設(shè)混合后兩份溶液不發(fā)生化學(xué)反應(yīng)且體積變化忽略不計(jì)，則

混合溶液的pH值約為（精確到。1,參考數(shù)據(jù)：1g2^0.3010,1g3=0.4771,1g

11^1.0414.）（）

A.3.2B.3.3

C.3.4D.3.8

C[pH值為3的甲溶液1L所含氫離子物質(zhì)的量為l（F3（moi）,pH值為4

的乙溶液2L所含氫離子物質(zhì)的量為2Xl(T4(mo]),則3L混合液中所含氫離子

物質(zhì)的量為10-3+2X10-4(mol),...混合溶液的氫離子物質(zhì)的量濃度為

107+2X10-4

=0.0004,其pH值為一lg0.0004=-lg(4X10-4)=-21g2+4^4

3

—2X0.3010心3.4.故選C.]

4.若角a頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊在直線2x+y

ToD-lo

C[由題意知，tana=-2,

_j_cos%—sin%_]_]—tan2a_]_]—(-2)2_3心號

2cos2a+sin2a2l+tan2a21+(-2)210'°C.]

5.某校開展社會實(shí)踐活動，學(xué)生到工廠制作一批景觀燈箱(如圖，在直四棱柱

上加工，所有頂點(diǎn)都在棱上)，燈箱最上面是正方形，與之相鄰的四個面都是全

等的正三角形，燈箱底部是邊長為。的正方形，燈箱的高度為10a,則該燈箱的

體積為()

c593

A.10a3B.不/

八119[「2394

C.D-中

C[把燈箱補(bǔ)形為長方體如圖，則燈箱的體積等于長方體的

體積減去四個三棱錐的體積,

長方體是底面邊長為a的正方形，高為10a,四個三棱錐的

三條側(cè)棱兩兩垂直，底面是正三角形，側(cè)棱長為今

則燈箱的體積為V=10/—4X：X.故選C.]

J乙乙4乙JL乙

6.圖①是建筑工地上的塔吊，圖②是根據(jù)圖①繪制的塔吊簡易直觀圖，點(diǎn)

A,B,。在同一水平面內(nèi).塔身平面ABC,直線AO與8C的交點(diǎn)E是BC

的中點(diǎn)，起重小車掛在線段A。上的。點(diǎn)，AB=AC,OO=6m.若尸。=2m,

PB=3m,△ABC的面積為10n?,根據(jù)圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)，忽略△ABC自重對塔

吊平衡的影響，在塔吊保持平衡的條件下可得點(diǎn)A,P之間的距離為(0.50。=

1.500()

A.2^/17mB.6啦m

C.8mD.9m

A「??0.5OQ=1.5OE且OO=6m,OE=2m.

在直角XPOB中：OB=NPB2—P()2=q32-22,

：.在△OEB中：BE=yjOB2-OE2=yl(y[5f-22=l(m),

.,.BC=2(m).

一△ABC的面積為10m2,.,.1-BCA￡=10,

.\AE=10(m),.\AO=AE—OE=S(m)9

???在直角aAOP中：

AP^AO^+PO2=^/82+22=2V17(m).故選A.]

7.已知Fi,B是雙曲線C：，一/=l(a>0,〃>0)的左、右焦點(diǎn)，過Fi

的直線與圓f+y2=/相切，切點(diǎn)了，且交雙曲線右支于點(diǎn)P,若2戶萬=力，則

雙曲線C的漸近線方程為()

A.xiy=0B.2xi3y=0

C.3x±2y=0D.xi2y=0

C[連接尸尸2,過尸2作E2Q〃0T,若2斤r=），

則易知|OF1|=C,|。7]=凡m=\TQ\=\QP\=b,

\QF2\=2a,\PF2\=\PFi\-2a=3b~2a,

b3

所以在RtAPeF2中，（3〃一2"）2=（2。）2+。2,整理得￡=》

3

所以漸近線方程為y=+^x,即3世2y=0,

故選C.]

8.2013年華人數(shù)學(xué)家張益唐證明了李生素?cái)?shù)猜想的一個弱化形式.李生素

數(shù)猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一，可以這樣描述：存在無窮多

個素?cái)?shù)P，使得〃+2是素?cái)?shù)，素?cái)?shù)對⑺，p+2)稱為李生素?cái)?shù).在不超過30的素

數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其中能夠組成李生素?cái)?shù)的概率是()

12

A-15B-15

C2D4

J45u-45

D[在不超過30的素?cái)?shù)中所有的素?cái)?shù)有：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10

個.

在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其中能夠組成攣生素?cái)?shù)的

個數(shù)為4個,即(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取

4

兩個不同的數(shù)，其中能夠組成攣生素?cái)?shù)的概率為布，故選D.]

9.甲、乙、丙三家企業(yè)的產(chǎn)品成本(萬元)分別為10000,12000,15000,

其成本構(gòu)成比例如圖，則下列關(guān)于這三家企業(yè)的說法錯誤的是()

甲企業(yè)乙企業(yè)丙企業(yè)

材料口工資口其他費(fèi)用口

A.成本最大的企業(yè)是丙

B.其他費(fèi)用支出最高的企業(yè)是丙

C.支付工資最少的企業(yè)是乙

D.材料成本最高的企業(yè)是丙

C[由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知，甲企業(yè)的材料成本為10000X60%=6000（萬元），

支付工資10000X35%=3500（萬元），其他費(fèi)用支出為10000義5%=500（萬元）；

乙企業(yè)的材料成本為12000X53%=6360（萬元），支付工資為12000X30%

=3600（萬元），其他費(fèi)用支出為12000X17%=2040（萬元）；

丙企業(yè)的材料成本為15000X60%=9000（萬元），支付工資為15000X25%

=3750（萬元），其他費(fèi)用支出為15000X15%=2250（萬元）.

所以成本最大的企業(yè)是丙，其他費(fèi)用支出最高的企業(yè)是丙，支付工資最少的

企業(yè)是甲，材料成本最高的企業(yè)是丙.故選C.]

10.拋物線『=4）’的焦點(diǎn)為尸，A,8是拋物線上兩動點(diǎn)，尸（2,2）是平面內(nèi)一

定點(diǎn)，下列說法正確的有（）

A.準(zhǔn)線方程為x=-1

B.若|AF|+|3f]=8,則線段A3中點(diǎn)到x軸的距離為4

C.△APE的周長的最小值為小+3

D.以線段A3為直徑的圓與準(zhǔn)線相切

由拋物線的定義可得|AF|=|A4|,則|AP|+HF|N|B4'|=3,當(dāng)且僅當(dāng)P,A,4三

點(diǎn)共線時，取得等號，所以的周長的最小值為|PF|十|BT尸小+3,故C

正確；因?yàn)辄c(diǎn)A,B沒有任何限制條件，可以是拋物線上任意兩點(diǎn)，所以以線段

A8為直徑的圓與準(zhǔn)線不一定相切，故D錯誤.

故選C.]

11.已知對X/xGR,?x+l）=—八幻，當(dāng)一1WxWl時，.八刀尸尸一無，下列說

法錯誤是（）

A..*x）是以2為周期的函數(shù)

.J3

B.直線x=￥是?r）圖象的一條對稱軸

n

C.V〃GN*,E/U)=o

i=\

D../U)的減區(qū)間是2k一坐,2k+坐(kGZ)

B［V/(x+l)=-Ax),

.?JU+2)=-/(x+l)=/U),

的周期為2,故A正確；

又當(dāng)一iWxWl時，y(—x)=—%3+x=-fix),

為奇函數(shù)，

.?40)=*2)=*4)=…=A2i)=0(ieN*),

又-1)=0,故/1)=火3)=…=A2j_l)=0(iGN"),

n

???V〃￡N\E/(z)=0,故C正確；

Z=1

當(dāng)0VxV］時，/(￥一%)=(￥-x)-(辛

...直線工=v不是/(X)圖象的一條對稱軸，故B錯誤；

當(dāng)一1?時，尸(%)=31—1,

當(dāng)xC-1,一陰U［坐，1,尸(x)20,

當(dāng)xd一坐，坐］，尸(x)VO,

.?.危)在-1,一坐］,坐，1上單調(diào)遞增，在一半，坐上單調(diào)遞減；又

人的的周期為2,.?./□)的減區(qū)間是2%一半，24+半(ZCZ),故D正確.故選B.］

12.一副三角板由一塊有一個內(nèi)角為60°的直角三角形和一塊等腰直角三角

形組成，如圖所示，ZB=ZF=90\NA=60°,Z￡)=45\BC=DE=y/5,現(xiàn)

將兩塊三角形板拼接在一起，得三棱錐?ABC,取BC中點(diǎn)。與AC中點(diǎn)M,則

下列判斷中錯誤的是()

cB

A.3。_1_平面OFM

B.AC與平面OFM所成的角為定值

C.三棱錐廣COM體積為定值

4

D.若平面平面ABC,則三棱錐RABC外接球體積為嚴(yán)

C[對于A,由BC中點(diǎn)。與AC中點(diǎn)M,得MO〃AB,

NB=//=90°得BC.LMO,

由△3CF為等腰直角三角形得BCLFO,由MOAb0=0,M0,尸0U平面

OFM,

得直線BCL平面OFM,故A正確；

對于B,由A得，AC與平面。尸M所成的角為NOMC,為定值60°,故B

正確；

對于C,△COM的面積為定值，但三棱錐F-COM的高會隨著F點(diǎn)的位置

移動而變化，故C錯誤.

對于D,因?yàn)槠矫鍮Cf_L平面ABC,BCVFO,平面BCbn平面ABC=BC,

所以R9JL平面ABC,因此FO_LOM;叉BC=DE=3,ZA=60°,所以戶0=；

DE=9,AB=\,則OM=^AB=^,

因此MF=yfF02+0M2=1.

又在直角三角形ABC中，MA=MB=MC=^AC=1,

則MA=MB=MC=MF,

4

所以點(diǎn)M即為三棱錐FABC外接球的球心，因此該外接球的體積為丫=,兀

4

=鏟，即D正確.故選C.]

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

2

13.曲線y=l一&在點(diǎn)（一1,一1）處的切線方程為.

22x

2x—y+l=O?點(diǎn)（―1,—1）在曲線產(chǎn)1一1上，尸1—1=1，

.,_x+2-尢___2

??）,=（X+2）2=（尤+2產(chǎn)

.?.外=_1=2,

.?.曲線在點(diǎn)（一1,一1）處的切線斜率為2,.?.所求切線方程為y+l=2（x+l）,

即2x-y+l=0.]

14.設(shè)點(diǎn)。是△ABC外接圓的圓心，AB=3,且歷?證=—4,則案器的值

是.

|[設(shè)點(diǎn)。是邊BC的中點(diǎn)，則

即品22—9)=-4,病2=1,

AC

sinB礪AC1

故sin。=麗=麗=31

2R

15.商家項(xiàng)目投資的利潤產(chǎn)生是一個復(fù)雜的系統(tǒng)結(jié)果.它與項(xiàng)目落地國的商

業(yè)環(huán)境，政府執(zhí)政能力，法律生態(tài)等都有重大的關(guān)聯(lián).如表所示是某項(xiàng)目在中國

和南亞某國投資額和相應(yīng)利潤的統(tǒng)計(jì)表.

項(xiàng)目

中國南亞某國

落地國

投資額

10111213141011121314

x（億元）

利潤

11121416191213131415

y（億元）

請選擇平均利潤較高的落地國，用最小二乘法求出回歸直線方程為

;并根據(jù)回歸直線方程預(yù)計(jì)在該國投資15億元所獲得的利潤是

億元.

5_5__

參考數(shù)據(jù)和公式：￡(劉一工)2=10,中國￡(Xi-X)(yi-y)=20,南亞某

i=\i=]

5__

國￡(方一工)(y-y)=7,

i=l

5一一

￡(Xi-x)8—y)

八j；—?八t\

b-5二^,ci=y-