反證法學(xué)習(xí)目標(biāo)1.認(rèn)識(shí)反證法是間接證明的一種基本方

核心修養(yǎng)法．(要點(diǎn)、易混點(diǎn)

)

經(jīng)過(guò)反證法的學(xué)習(xí)，培育學(xué)生2．理解反證法的思慮過(guò)程，會(huì)用反證法證明

的邏輯推理的核心修養(yǎng)

.數(shù)學(xué)識(shí)題．(要點(diǎn)、難點(diǎn)

)反證法的定義及證題的要點(diǎn)思慮1：反證法的實(shí)質(zhì)是什么？[提示]反證法的實(shí)質(zhì)就能否認(rèn)結(jié)論，推出矛盾，進(jìn)而證明原結(jié)論是正確的．思慮2：有人說(shuō)反證法的證明過(guò)程既能夠是合情推理也能夠是一種演繹推理，這類說(shuō)法對(duì)嗎？為何？[提示]反證法是間接證明中的一種方法，其證明過(guò)程是邏輯特別嚴(yán)實(shí)的演繹推理．1．“a<b”的反面應(yīng)是

(

)A．a(chǎn)≠bC．a(chǎn)＝b

B．a(chǎn)>bD．a(chǎn)＝b或

a>b[答案]

D2．用反證法證明“假如

a＞b，那么

3a＞3

b”，假定的內(nèi)容應(yīng)是

________．[答案]

3a≤3

b3．用反證法證明“一個(gè)三角形不可以有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，故假定錯(cuò)誤．②因此一個(gè)三角形不可以有兩個(gè)直角．③假定△ABC中有兩個(gè)直角，不如設(shè)∠A＝90°，∠B＝90°.上述步驟的正確次序?yàn)開(kāi)_______．③①②[由反證法的一般步驟可知，正確的次序應(yīng)為③①②.]4．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過(guò)程中，以下選項(xiàng)中能夠作為條件使用的有________．(填序號(hào))①結(jié)論的反設(shè)；②已知條件；③定義、公義、定理等；④原結(jié)論．①②③[反證法的“歸謬”是反證法的核心，其含義是：從命題結(jié)論的假定(即把“反設(shè)”作為一個(gè)新的已知條件)及原命題的條件出發(fā)，引用一系列論據(jù)進(jìn)行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公義等相矛盾的結(jié)果．]用反證法證明否認(rèn)性命題【例1】已知三個(gè)正數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，但不行等差數(shù)列．求證：a，b，c不行等差數(shù)列．[證明]假定a，b，c成等差數(shù)列，則a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，即b＝ac，a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c.進(jìn)而a＝b＝c，與a，b，c不行等差數(shù)列矛盾，故a，b，c不行等差數(shù)列．1．用反證法證明否認(rèn)性命題的合用種類結(jié)論中含有“不”“不是”“不行能”“不存在”等詞語(yǔ)的命題稱為否認(rèn)性命題，此類問(wèn)題的正面比較模糊，而反面比較詳細(xì)，合適使用反證法．2．用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．設(shè)SA，SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點(diǎn)，求證：AC與平面SOB不垂直．[證明]假定AC⊥平面SOB，如圖，∵直線SO在平面SOB內(nèi)，SO⊥AC.SO⊥底面圓O，∴SO⊥AB.SO⊥平面SAB.平面SAB∥底面圓O.這明顯出現(xiàn)矛盾，因此假定不建立，即AC與平面SOB不垂直．用反證法證明獨(dú)一性命題【例

2】

求證方程

2x＝3有且只有一個(gè)根．[證明]

∵2x＝3，∴x＝log23，這說(shuō)明方程

2x＝3

有根．下邊用反證法證明方程

2x＝3的根是獨(dú)一的：假定方程2x＝3起碼有兩個(gè)根b1，b2(b1≠b2)，b1b2則2＝3,2＝3，b－b12兩式相除得2＝1.b1－b2b1－b2若b12，則2>1，這與2＝1相矛盾．－b>0若b12b1－b2b1－b2＝1相矛盾．，則2<1，這也與2－b<0b1－b2＝0，則b1＝b2.假定不建立，進(jìn)而原命題得證．巧用反證法證明獨(dú)一性命題當(dāng)證明結(jié)論有以“有且只有”“當(dāng)且僅當(dāng)”“獨(dú)一存在”“只有一個(gè)”等形式出現(xiàn)的命題時(shí)，因?yàn)榉丛O(shè)結(jié)論易于推出矛盾，故常用反證法證明．用反證法證題時(shí)，假如欲證明命題的反面狀況只有一種，那么只需將這類狀況駁斥了就能夠；若結(jié)論的反面狀況有多種，則一定將全部的反面狀況一一駁斥，才能推測(cè)結(jié)論建立．證明“有且只有一個(gè)”的問(wèn)題，需要證明兩個(gè)命題，即存在性和獨(dú)一性．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．已知：平面α和一點(diǎn)P.求證：過(guò)點(diǎn)P與α垂直的直線只有一條．[證明]如下圖，無(wú)論點(diǎn)P在α內(nèi)仍是在α外，設(shè)PA⊥α，垂足為A(或P)．假定過(guò)點(diǎn)P不只有一條直線與α垂直，如還有另一條直線PB⊥α，設(shè)PA，PB確立的平面為β，且α∩β＝a，于是在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)P有兩條直線PA，PB垂直于a，這與過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直相矛盾，∴假定不建立，原命題建立．用反證法證明“至多”“起碼”問(wèn)題[研究問(wèn)題]1．你能論述一下“起碼有一個(gè)、至多有一個(gè)、起碼有n個(gè)”等量詞的含義嗎？[提示]量詞起碼有一個(gè)至多有一個(gè)起碼有n個(gè)2.在反證法證明中，你能說(shuō)出設(shè)詞嗎？[提示]量詞起碼有一個(gè)至多有一個(gè)起碼有n個(gè)

含義有n個(gè)，此中n≥1有0或1個(gè)大于等于n個(gè)“起碼有一個(gè)、至多有一個(gè)、起碼有n個(gè)”等量詞的反反設(shè)詞一個(gè)也沒(méi)有起碼有兩個(gè)至多有n－1個(gè)【例3】已知a≥－1，求證三個(gè)方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中起碼有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解．[證明]假定三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根，則三個(gè)方程中：它們的鑒別式都小于0，即：4a2－4－4a＋3＜0，a－12－4a2＜0，2a2＋4×2a＜0，312＜a＜2，即a＞13或a＜－1，2＜a＜0.3∴－2＜a＜－1，這與已知a≥－1矛盾，因此假定不建立，故三個(gè)方程中起碼有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)解．1．(變條件)將此題改為：已知以下三個(gè)方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0起碼有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，怎樣務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍？[解]若三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根，則16a2－43－4a＜0，－3＜a＜1，22a－12－4a2＜0，解得1或a＜－1，2a＞34a＋8a＜0，2＜a＜0，即－3＜a＜－1，故三個(gè)方程起碼有一個(gè)方程有實(shí)根，實(shí)數(shù)a的取值范圍是23aa≥－1或a≤－2.2．(變條件)將例題條件改為三個(gè)方程中至多有2個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍．[解]假定三個(gè)方程都有實(shí)數(shù)根，則4a2－4－4a＋3≥0，4a2＋4a－3≥0，a－12－4a2≥0，即3a2＋2a－1≤0，2a2＋4×2a≥0，a2＋2a≥0，31a≤－2或a≥2，解得1即a∈?.－1≤a≤3，a≤－2或a≥0.因此三個(gè)方程中至多有2個(gè)方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為R.當(dāng)命題中出現(xiàn)“起碼”“至多”“不都”“都不”“沒(méi)有”“獨(dú)一”等指示性詞語(yǔ)時(shí)，宜用反證法．提示：關(guān)于此類問(wèn)題，需認(rèn)真領(lǐng)會(huì)“起碼有一個(gè)”“至多有一個(gè)”等字眼的含義，弄清結(jié)論的否認(rèn)是什么，防止出現(xiàn)證明遺漏的錯(cuò)誤．用反證法證題要掌握三點(diǎn)：一定先否認(rèn)結(jié)論，關(guān)于結(jié)論的反面出現(xiàn)的多種可能，要逐個(gè)論證，缺乏任何一種可能，證明都是不全面的．反證法一定從否認(rèn)結(jié)論進(jìn)行推理，且一定依據(jù)這一條件進(jìn)行論證，不然，僅否認(rèn)結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行論證，就不是反證法．反證法的要點(diǎn)是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾能夠與已知矛盾，或與假定矛盾，或與定義、公義、定理、事實(shí)矛盾，但推導(dǎo)出的矛盾一定是明顯的．1．用反證法證明“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角為鈍角”，以下假定中正確的選項(xiàng)是()．有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角．有三個(gè)內(nèi)角是鈍角C．起碼有兩個(gè)內(nèi)角是鈍角．沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角是鈍角[“最多只有一個(gè)”的否認(rèn)是“起碼有兩個(gè)”，應(yīng)選C.]2．假如兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)()．一個(gè)是正數(shù)，一個(gè)是負(fù)數(shù)．兩個(gè)都是正數(shù)C．起碼有一個(gè)正數(shù)．兩個(gè)都是負(fù)數(shù)[假定兩個(gè)數(shù)分別為x1，x2，且x1≤0，x2≤0，則x1＋x2≤0，這與兩個(gè)數(shù)之和為正數(shù)矛盾，因此兩個(gè)實(shí)數(shù)起碼有一個(gè)正數(shù)，故應(yīng)選C.]3．已知平面α∩平面β＝直線a，直線b?α，直線c?β，b∩a＝A，c∥a，求證：b與c是異面直線，若利用反證法證明，則應(yīng)假定________．b與c平行或訂交[∵空間中兩直線的地點(diǎn)關(guān)系有3種：異面、平行、訂交，