2021-2022學(xué)年天津市耀華中學(xué)高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共20小題，共88.0分)

1.設(shè)集合4={x|xNl},B={x|-l<x<5},則4nB=()

A.[1,5)B.(-1,1]C.(1,5)D.(-1,1)

2.已知命題a：“x>0”，命題伙“x>—2”，則a是/?的條件()

A.充分非必要B.必要非充分

C.充要D.既非充分也非必要

3.若復(fù)數(shù)z=-4+i,貝!]z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.設(shè)麗，瓦分別是與日是同向的單位向量，則下列結(jié)論中正確的是()

A.a0=bgB.a。=一瓦C.|a°|+||=2D.即〃b。

5.函數(shù)/(x)為R上的奇函數(shù)，x>0時，/(x)=lgx+l,則f(-10)=()

A.—6B.2C.—2D.6

6.對任意的x€(0,+8),/+1>0恒成立，則m的取值范圍為()

A.[1,+oo)B.(1,4-00)C.(―8,1]D.(—00,1)

7.在△ABC中，點M為AC上的點，且麗=[祝，若麗=4互X+”就(九“eR),

則4-11=()

A.1B.；C.D.一；

232

8.設(shè)風(fēng)表示函數(shù)/(%)=|x2-4%+2|在閉區(qū)間/上的最大值.若正實數(shù)a滿足M[°間>

2”阿20，則正實數(shù)。的取值范圍是()

A.[2-V3,1]B.[2-V3,l]C.[2,2+V3]D.[2+V3,4]

9.已知向量五=(一1,3),b=(x,-2).S.alb，則x=()

A.—4B.4C.—6D.6

10.一組數(shù)據(jù)6,7,8,a,10的平均數(shù)為8,則此組數(shù)據(jù)的方差為()

A.1B.2C.3D.4

11.一個樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：13,14,19,X,23,27,28,31,若

中位數(shù)為22,貝卜為()

A.21B.22C.20D.23

12.如圖，在aABC中，前=2反，而=zn而+n元,

貝哈=（）

A.I

B-1

c|

D.2

13.在△ABC中，若3a=2百加譏A,cosB=cosC,則△ABC的形狀為（）

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

14.在正三棱柱ABC—4a的中，2aB=A4,則&C與平面44道避所成角的正切值

為（）

A包B.叵C.四D.在

41753

15.已知a,0,y是空間三個不重合的平面，m,n是空間兩條不重合的直線，則下列

命題為真命題的是（）

A.若a上/?1y,則?！薆.若al/?,m//p,則mJ.a

C.若m1a,nA.a,則?n〃nD.若7n〃a,n//a,則m〃7i

16.如圖，已知正方體ABCD-4iBiGDi的棱長為2,BiG的中

點為E,則點兒到平面8/E的距離為（）

A,更

3

B公

3

3

D.—

3

17.甲、乙兩名同學(xué)均打算高中畢業(yè)后去A,B,C三個景區(qū)中的一個景區(qū)旅游，甲乙去

A,B,C三個景區(qū)旅游的概率分別如表:

去2景區(qū)旅游去B景區(qū)旅游去C景區(qū)旅游

甲0.40.2

乙0.30.6

則甲、乙去不同景區(qū)旅游的概率為（）

A.0.66B.0.58C.0.54D.0.52

第2頁，共31頁

18.某中學(xué)全體學(xué)生參加了數(shù)學(xué)競賽，隨機抽取了400名學(xué)生進行成績統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)抽取

的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），

畫出頻率分布直方圖如圖所示，下列說法正確的是（）

A.直方圖中x的值為0.035

B.在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間［70,80）的學(xué)生數(shù)為30人

C.估計全校學(xué)生的平均成績?yōu)?3分

D.估計全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為95分

19.已知函數(shù)/'（x）=cosx（sinx+Wcosx）—日（x6則函數(shù)/（x）的值域為（）

A.［一今爭B.［一今1］c.r-p|］D.

20.如圖，圖（a）是某機械零件的幾何結(jié)構(gòu)，圖（b）是幾何結(jié)構(gòu)內(nèi)部示意圖，該幾何體是

由兩個相同的直四棱柱組合而成的，且前后、左右、上下均對稱，每個四棱柱的底

面都是邊長為2的正方形，高為4,且兩個四棱柱的側(cè)棱互相垂直，則這個幾何體的

體積為（）

\上木二

（a）

A.32B.32-8V2C.32-—D.32--

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

21.下列結(jié)論正確的是（）

A.V4=±2B.它=看

C.log39=2D.log26-log24=log2（6-4）=1

22.A,B,。表示不同的點，n,l表示不同的直線，a,。表示不同的平面，下列說法錯

誤的是（）

A.若aC0=I,n//a,n//p,則可〃

B.若A,Bel,A,Bia,則〃/a

C.若A,BCa,A,B,CE0,aC0=l,則CGI

D.若a〃/7,Ica,nc/?,貝〃〃n

23.下列說法正確的是（）

A.若平面向量落b，則弓2+7？2五行

B.若平面向量落b，則I初2+|向222|葭石|

C.若復(fù)數(shù)Z],Z2,則z￡+Z2>2Z1Z2

D.若復(fù)數(shù)ZI，z2>則|z/2+怙2/22|Z[Z2|

24.四面體ABCD的四個頂點都在球。的球面上，AB=BC=CD=ZM=4,AC=BD=

2e，點E,F,G分別為棱BC,CD,AC的中點，則下列說法正確的是（）

A.過點E,F,G做四面體4BCD的截面，則該截面的面積為2

B.四面體4BCD的體積為弊

3

C.AC與8。的公垂線段的長為2小

D.過E作球。的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為5：4

三、填空題（本大題共10小題，共44.0分）

25.期中考試后，班主任老師想了解全班學(xué)生的成績情況.已知班級共有55名學(xué)生，期

中考試考了語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、歷史、政治、生物、地理共9門學(xué)科.在

這個調(diào)查中，總體的容量是

5sin0+cos6

26.已知tan。=2,則

sinO-cosO

27.某位同學(xué)參加物理、政治科目的學(xué)考，已知這位同學(xué)在物理、政治科目考試中得4的

概率分別為:、|,這兩門科目考試成績的結(jié)果互不影響，則這位考生至少得1個4的

概率為.

第4頁，共31頁

28.揭陽樓位于市區(qū)東入口，是我市的標(biāo)志性建筑.如圖，在揭陽樓旁地面上共線的三

點4,B,C處測得樓檐上某點P的仰角分別為30。，60°,45°,且4B=BC=45米，

點P在地面的投影為。，則。P=米.

29.已知復(fù)數(shù)z滿足z（l-i）=4+2i,則2=（用代數(shù)式表示）.

30.某中學(xué)共有高一學(xué)生120人，高二學(xué)生150人，高三學(xué)生330人申請報名做志愿者.現(xiàn)

用分層抽樣方法從中抽取高一學(xué)生4人，則該中學(xué)抽取的志愿者總?cè)藬?shù)為人.

31.在三棱錐P—ABC中，PA.AB.AC兩兩垂直，AP=3,BC=6,三棱錐P-HBC的

四個頂點在同一球面上，則該球的表面積為.

32,連續(xù)2次拋擲一枚骰子（六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6）,記“兩次向上

的數(shù)字之和等于血”為事件4則P（4）最大時，m=.

33.如圖，已知空間四邊形Z8CD的四條邊及對角線的長均.4

為2,M、N分別是BC與4。的中點，則異面直線AM和4\\V

CN所成角的余弦值為.///\

34.在四邊形4BCD中，Z.B=60°,AB=3,BC=6,AD=ABC，AD-AB=-3,則

實數(shù);I的值為,若M,N是線段BC上的動點，且|而|=2,則麗?麗的最

小值為?

四、解答題（本大題共9小題，共98.0分）

35.某校對學(xué)生成績統(tǒng)計（折合百分制，得分為整數(shù)），考試該次競賽的成績分布，將樣

本分成5組，繪成頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右依次為第一組到第五組,

各小組的小長方形的高的比為1：3：6：4：2,第五組的頻數(shù)為12.

(I)該樣本的容量是多少？

(1【)該樣本的第75百分位數(shù)在第幾組中？

36.已知函數(shù)f(x)=V3sin2x+2cos2x.

(1)求函數(shù)f(x)的值域；

(2)求函數(shù)“X)單調(diào)遞增區(qū)間.

37.如圖，在平面四邊形4BCD中，4BCD=120。.若CD=2逐，AD=8,,求AB

的長.

從①=6,/-ADC=75°；②C0SN4DB=|,4CBD=45°；@ShABD=12k，

乙CBD=45。這三個條件中任選一個，補充在上面的問題中并作答.

38.新冠疫苗有三種類型：腺病毒載體疫苗、滅活疫苗和重組蛋白亞單位疫苗.腺病毒

載體疫苗只需要接種一針即可產(chǎn)生抗體，適合身體素質(zhì)較好的青壯年，需要短時間

內(nèi)完成接種的人群，突發(fā)聚集性疫情的緊急預(yù)防.滅活疫苗和重組蛋白亞單位疫苗

安全性高，適合老、幼、哺、孕及有慢性基礎(chǔ)病患者和免疫缺陷人群.滅活疫苗需

要接種兩次.重組蛋白亞單位新冠疫苗需要完成全程三針接種，接種第三針后，它

的有效保護作用為90%的人員出現(xiàn)這種抗疫效果.)

以下是截止2021年12月31日在某縣域內(nèi)接種新冠疫苗人次(單位：萬人，忽略縣外

人員在本縣接種情況)統(tǒng)計表：

第6頁，共31頁

重組蛋白亞單位疫

腺病毒載體疫苗滅活疫苗

苗

第一針0.510110

第二針010110

第三針00100

其中接種腺病毒載體疫苗的統(tǒng)計情況如下:

接種時間接種原因接種人次(單位：人)

3月疫情突發(fā)1500

6月高考考務(wù)1000

7月抗洪救災(zāi)2500

(1)遭遇3月疫情突發(fā)、服務(wù)6月高考考務(wù)、參加7月抗洪救災(zāi)的人都是不同的人.在

已接種腺病毒載體疫苗的人員中隨機抽取一名，求這個人參加了抗洪救災(zāi)的概率:

(2)在已接種滅活疫苗和重組蛋白亞單位疫苗的人員中，以人體產(chǎn)生的抗體數(shù)量是

否至少提升5?10倍為依據(jù)，用分層抽樣的方法抽取4人，再從這4人隨機抽取2人，

求這2人均為人體產(chǎn)生的抗體數(shù)量至少提升5?10倍的疫苗接種者的概率.

39.如圖在直三棱柱4BC-中，Z.ABC=90°,BC=2,CCt=4,E是上的

一點，且=D、F、G分別是CCi、81G、的中點，EF與相交于H.

(I)求證：BID1平面ZBD；

(II)求證：平面EFG〃平面ABC；

(HI)求平面EGF與平面ZBD的距離.

40.設(shè)定義在實數(shù)集R上的函數(shù)/(%)(恒不為0),若存在不等于1的正常數(shù)k,對于任意實

數(shù)x,等式f(k+x)=々2〃為恒成立，則稱函數(shù)y=f(x)為尸仇)函數(shù).

(I)若函數(shù)/(x)=2、為P(k)函數(shù)，求出k的值;

(II)設(shè)l<a</，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)g(x)=a￡

①比較g(總)與ae的大小；

②判斷函數(shù)g(x)=a'是否為P(k)函數(shù)，若是，請證明；若不是，試說明理由.

41.在△ABC中，Qb—遍c)cosA=WacosC?

(I)求乙4的大??；

(11)若。=Wb,a=2.求△248c的面積.

42.某社區(qū)舉辦環(huán)保知識有獎問答比賽，某場比賽中，甲、乙、丙三人同時回答一道問

題，已知甲回答正確的概率是:，甲、丙都回答錯誤的概率是I乙、丙都回答正確

2o

的概率是:假設(shè)他們是否回答正確互不影響.

(I)分別求乙、丙回答正確的概率；

(H)求甲、乙、丙3人中不少于2人回答正確的概率.

43.如圖，在四棱柱ABCD-AiBiQDi中，底面力BCD為菱形，其對角線4c與BD相交

于點。，/.ArAB=/.A^D=/.BAD=60°,AAT=3,AB=2.

(I)證明：&O_L平面ABCD；

(n)求直線aq與平面ABC。所成角的正切值；

(III)求二面角為一AB-C的余弦值.

第8頁，共31頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：；集合4={x|x>1),B={x|-1<x<5},

???/In8={x|1<x<5].

故選：A.

利用交集定義直接求解.

本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是

基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：因為(0,+8)耳(-2,+8),所以a是0的充分不必要條件.

故選：A.

由(0,+8)呈(-2,+8)可解決此題.

本題考查充分、必要條件的判斷方法，考查數(shù)學(xué)直觀想象及邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：z=-4+i,

則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(-4,1)位于第二象限.

故選：B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解：由詬，瓦分別是與同向的單位向量，

則而與既不一定相等，也不一定相反，也不一定共線，

但|而|=|而|=1，

所以I而1+面1=2.

故選：C.

由單位向量的定義知|而|=|瓦|=1，由此求得|而|+|瓦|=2.

本題考查了單位向量的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：因為函數(shù)/(x)為R上的奇函數(shù)，x>0時，/(x)=lgx+l,

則/'(—10)=-/(10)=-2.

故選：C.

由已知結(jié)合函數(shù)奇偶性及已知區(qū)間上的函數(shù)解析式即可求解.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性在函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：當(dāng)x€(0,+8)時，由/-2mx+l>0得：2m<%+：,

???%+：22(當(dāng)且僅當(dāng)％=3即x=l時取等號)，

A2m<2,解得：m<1,

即m的取值范圍為(-8,1).

故選：D.

采用分離變量的方式，結(jié)合基本不等式可求得2nl<2,進而得到所求范圍.

本題考查函數(shù)的恒成立問題，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.

7.【答案】B

【解析】解：???祠=：祝，

BM=AM-AB=^AC-AB=^AB+BQ-AB=^BA+^BC,

BM=ARA+g5C>

故選：B.

由已知結(jié)合向量的線性表示及平面向量基本定理可求a,”，進而可求值.

本題主要考查了向量線性表示及平面向量基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

第10頁，共31頁

【解析】解：函數(shù)/"(X)的圖像如下:

f(x)的對稱軸為x=2,/(2)=2,/(0)=/(4)=2；

分類討論如下：

(1)當(dāng)a>4時，M[0,a]=/(a)>M[a,2a]=/(2a),

依題意，/(a)>/(2a).而函數(shù)在x之2+&時是增函數(shù)，a<2a,/(a)</(2a),故

不可能；

(2)當(dāng)aW4時，M[O,a]=2,

依題意，2NM[a,2a],即M[a,2a]Wl,

==

令f(x)=1,解得：Xi=2—V3,x21>^32+V3,x4=3>

則有：a22—百并且2a<1,解得：2—6WaW3或者a23并且2aW2+6，

無解；

故選：A.

作圖分析函數(shù)/(%)的特點，再分類討論即可.

本題考查了分段函數(shù)的最值問題，屬于中檔題.

9【答案】C

【解析】解：由向量方=(—1,3),方—(x,-2)>且日1b>可得丘-b=(-l)x+3(—2)=0>

解得x=-6,

故選：C.

由題意，利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標(biāo)形式的運算

法則，計算求得x的值.

本題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標(biāo)形式的運算

法則，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，數(shù)據(jù)6,7,8,a,10的平均數(shù)為8,則與6+7+8+a+10)=8,

解可得a=9,

則此組數(shù)據(jù)的方差S2=44+1+0+1+4)=2；

故選：B.

根據(jù)題意，由平均數(shù)公式可得巳(6+7+8+a+10)=8,求出a的值，結(jié)合方差公式計

算可得答案.

本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計算，注意求出a的值，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】A

【解析】解：???一個樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：13,14,19,X,23,27,28,31

且中位數(shù)為22,

???等=22,解得x=21.

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合中位數(shù)的定義，即可求解.

本題主要考查中位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】A

【解析】解：；=2DC，.-.BD=|BC,.-.AD=AB+BD=AB+|fiC=希+1(前一

AB)=-AB+-AC,

,33

12

Am=-,n=

33

:.m一=1

n2

故選：A.

根據(jù)平面向量線性運算法則計算即可.

本題考查向量的線性運算，屬基礎(chǔ)題.

13.【答案】B

第12頁，共31頁

【解析】解：在△力BC中，若3a=2百加加4,

利用正弦定理：3sinA=2y/3sinBsinAi

sinAH0,

故sinB=—；

2

由于0<B<兀，

故B=黑冷,

由于cosB=cosC,

所以：B=C；

故B屋;

所以B=C=4=會

所以△4BC為等邊三角形：

故選：B.

直接利用正弦定理求出B的值，進一步利用cosB=cosC,整理得B=C,進一步判定△

ABC為等邊三角形.

本題考查的知識要點：正弦定理和三角函數(shù)的值的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)

學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】B

【解析】解：取AB中點D,連接BiD,CD,

B

???三棱柱ABC-為正三棱柱，??.△ABC為等邊三角形，4411平面4BC,

???。為4B中點，CDu平面4BC,二CD1AB,CD1AAt,

又4B,u平面ABnAAr=A,：.CD

當(dāng)C與平面A4/1B所成角為4C&D,

不妨設(shè)4B=a,則44=BBi=2a,二CO="a,

???tan乙CB】D——=—,

1B]O17

即與平面A&BiB所成角的正切值為等.

故選：B.

取4B中點0,由線面垂直性質(zhì)和等腰三角形三線合一可證得CO14B,CO_L44,由線

面垂直判定可知CD，平面力從而得到所求角為NCBiD,由長度關(guān)系可求得結(jié)果.

本題主要考查直線與平面所成的角的計算，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】C

【解析】解：由a10,1y.得a〃y或a與y相交，故A錯誤；

由a1￡,得m〃a或mua或m與a相交，故8錯誤；

由7nla,nJLa,得m〃n,故C正確；

由m〃a,n//a,得m〃n或m與n相交或?n與n異面，故。錯誤.

故選：C.

由垂直于同一平面的兩平面的位置關(guān)系判斷4由空間中的線面關(guān)系判斷B；由線面垂

直的性質(zhì)判斷C；由平行于同一平面的兩直線的位置關(guān)系判斷D.

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了空間中的線面關(guān)系，考查空間想象能力和思維

能力，是中檔題.

16.【答案】D

【解析】解：如圖,

連接&B,&E,則%TmiE=4xTx2x2x2=%

在4BE。1中，BE=D]E=V5.BD1=2遮，則，8°送=ix273x在一3=V6,

設(shè)點為到平面8D1E的距離為/i,

第14頁，共31頁

由%-41。述=得9=遍/l,解得九=

故選：D.

由已知結(jié)合=匕i-BDiE，即可求得點4］到平面BD】E的距禺.

本題考查空間中點、線、面間的距離計算，訓(xùn)練了利用等體積法求點到平面的距離，是

中檔題.

17.【答案】A

【解析】解：由題可得甲乙去4B,C三個景區(qū)旅游的概率如表:

去4景區(qū)旅游去8景區(qū)旅游去C景區(qū)旅游

甲0.40.20.4

乙0.10.30.6

???甲、乙去同一景區(qū)旅游的概率為0.4X0.1+0.2X0.3+0.4X0.6=0.34,

???甲、乙去不同景區(qū)旅游的概率為P=1-0.34=0.66.

故選：A.

由題可得甲、乙去同一景區(qū)旅游的概率，然后利用對立事件的概率公式能求出結(jié)果.

本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式、對立事件概率計算公式等基礎(chǔ)

知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

18.【答案】D

【解析】解：對于4根據(jù)學(xué)生的成績都在50分到100分之間的頻率和為1,可得10X

(0.005+0.01+0.015+x+0.040)=1,解得x=0.03,故A錯誤；

對于B：在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間［70,80)的學(xué)生數(shù)為10x0.015x400=60人,

故B錯誤；

對于C：估計全校學(xué)生的平均成績?yōu)?5x0.05+65x0.1+75X0.15+85x0.3+95x

0.4=84分，故C錯誤；

對于D：全校學(xué)生成績的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為90+瞿x10=95分，故。正確.

故選：D.

利用頻率分布直方圖的性質(zhì)求解.

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】B

【解析】解：??,/(%)=cosx(sinx4-V3cosx)一/=|sin2%+V3?2;—?=

sin(2x+》

由工€[0,§,可得2%4-^6g,?]，故sin(2x4--)6[—―,1],

/333372

故函數(shù)f(x)的值域為)e[-苧,1],

故選：B.

由題意，利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，得出

結(jié)論.

本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題.

20.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意兩個四棱柱的體積為2x2x2x4=32,

又交叉部分的體積為四棱錐S-4BCC的體積的2倍，

在等腰三角形4BS中，SB=2V2.底邊SB上的高為2,

???S4=AB=顯,

???根據(jù)該幾何體的對稱性知四棱錐S-ABCO的底面是邊長為巡的菱形，

設(shè)AC的中點為H,又4C=SB=2VL

???AH=V2，:.BH=\/AB2—AH2—V6—2=2，

S菱形.Be。=2vx2=4A/2,又BH=SH,

yS-ABCD=IX4y/2X2=

二這個幾何體的體積為32-2x這=32-竺它，

33

故選：D.

該幾何體的體積為兩個四棱柱的體積減去這兩個四棱柱交叉部分的體積.

本題考查空間想象力，幾何體的對稱性，棱柱的體積與棱錐的體積的體積公式，屬中檔

題.

21.【答案】BC

【解析】

【分析】

第16頁，共31頁

本題考查了指數(shù)式和對數(shù)式的運算性質(zhì)，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)根式和對數(shù)式的運算及根式和分數(shù)指數(shù)基的轉(zhuǎn)化即可判斷每個選項的正誤.

【解答】

解：V4=2,錯誤；

=(X2)3=%3，正確；

2

log39=log33=2,二。正確;

log26-log24=log2;*1>錯誤.

故選：BC.

22.【答案】BCD

【解析】解：對于4因為aci￡=，，n//a,n//p,所以由線面平行的性質(zhì)得n〃/,故

A正確；

對于B,因為4Bel,4,BCa,所以l〃a或I與a相交，故B不正確；

對于C,力，Bea,A,B,CW0,aCtp=1,此時點C不一定在平面a內(nèi)，

所以Cel不正確，故C不正確；

對于D,由a//0,，ua,nc/?,則l與n可能平行，也可能異面，故。不正確.

故選：BCD.

對于4由線面平行的性質(zhì)得n〃/;對于B,1〃a或/與a相交；對于C,4點C不一定在

平面a內(nèi)，從而C6,不正確：對于，與n可能平行，也可能異面.

本題考查命題真假的判斷，考查線線平行、線面平行的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查空

間思維能力，是中檔題.

23.【答案】ABD

【解析】解:對于4片+'=?蒼『+?石『之2|引?|1|之2|方|?|cos<a,b>=2a-

b，

即片+片22五7,當(dāng)且僅當(dāng)二與［同向且同=|應(yīng)時取等號,故A正確;

對于B：因為2|萬?方|=2\a\-\b\\cos<a,b>|，

所以|百仔+|3|222|磯?|石|>2\a\-\b\\cos<a,b>\=2\a-b\>

即|五『+|B|2N2|方方|,當(dāng)且僅當(dāng)五與3共線且同=|應(yīng)時取等號，故8正確；

22

對于C：若Zi=1+3Z2=1—i,貝!lz工+Z2=(1+i)+(1-i)=0,zrz2=(1-i)-

(1+i)=2,

顯然不滿足比+zf>2乎2,故。錯誤；

對于0：設(shè)Zi=a+hi,a,bER,z2=c+difc,dER,

vz1z2=(a+bi)(c+di)=ac—bd+(ad+bc)if

222222

A\zrz2\=y/(ac—bd)+(ad4-he)=-y(a4-b)(c4-d),

2

?,?憶11=7a+匕2,|z2|=7c2+cP,

???區(qū),I=㈤+|z2|,

2

所以島|2+\z2\>2|zx|-\z2\=2IZ1Z2I，

當(dāng)且僅當(dāng)|Z1|=上2|時取等號,故。正確.

故選：ABD.

根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義及基本不等式判斷4、B,利用特殊值判斷C,根據(jù)復(fù)數(shù)模的

性質(zhì)及基本不等式判斷D.

本題考查了平面向量數(shù)量積的計算，屬于中檔題.

24.【答案】ACD

第18頁，共31頁

HG,則有:

HG//BD,且GH=M=VL

同理可得EF〃BD,且EF=TBD=V5,

所以HG〃EF,且HG=EF=夜，

四邊形EFGH為平行四邊形，

同理可得HE〃GF,且HE=GF=

V2,

所以平行四邊形EFGH是邊長為我

的菱形；

取BD中點Q,連結(jié)4Q、CQ,

因為4B=4。，所以4Q_LB0,同理

CQ1BD,

所以BD_L平面ZCQ,所以8D1AC,

又因為HG〃BD,HE//AC,

所以HG1HE,

所以菱形EFGH為邊長為a的正方形，

所以SRFGH=2,故A正確：

因為4B=4D=4,BD=2A/2,AQ1BD,

所以BQ=DQ=VLAQ=V14,

同理可得CQ=V14.

在△ACQ中，AQ=CQ=V14.AC=2V2.

所以4c邊上的高QM=V14-2=2V3，

SAACQ=?AC，QM=2網(wǎng),

又因為BD_L平面力CQ,Q為BD中點，

所以%-BCD=2VB_ACQ=2X：S-CQxBQ=2x：x2乃x魚=手，故B錯；

因為BD1平面ACQ,QMU平面4CQ,

所以8。1QM,

又因為QMJ.4C,

所以QM是AC與BD的公垂線，由B選項可知QM=2W，故C正確；

取QM中點S,則S為球心。，理由如下：

因為BD1平面ACQ,BQ=DQ=V2,QS=\QM=V3,

所以SF=SD2=5,

同理，MS=~QM-V3,

所以SA?=SC2=5,

所以S4=SB=SC=SD=尾,

所以S即為球心0,所以R=b，

又因為0E1BC,

所以過E所作的面積最小的截面是以E為圓心，8E=2為半徑的圓；面積最大的截面是

過。，E的大圓，

所以S大：S〃、=(TTR2)：(兀BE2)=5：4,故。正確；

故選：ACD.

作出圖象，補全過E、F、G三點的截面，再取BC邊上的中點Q,連結(jié)AQ,CQ,證明BD1

平面ACQ,判斷4BC三個選項，。找出球心，算出R、r的值，再求面積之比.

本題考查了立體幾何中的作圖、計算、空間想象能力，計算量較大，屬于難題.

25.【答案】495

【解析】解：依題意班主任老師想了解全班學(xué)生的成績情況，即了解全班學(xué)生每個科目

的成績，

所以總體的容量是55x9=495.

故答案為：495.

依題意可知班主任老師想了解全班學(xué)生每個科目的成績，即可得到總體的容量.

第20頁，共31頁

本題考查用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征，屬于基礎(chǔ)題.

26.【答案】11

【解析】解：：tand=2,cosd清0.

...Ssine+cose=5ta"8+l=乜

sin0-cos0tan0-l

故答案為：11.

將所給的代數(shù)式轉(zhuǎn)化成關(guān)于tan。的式子，即可解出.

本題考查了三角運算，學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

27.【答案

【解析】解：這位考生至少得1個4的概率為1—（1一》（1一|）=*

故答案為：*

利用相互獨立事件概率乘法公式求得對立事件的概率，再對立事件的性質(zhì)求解.

本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式

的靈活運用.

28.【答案］9V15

【解析】解：設(shè)。P=/i,由題意，0P與底面垂直,

又在三點4,B,C處看頂端點P的仰用分別為30。，60°,45°,

???"=&BP若h,AP=2h,

在APBC與△PB4中，由余弦定理可得:

452+療-4”2

cosZ.PBA=①

2X45X零八

cos乙PBC=②

2X45X

由題意，cosz.PBA+cosZ.PBC=0,（3）

由①②③解得九=96或九=一96（舍去）.

故揭陽樓的高度OP=9，謳米.

故答案為：9V15.

設(shè)。P=h,由題意求得CP、BP、AP,在由余弦定理求得COSNPBA,COSNPBC,結(jié)合

cosZ-PBA4-cosZ-PBC=0求得左，則答案可求.

本題考查三角形的解法，考查余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，是基礎(chǔ)題.

29.【答案】l+3i

【解析】解：z（l-i）=4+2i,

z=—=二區(qū)）佗2=1+3i,

l-i2

故答案為：l+3i.

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡即可.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎(chǔ)題.

30.【答案】20

【解析】解：樣本中高一學(xué)生的比例為120+：北+330=\

根據(jù)分層抽樣的等比例性質(zhì)知：該中學(xué)抽取的志愿者總?cè)藬?shù)為4+i=20人.

故答案為：20.

利用分層抽樣的等比例性質(zhì)求抽取的樣本人數(shù).

本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題.

31.【答案】457r

【解析】解：根據(jù)題意可得三棱錐P-4BC的外接球為以4為頂點，P4AB、AC為三

條棱的長方體的外接球，

故該球的直徑d滿足cf2=PA2+AB2+AC2=PA2+BC2=45,

故該球的表面積為S=4TT（|）2=nd2=45兀，

故答案為：457r.

根據(jù)題意可得三棱錐P-ABC的外接球為以A為頂點，PA,AB,4C為三條棱的長方體

的外接球，再根據(jù)長方體外接球的直徑為內(nèi)接長方體的體對角線求解即可.

第22頁，共31頁

本題考查了三棱錐的外接球表面積的計算，屬于基礎(chǔ)題.

32.【答案】7

【解析】解：連續(xù)2次拋擲一枚骰子可能的事件數(shù)是6x6=36個，

而兩次向上的數(shù)字之和等于7的有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)種不同的情

況，

兩次向上的數(shù)字之和等于2、3、4、5、6的會隨著數(shù)字減小而減少，

?**TTI=7,

故答案為：7.

連續(xù)2次拋擲一枚骰子共有36種情況，兩次向上數(shù)字之和有2、3、4、5、6、7六個數(shù)字，

可以挨個求出概率，也可以根據(jù)事件4包含的結(jié)果數(shù)比較大小.

事件概率的計算，關(guān)鍵是分清基本事件總數(shù)與要求概率的事件包含的結(jié)果數(shù)，因此，要

做好三個方面的問題：一本實驗是否是等可能的，二是本實驗的基本事件是多少，三是

要求事件包含多少結(jié)果.

33.【答案】|

【解析】解：如圖，連接M。，設(shè)。為M。的中點，連接。N,0C,

則ON=）M,ELON//AM,

NONC為異面直線AM與CN所成角（或補角）,

由題意得

AM=CN=DM2

ON=-AM=—，MO=-DM=—,

2424

OC=VMC2+M02=I-+—=—,

74164

在△CON中，由余弦定理得:

ON2+CN2-OC22

cosZ-ONC=

20NCN3

???異面直線ZM和CN所成角的余弦值為|.

故答案為：|.

根據(jù)異面直線所成角的定義，借助平行關(guān)系作出平行直線，從而找出異面直線所成角(或

補角)，即可求出異面直線4M和CN所成角的余弦值.

本題考查異面直線所成角的定義、線線平行的判定與性質(zhì)、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查

運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

.【答案】

3434

【解析】解：而=ABC，故而〃近，故乙4=120°,

AD-AB=\AD\-\AB|cosl20°=18Ax(-1)=-3,解得；I=%

不妨設(shè)M在N左側(cè)，|BM|=3te［0,4］,

則兩?'DN=(DA+AB+BM)-(DA+AB+JM+麗)

=4+3—2t—4+3+9—gt—3—2t—t+t?+2t=t?-5t+12=(t—［尸+§,

當(dāng)t=|時，麗?萬瓦的最小值為年.

故答案為：|;學(xué)

根據(jù)向量平行得到=120。，根據(jù)向量公式得到;1=/設(shè)=t6［0,4］,根據(jù)

DM-DN=(DA+AB+FM)-(DA+AB+~BM+而)，展開化簡得到答案.

本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算，屬于中檔題.

35.【答案】解:(I)由題意可知,第五組的頻率為-二二,=；，則樣本的容量為竽=96；

(II(50.5,60.5)的頻率為］+3+L4+2=2，［60.5,70.5)的頻率為M3+：+4+2=2，［70.5,80.5)

的頻率為［80.5,90.5)的頻率為

1331331

+-+-=0.625<0.75,-+-+-+1=0.825>0.75,

16168161684

該樣本的第75百分位數(shù)在第4組中.

【解析】(I)根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率與頻數(shù)的關(guān)系，即可求解；

(II)根據(jù)已知條件，結(jié)合第75百分位數(shù)的定義，即可求解.

第24頁，共31頁

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，以及頻率與頻數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

36.【答案】解：(1)/(久)=V3sin2x+2cos2x=y/3sin2x+1+cos2x=2sin(2x+-)4-1,

6

v—1<sin(2x+-)<1,A—2<2sin(2x4--)<2,—1<2sin(2x+-)+1<3,

666

即一1<f(x)<3,即f(x)的值域為［-1,3］.

(2)由2kn—<2x4-<2kn+pkEZ,

得kji—%<kn+J，kEZ,

36

即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［kTT—9火兀+勺，k&Z.

3o

【解析】(1)利用輔助角公式進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的有界性進行求解即可.

(2)根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進行求解即可.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式進行化簡，結(jié)合函數(shù)的值域單調(diào)

性是解決本題的關(guān)鍵.難度不大.

37.【答案】解：選②，cos乙4DB=|；"BO=45。,所以sin乙408=(,

在ABC。中，由正弦定理有一妥=等，可得8。=6,

sinzCBDsinC

在△408中，由余弦定理有AB?=4。2+0^2—24。-cos4/lDB=半，所以48=

27265

----,

5

選①△BCD中，由正弦定理有一^=學(xué)，可得sin“BD=^,

所以NCBD=45°,可得4BDC=15°,又44DC=75°,所以zG4DB=60°,

在44DB中，由余弦定理有AB2=AD2+DB2-2AD-DB-cos^ADB=52,

所以48=2g;

選③在4803由正弦定理有.°,=等,可得BD=6,

smLCBDsinC

由SMBD=12V3.\ADXBDXsinZ.ADB=12V3,可得sin440B=y,所以cos/ADB=

沁也

在A40B中，由余弦定理有極=AD2+DB2-2AD-DB-COSAADB,可得叔=52或

148,

所以AB=2m或AB=2V37.

【解析】選②，cosN力DB=|；NCBD=45°,所以sin/ADB=￡由正弦定理可得BD=6,

在△ADB中，由余弦定理可求AB；選①△BCD中，由正弦定理有一尖=%，可得

sm乙CBDstnC

sin乙CBD=專，在AADB中，由余弦定理可求AB,選③在△BCD中，由正弦定理有

-2CBD=黑，可得8°=6,由SAAB。=1273,sinz.ADB=圣從而cos乙4DB=:或一；，

在△ADB中，由余弦定理可求4B.

本題考查正余弦定理的應(yīng)用，以及考查三角形的面積公式，屬中檔題.

38.【答案】解：(1)在已接種腺病毒載體疫苗的人員中隨機抽取1名，

這個人參加了抗洪救災(zāi)的概率為：

n25001

LJ=_________________________——

―1500+1000+2500-2,

(2)截止2021年12月31日在某縣域內(nèi)接種滅活動疫苗和重組蛋白亞單位疫苗人次共有

120萬人，

其中接種滅活動疫苗有10萬人，接種重組蛋白亞單位疫苗有110萬人，

這110萬人中只有100萬人接種了第三針，

根據(jù)有效保護率只有90萬人體產(chǎn)生的抗體數(shù)量至少提升5-10倍，比率為2=

1204

???以人體產(chǎn)生抗體數(shù)量是否至少提升5-10倍為依據(jù)，用分層抽樣的方法抽到4人，

有1人人體產(chǎn)生的抗體數(shù)量不足以提升5-10倍，3人人體產(chǎn)生的抗體數(shù)量至少提升5-

10倍，

設(shè)抽取4人中不足以提升5-10倍的那個人為4,其他3人分別為B,C,D,

從這4人中抽取2人，基本事件有：AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6個，

其中2人均為人體產(chǎn)生抗體數(shù)量至少提升5-10倍的疫苗接種者的結(jié)果有：BC,BD,CD,

共3種,

??.這2人均為人體產(chǎn)生的抗體數(shù)量至少提升5?10倍的疫苗接種者的概率P=f=1.

O乙

【解析】(1)參加了抗洪救災(zāi)的接種人數(shù)為2500,總接種腺病毒載體疫苗的人數(shù)有5000,

根據(jù)古典型即可求出這個人參加了抗洪救災(zāi)的概率；

(2)接種滅活疫苗和重組蛋白亞單位疫苗人數(shù)共有120萬人，接種滅活疫苗和重組蛋白亞

單位疫苗人次共有120萬人，比率為:，所以抽取4人中有1人人體產(chǎn)生的抗體數(shù)量不嚇

以提升5-10倍，利用列舉法能求出這2人均為人體產(chǎn)生的抗體數(shù)量至少提升5?10倍的

疫苗接種者的概率.

第26頁，共31頁

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)

題.

39.【答案】(I)證明：由直三棱柱的性質(zhì)，得平面4BC工平面BBiGC,

又ZB1BC,：.AB1平面叫

又BiDu平面BBiGC