華南農(nóng)業(yè)大學(xué)期末考試試卷（A卷）2013~2014學(xué)年第2學(xué)期考試類型：（閉卷）考試2013~2014學(xué)年第2學(xué)期考試類型：（閉卷）考試考試科目高等數(shù)學(xué)All考試時間：120分鐘學(xué)號姓名年級專業(yè)1．微得分填空題1．微得分填空題（本大題共5小題，每小題3分分方程xy'=yIny的通解。共15分）題號三四總分得分評閱人rrrrTOC\o"1-5"\h\z設(shè)有向量a二（4,3,0）,b二（1,—2,2），則數(shù)量積axb二。過點（-1,1,0）且與平面3x+2y-z-13二0垂直的直線方程是力z4.設(shè)z=sin(xy2)，貝廿一二。Qy交換積分次序J2dyj2yf(x,y)dx0y2

二、單項選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）1.設(shè)L為直線x=0,y=0,x=1及y=1所圍成的正方形邊界，取正向，則J(X3+xy)dx+(x2+y2)dy等于A.-1B.A.-1B.1C.-D.rrrrr2.已知a=i+j+k,則垂直于a且垂直于x軸的單位向量是（）rrA.土(rrA.土(i—k)b.土刊-r)D.rrr(i-j+k)3.設(shè)z=ln(xy),則dzD.0x=1y=D.0A.dy一dxB.dx+dyC.dx一dy4.對于級數(shù)￡巳，有np

n=1A.當p>1時條件收斂C.當0<p<1時絕對收斂（）B.當p>1時絕對收斂D.當0<p<1時發(fā)散5.設(shè)0<u<!（n=1,2,L），則下列級數(shù)中必定收斂的是（）nnA.￡unA.￡unn=1B.￡(-1)nunn=1C.￡Jun=1D.￡(-1)nu2nn=1三、得分計算題(本大題共7小題，每小題7分，共49分)1.計算二重積分三、得分計算題(本大題共7小題，每小題7分，共49分)1.計算二重積分arctan—de，其中xD{(x,y)x2+y2<1,0<y<x}。2?設(shè)f,g均為連續(xù)可微函數(shù)，u=f(x,xy)g(x+xy)，求竺。dxdy3.設(shè)由方程xyz=ez確定隱函數(shù)z=z(x,y)，求全微分dz。nn4.判定級數(shù)￡亠的斂散性。2nn!n=1x=匚=-I的特解。25使用間接法將函數(shù)fx=匚=-I的特解。2求微分方程y'-xcosx=—滿足初始條件yx計算二重積分flxjdb，其中D是由曲線y=応和y=x2所圍成的閉區(qū)域。D四、得分解答題(本大題共四、得分解答題(本大題共3小題，每小題7分，共21分)1.L是連接以(-1,0)為起點和(1,2)為終點的一條曲線，問當a為何值時，曲線積分I(6xy2-y3)dx+a(xy2-2x2y)dy與積分路徑無關(guān)，并計算L此時的積分值。2.要造一個容積等于定數(shù)k的長方體無蓋水池，應(yīng)如何選擇水池的尺寸，才能使它的表面積最小。0003.設(shè)f(x)在Ixl<1上有定義，在x二0某鄰域有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且lim=a>0,xtOx求證：(1)左f(-)發(fā)散；(2)藝(-l)n-lf(!)收斂。nnn=1n=1華南農(nóng)業(yè)大學(xué)期末考試試卷(A卷)2013~2014學(xué)年第2學(xué)期考試科目：高等數(shù)學(xué)All參考答案、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)1．y=e1．y=eCx2．(6,-8,-11)3．x+1=y-1=z1~2=-14．2xycos(xy2)5．J1dx5．J1dxj■x2xf(x,y)dy二、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)1．C2．B3．B4．B5．D1.5C°三、計算題(本大題共7小題，每小題7分，共49分)1.5C°1.計算二重積分JJarctan—de，其中D是｛(x,y)x2+y2<1,0<y<x｝。xD兀解：在極坐標中D為｛(0,r)0<&<一，0<r<1｝3分45分JJarctan—de=JJord0dr5分x=J40d0J1rdr6分兀兀2nn=1647分2.設(shè)f,g均為連續(xù)可微函數(shù)，u=f(x,xy)g(x+647分2.設(shè)f,g均為連續(xù)可微函數(shù)，u=f(x,xy)g(x+xy),缶dudu求—dxdy解：dx=（小x，xy）+fx，xy））g（xF）+（1+y）f（x，xy）g'（x+切…4分dudy=fx,ag(xF)+對(x,xy)g'(xF)7分3?設(shè)由方程xyz=ez確定隱函數(shù)z=z（x,y），求全微分dz。解：設(shè)F(x,y,z)=xyz-ez1分F=yz,F=xz,F=xy一ezxyz4分dxFyzdzFxzx=,=——y=Fez-xydyFez-xyzz6分dz=(ydx+xdy)ez—xy7分4分6分4.判定級數(shù)￡旦的斂散性。2nn!n=1u(n+1)n+12nn!解：p=limn+i=limnxun*2n+1(n+1)加n=limi(1+!)n=-<1n—82n2所以級數(shù)￡竺發(fā)散7分4nn!DD5?使用間接法將函數(shù)f(x)=展開成x的冪級數(shù)，并確定展開式成立的區(qū)間。4-X2解:Q=1+x+x2+L(-1<x<1)1-x=1—x+x2+L(―1<x<1)1^分1+xf(x)=4—x2=2(；—I+士)223分x2x4x2n=1+++L+-41622n5分展開式成立的區(qū)間為(—2,2)7分6.求微分方程y'—xcosx=—滿足初始條件yxx=2I的特解解：原方程化為y'——=xcosxxy=e』p(x)dx(JQ(x)e『p(x)dxdx+C)=e『；dx(Jxcosx-e」：dx+C)2分=x(sinx+C)5分兀由y=-一，得C=—2，特解為y=x(sinx—2)7分x=x227?計算二重積分JJxjydb，其中D是由曲線y=\：匚和y=x2所圍成的閉區(qū)域。D解：D={(x,y)I0<x<1,x2<y<Jx}2分JJxpydb=J1dxJxxJydy0x24分令令F=xy+2xz+2yz+九(xyz-k)4分2=『2

o37(x4-x4)dx5分557分55四、解答題(本大題共3小題，每小題7分，共21分)4.1.L是連接以(-1,0)為起點和(1,2)為終點的一條曲線，問當a為何值時，曲線積分J(6xy2-y3)dx+a(xy2-2x2y)dy與積分路徑無關(guān)，并計算此時的積分值。L解：令P=6xy2一y3,Q=a(xy2一2x2y)，貝廿力Q力PTOC\o"1-5"\h\z—二a(y2—4xy),-二12xy—3y22分excy令I(lǐng)毘，得a=-3，曲線積分與路徑無關(guān)3分選擇路徑L=L+L,L:y二0(-1<x<1),L:x二1(0<y<2)，5分1212(6xy2(6xy2一y3)dx+a(xy2一2x2y)dy=J2-3(y2-2y)dy=47分2?要造一個容積等于定數(shù)k的長方體無蓋水池，應(yīng)如何選擇水池的尺寸，才能使它的表面積最小。解：設(shè)水池的長、寬、高分別為x,y,z，水池的表面積為A，則A=xy+2xz+2yz,xyz=k2分

F=y+2z+九yz=0xF=x+2z+九xz=0八4y5分F=2x+2y+九xy=0zxyz=k7分7分3.設(shè)f(x)在Ixl<1上有定義，在x=0某領(lǐng)域有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且lim竺=a>0,xtOx11求證：(1)￡f(―)發(fā)散;(2)￡(-l)n-1f㈠收斂。nnn=1n=11分解：因為lim凹=a>0，所以當n充分大后f(—)>1分xt0xn又因為改變級數(shù)前面有限項不影響級數(shù)斂散性，所以可認為￡f(—)是正項級nn=1數(shù)………………2分(1)因為lim竺(1)因為lim竺xt0xf(—)lim—^nT+8=a>03分TOC\o"1-5"\h\z￡—發(fā)散，所以￡f(—)發(fā)散4分nnn=—n=—(2)因為limf"x)=a>0，所以limf(x)=05分xt0xxt5分又limf(x)=f(0)(連續(xù)),所以f(