對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的0和1的新認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)根底的0和1的新認(rèn)識(shí)

學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)、物理學(xué)的人都知道，現(xiàn)行理學(xué)中有很多重大悖論和疑難；連邏輯主義數(shù)學(xué)家弗雷格也說(shuō)‘邏輯在哪里出了毛病呢？很多人百思不得其解。這一問(wèn)題直接威脅到數(shù)學(xué)的根底………更重要的是，威脅到自然數(shù)的定義?！€說(shuō)‘對(duì)什么是1這樣一個(gè)貌似簡(jiǎn)單的問(wèn)題，尚未有一個(gè)完滿(mǎn)的答案……否那么，我們最終將弄不分明負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)或復(fù)數(shù)?！惨訹3]〕

數(shù)學(xué)家們也都哀嘆數(shù)學(xué)的悖論災(zāi)難越來(lái)越深重了；有些數(shù)學(xué)家試圖用“零〔記為0〕和無(wú)限大〔記為∞〕是關(guān)于1的反演點(diǎn)，即0∞=1〞的辦法〔引自[1]的第8頁(yè)〕來(lái)規(guī)避如影隨形的悖論，但更不通了，因?yàn)楝F(xiàn)行的所謂“實(shí)數(shù)〞已〔無(wú)理的〕規(guī)定“0是整數(shù)、偶數(shù)，但不能做除數(shù)〞；而且0既然是“實(shí)數(shù)軸〞的始點(diǎn)，而∞卻在無(wú)限的邊遠(yuǎn)，也不是真正的反演。明擺著，是“實(shí)數(shù)〞有毛病，即“實(shí)數(shù)軸〞為無(wú)限的直線(xiàn)是錯(cuò)誤的。

令人驚喜的是，如把“實(shí)數(shù)軸〞改為有限的線(xiàn)段，那么整個(gè)現(xiàn)行數(shù)學(xué)根底就被革命性糾正，從而所有相關(guān)的悖論和疑難也隨之全部打消。

于是，所謂“實(shí)數(shù)〞就有了其新概念〈數(shù)〉〔用〈〉表示新概念〕。

1“實(shí)數(shù)〞的新概念

先取“實(shí)數(shù)軸〞的正半軸射線(xiàn)改為線(xiàn)段，再把它有限等分，并把有序性編號(hào)①、②、③…從左向右標(biāo)在相應(yīng)的分點(diǎn)上，那么1、2、3…等稱(chēng)為有序積段，而①、②、③…是其分點(diǎn)的編號(hào)，如圖1。對(duì)這同一線(xiàn)段，當(dāng)有序編號(hào)○n增多，那么等分分段△n間隔縮小，但△n≡1〔‘固符’△專(zhuān)使△n≡1〕，如圖2。

圖2顯示出四點(diǎn)：第Ⅰ、總段〔總段用粗體1標(biāo)志，以區(qū)別于積段1〕的始點(diǎn)是○0；○0是0的編號(hào)；第Ⅱ、如果反序讀正半軸的，那么也出現(xiàn)負(fù)號(hào)，這表明正負(fù)符號(hào)與有序積段本身無(wú)關(guān)〔示例錢(qián)這數(shù)量，其本身是沒(méi)有正負(fù)的，只在使用時(shí)才出現(xiàn)正負(fù)號(hào)。〕；第Ⅲ、如把每一分段△n繼續(xù)不斷十等分，那么○n○∞，但○n≠○∞，否那么△n=1/○∞=0，總段就不存在了，這就有悖；這也證實(shí)了○∞不屬于總段1，即○n和○∞分別是1和∞兩者界點(diǎn)的編號(hào)。所以編號(hào)為○∞的∞不在總段1上，而是總段1的終端○n之外的空間。注意，同一界點(diǎn)的兩個(gè)編號(hào)○∞和○n是不答應(yīng)換位的；但現(xiàn)行的“實(shí)數(shù)軸〞是無(wú)限的射線(xiàn)，才使數(shù)學(xué)家們把○∞和○n合二為一了，即可以○n=○∞了，這是“實(shí)數(shù)〞有缺陷的基本原因；第Ⅳ、不論編號(hào)○n如何增多，恒有△n=1，即等分分段△n≡1。

同理，現(xiàn)用的負(fù)半“實(shí)數(shù)軸〞用上述方法也可顯出圖2這四點(diǎn)，如圖3。

然后把圖2、圖3在○0點(diǎn)連接成一條線(xiàn)段，就成了一條完整的新數(shù)軸，如圖4。當(dāng)無(wú)軸排序時(shí)，才在編號(hào)前加負(fù)號(hào)表示左序。顯然整個(gè)新數(shù)軸仍以總段1標(biāo)出，其分段編號(hào)為兩組○n；總段1的兩端之外都是∞了，也即兩端點(diǎn)都是n與∞的界點(diǎn)，都標(biāo)著○n和○∞兩個(gè)編號(hào)，這很容易把○n和○∞混淆，請(qǐng)看圖4。

由四個(gè)圖可知，0是不真的數(shù)，因?yàn)樗鼪](méi)有長(zhǎng)度，因此0在新概念中僅表示‘無(wú)’、‘空位’等。由圖4可看出，0是微觀(guān)的‘無(wú)’，∞是宏觀(guān)的‘無(wú)’，作為數(shù)都是不真的。要有總段1，才能被有限多的編號(hào)○n等分后得到有限多的有序積段；如果沒(méi)有總段1，就會(huì)把有序編號(hào)○n與有序積段n混而為一了。

據(jù)上述知，把總段1按有序編號(hào)○n等分后，各從始點(diǎn)到○n的點(diǎn)的有序積段稱(chēng)為〈自然數(shù)〉；但

這〈自然數(shù)〉是有限的，所以是新概念，其數(shù)軸是新概念數(shù)軸。

注意：事實(shí)上總段1不是〈自然數(shù)〉的1，因?yàn)樗皇怯傻确值玫?，因而沒(méi)有編號(hào)，所以不是〈數(shù)〉。

不連續(xù)的〈自然數(shù)〉叫〈整數(shù)〉。所以〈整數(shù)〉中沒(méi)有正號(hào)、負(fù)號(hào)和不真的〈數(shù)〉0、∞。

數(shù)學(xué)范疇不能引入各種量，因而沒(méi)有量綱〔量綱即量度單位〕，以致人們不會(huì)區(qū)別〈純數(shù)〉和〈量數(shù)〉兩個(gè)概念，現(xiàn)在有了新概念〈自然數(shù)〉，就可區(qū)別〈純數(shù)〉和〈量數(shù)〉了，示例和m/○n，雖然兩者都是〈自然數(shù)〉之間關(guān)系性式子的〈數(shù)〉，但前者是〈純數(shù)〉而后者是〈量數(shù)〉。

進(jìn)而，一切小數(shù)無(wú)論是‘有理的，無(wú)理的，或超越的’，實(shí)質(zhì)上都是物理元素間或幾何元素間的關(guān)系的值，亦即僅由〈自然數(shù)〉〔○n是其編號(hào)〕間按各種關(guān)系性運(yùn)算符號(hào)組成的式子產(chǎn)生，如、、1.4142……=、=【注意，在沒(méi)有量綱的條件下，L，D都只能是〔存在性的〕〈整數(shù)〉，不可能是〔關(guān)系性的〕小數(shù)；因?yàn)榭偪梢杂米钚〉亩攘繂挝唬苁剐?shù)點(diǎn)消去。】、，等。

有了新概念〈自然數(shù)〉，就知道任何小數(shù)在敘述上都沒(méi)有獨(dú)立性〔須由〈自然數(shù)〉組成的式子表出〕，而且甚至沒(méi)有完全性〔如無(wú)限小數(shù)須取近似值〕，所以都不能標(biāo)在新概念數(shù)軸上。有了〈自然數(shù)〉，還容易辨別無(wú)限小數(shù)中的“無(wú)理性和超越性〞，如無(wú)限小數(shù)、無(wú)理數(shù)、這兩式中的〈整數(shù)〉是確定的，而、中〈整數(shù)〉是不確定的，這就是、為何具有‘超越性’的原因。顯然，這一判斷辦法是簡(jiǎn)明有效的〔而康托的用數(shù)軸判斷法是錯(cuò)誤的，因?yàn)榉残?shù)都是關(guān)系性的數(shù)，在數(shù)軸上是沒(méi)有的〕。

由新概念數(shù)軸可看出，n表示‘有限大’，其編號(hào)○n表示‘有限多’；同理，0表示‘無(wú)大’，其編號(hào)○0表示‘無(wú)多’，∞表示‘無(wú)限大’，○∞表示‘無(wú)限多’。這就證實(shí)了，數(shù)學(xué)家們?yōu)橐?guī)避悖論所用的“0和∞是關(guān)于1的反演點(diǎn)，即1/0→∞〞，須糾正為用新概念敘述的1/○0=○∞才正確，因?yàn)椤?和○∞分別是總段1的兩個(gè)端點(diǎn)，1才是真正的‘反演段’〔不是“反演點(diǎn)〞；請(qǐng)參看圖2或3〕；這與上面論證相印證。上面已證實(shí)，正負(fù)號(hào)是附著〈整數(shù)〉的而不是含在其中的，于是可得虛符：，從而也是附著〈整數(shù)〉而不是含在其中的，所以‘虛數(shù)’實(shí)質(zhì)是〈虛符〉，僅起隔開(kāi)、過(guò)渡和連接的作用，如‘復(fù)數(shù)’

a+b，實(shí)質(zhì)是兩〈整數(shù)〉a和b由〈虛符〉連接、隔開(kāi)而成。

概括上述，總稱(chēng)為“實(shí)數(shù)〞的含義不合事實(shí)，應(yīng)改稱(chēng)為〈數(shù)〉，表示新概念：〈數(shù)〉包括由總段1所產(chǎn)生的真的數(shù)〈自然數(shù)>和其編號(hào)○n，不真的數(shù)0、和其編號(hào)○0、○∞，由〈自然數(shù)〉和其編號(hào)○n按各種關(guān)系性運(yùn)算符號(hào)組成的式子產(chǎn)生的各種小數(shù)。用〈虛符〉連接的〈數(shù)〉可依舊稱(chēng)為‘復(fù)數(shù)’。

還須提醒四點(diǎn)：

〔1〕既然在新概念的數(shù)軸上，不存在各種小數(shù)，所以還證實(shí)了與“實(shí)數(shù)〞相關(guān)的所謂“開(kāi)區(qū)間〞、“閉區(qū)間〞也是假概念，由新概念編號(hào)○n取代，，這極大的淺簡(jiǎn)了高等數(shù)學(xué)。

〔2〕函數(shù)關(guān)系性〔不論是幾何關(guān)系或是物理關(guān)系〕的〈數(shù)〉，不是坐標(biāo)軸〔坐標(biāo)軸由數(shù)軸組成〕上本身所有的存在性的〈數(shù)〉。所以，坐標(biāo)軸上只能標(biāo)上存在性的〈數(shù)〉即新概念〈自然數(shù)〉；當(dāng)用到不同函數(shù)式的分?jǐn)?shù)、小數(shù)和無(wú)理數(shù)時(shí)，只能臨時(shí)在軸上點(diǎn)出。

〔3〕上述證實(shí)了，客觀(guān)只存在‘線(xiàn)段’，即‘線(xiàn)段’是真概念，而‘射線(xiàn)’和‘直線(xiàn)’應(yīng)分別是‘一個(gè)端點(diǎn)暫未確定的線(xiàn)段’和‘兩個(gè)端點(diǎn)都暫未確定的線(xiàn)段’的簡(jiǎn)稱(chēng)。

〔4〕由1/0=○∞，從而有1/○0=這證實(shí)了0是微觀(guān)的‘無(wú)’，∞是宏觀(guān)的‘無(wú)’；‘無(wú)’即‘空間’，1表示總‘物質(zhì)’；這敘述了宇宙有限和無(wú)限的統(tǒng)一。

2解決現(xiàn)行數(shù)學(xué)中幾個(gè)已公認(rèn)無(wú)法解決的悖論和疑難的實(shí)例

〔1〕“整體等于其部分〞悖論和對(duì)其解決：現(xiàn)行科教書(shū)依據(jù)所謂“實(shí)數(shù)〞，用康托的“一一對(duì)應(yīng)法和勢(shì)的大小〞證出“自然數(shù)與其正偶數(shù)〔或正奇數(shù)〕一樣多〞，從而得出“整體等于其部分〞。

解決：由于新概念〈自然數(shù)〉是有限的，即知這是悖論。

〔2〕“康托集〞悖論和對(duì)其解決：現(xiàn)行科教書(shū)關(guān)于“康托集〞的表述是〔引自[2]363頁(yè)和366頁(yè)〕：“把區(qū)間[0，1]〔即長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段〕三等分，棄中間子區(qū)間〔1/3，2/3〕；如此連續(xù)棄中，問(wèn)棄的數(shù)多還是剩的數(shù)多？〞，“經(jīng)運(yùn)算，所棄的子區(qū)間之和的長(zhǎng)度A=1；但還剩點(diǎn)集X，其元素〔即長(zhǎng)度為零的點(diǎn)〕有無(wú)窮多；用一一對(duì)應(yīng)法，點(diǎn)集X的元素與長(zhǎng)度A中的元素一樣多〞；“與我們的習(xí)慣思維似有矛盾……全部區(qū)間都扔掉了，但像沒(méi)扔掉。〞

上面引文顯示，編著者實(shí)際已成認(rèn)了其“證明〞是悖論；事實(shí)上，所棄的和還剩的都不是“點(diǎn)集〞而是‘段集’〔即其元素都是長(zhǎng)度不為零的小線(xiàn)段〕。

解決：用新概念〈自然數(shù)〉，所謂“區(qū)間[0，1]〞〔注意，有了〈自然數(shù)〉的‘編號(hào)’，“區(qū)間〞已被‘編號(hào)’取代，即所謂“開(kāi)區(qū)間〞、“閉區(qū)間〞已被否認(rèn)〕實(shí)即總段1，其終點(diǎn)編號(hào)○n≠○∞，即所棄的“子區(qū)間〞總長(zhǎng)度為A，而所剩的區(qū)間之和的長(zhǎng)度為a；所以A遠(yuǎn)大于a。于是該悖論解決。

〔3〕“連續(xù)統(tǒng)若〞悖論和其解決：現(xiàn)行科教書(shū)已成認(rèn)了該“若〞是無(wú)法解決的第一難題。

解決：由新概念〈自然數(shù)〉知，該“若〞是“整體等于其部分〞悖論的一般化，這等于已得到解決。

〔4〕羅素悖論的解決：羅素在研究自然數(shù)時(shí)發(fā)現(xiàn)了羅素悖論：‘集包含自身為元素’。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)由該悖論的提出引起；至今沒(méi)有解決。

解決：如用新概念的〈自然數(shù)〉，因總段1不是積段的1，即總段1不是〈數(shù)〉，就不會(huì)‘集包含自身為元素’，于是羅素悖論即得解決。

〔5〕‘費(fèi)馬大定理’〔即xn+yn=zn，當(dāng)n>2時(shí)，無(wú)正整數(shù)解〕疑難的解決：現(xiàn)行科教書(shū)依據(jù)現(xiàn)行“實(shí)數(shù)〞概念，宣稱(chēng)該‘定理’由懷爾斯在1995年成功證明，但數(shù)學(xué)家們都認(rèn)為懷爾斯的證明太冗長(zhǎng)、不淺簡(jiǎn)，因而其證明性不強(qiáng)〔注意，費(fèi)爾馬在關(guān)于這不定方程的待求正整數(shù)解這頁(yè)的空白處寫(xiě)道：‘…………我已發(fā)現(xiàn)了這個(gè)美妙證法，可惜這里的空白地方太小，寫(xiě)不下。’；這證明費(fèi)爾馬的‘美妙證法’是很簡(jiǎn)短的?！?/p>

如用新概念〈自然數(shù)〉，可簡(jiǎn)潔證明如下：

首先，應(yīng)把費(fèi)馬定理式子改寫(xiě)成x○n+y○n=z○n，這是因?yàn)橛伞皩?shí)數(shù)〞新概念，指數(shù)只能是以為底數(shù)的編號(hào)○n，表示自然空間的《S度。由于自然空間只能是三維的〔因?yàn)檫^(guò)自然空間中一點(diǎn)只能引兩兩互相正交的三條直線(xiàn)。〕，所以當(dāng)○n>○3，該定理式子的x、y、z就都不成線(xiàn)段，從而就不存在，所以沒(méi)有解；當(dāng)○n=○1、○n=○2，已知有解；當(dāng)○n=○3，人們已證沒(méi)有解。所以當(dāng)○n>○2時(shí)，x○n+y○n=z○n無(wú)解。證畢。

所以，失逸的費(fèi)爾馬的‘美妙證法’，必是這種證法。

〔6〕現(xiàn)行教科書(shū)中兩個(gè)疑似已解決的馳名悖論〔即‘莊子悖論’和‘芝諾悖論’，請(qǐng)看[1]的第3和第9頁(yè)〕，其實(shí)并沒(méi)有真的解決，原因就是沒(méi)有積段n和分點(diǎn)編號(hào)○n之分，即雖知○n○∞，卻不知○n≠○∞，把○n和○∞兩個(gè)編號(hào)混淆了，才說(shuō)出“無(wú)限段路程之和可以是有限量〞〔引自[1]的第3頁(yè)末；注意，此話(huà)是具體、分明的低劣錯(cuò)誤，出于數(shù)學(xué)家之口，實(shí)為數(shù)學(xué)的悲痛〕這種有悖的“結(jié)論〞，從而沒(méi)能真正解決這兩個(gè)悖論。所以，只有知道新概念n是有限的，即○n○∞但○n≠○∞，敘述了○n僅具‘未知性’而不具‘無(wú)限性’，從而不會(huì)把○n與○∞混淆〔由圖2或3更可直觀(guān)看出，總段1的終點(diǎn)是n與∞的界點(diǎn)，并標(biāo)著○n、○∞，很容易混