地基模型第一節(jié)概述第二節(jié)線性彈性地基模型

第三節(jié)非線性彈性地基模型第四節(jié)地基模型參數(shù)的確定

第五節(jié)地基的柔度矩陣和剛度矩陣第六節(jié)地基模型的選擇2/20/20231地基模型第一節(jié)概述地基模型:描述地基土應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。合理地選擇地基模型是基礎(chǔ)工程設(shè)計中的一個重要問題，要根據(jù)建筑物荷載的大小、地基性質(zhì)以及地基承載力的大小合理選擇地基模型。所選用的地基模型應(yīng)盡可能準(zhǔn)確地反映土體在受到外力作用時的主要力學(xué)性狀，同時還要便于利用已有的數(shù)學(xué)方法和計算手段進(jìn)行分析。隨著人們認(rèn)識的發(fā)展，曾先后提出過不少地基模型，主要的類型有：線性彈性地基模型、非線性彈性地基模型、彈塑性地基模型。本章主要介紹線性彈性地基模型

2/20/20232第二節(jié)線性彈性地基模型

線性彈性地基模型：地基土在荷載作用下，其應(yīng)力-應(yīng)變的關(guān)系為直線關(guān)系，并可用廣義虎克定律表示：彈性體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系服從虎克定律：為彈性矩陣。

用矩陣表示：[注解]2/20/202332/20/20234第二節(jié)線性彈性地基模型

適用條件：

實際的基礎(chǔ)剛度大多是介于柔性基礎(chǔ)和絕對剛性基礎(chǔ)二種極端情況之間的，故這些基礎(chǔ)底面下的地基反力分布是復(fù)雜的。當(dāng)建筑物荷載較小，而地基承載力較大時，地基土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可采用線彈性地基模型分析。常用的三種線性彈性地基模型：

文克勒（Winkler）地基模型彈性半空間地基模型分層地基模型

文克勒地基模型和彈性半空間地基模型正好代表線性彈性地基模型的兩個極端情況，分層地基模型也屬于線性彈性地基模型。

2/20/202351.文克勒地基模型（文克勒于1867年提出）模型描述：假定地基是由許多獨立的且互不影響的彈簧組成，即假定地基任一點所受的壓力強(qiáng)度p只與該點的地基變形s成正比，而p不影響該點以外的變形（圖1-2）。

其表達(dá)式為：k─地基基床系數(shù),表示產(chǎn)生單位變形所需的壓力強(qiáng)度，kN/m3；

p─地基上任一點所受的壓力強(qiáng)度，kPa；s─p作用點位置上的地基變形，m。2/20/202361.文克勒地基模型（文克勒于1867年提出）適用條件：地基土越軟弱，土的抗剪強(qiáng)度越低，該模型就越接近實際情況。優(yōu)點：計算簡便，k選擇得當(dāng)，可獲得較滿意的結(jié)果。

存在問題：文克勒地基模型忽略了地基中的剪應(yīng)力，按文克勒地基模型，地基變形只能發(fā)生在基底范圍內(nèi)，而基底范圍外沒有地基變形，這與實際情況是不符的，使用不當(dāng)會造成不良的后果。

基床系數(shù)：地基土基床系數(shù)值可參考表1-1?；蚕禂?shù)也可根據(jù)不同地基分別采用現(xiàn)場載荷板試驗、室內(nèi)三軸試驗或室內(nèi)固結(jié)試驗成果獲得。2/20/202371.文克勒地基模型（文克勒于1867年提出）2/20/202382.彈性半空間地基模型

彈性半空間地基模型：是將地基視作均勻、各向同性的彈性半空間體。

(1)集中荷載Q

當(dāng)Q作用在彈性半空間體表面上時(圖1-3)，根據(jù)布西奈斯克（Boussinesq）公式可求得位于距離荷載作用點O為r的點i的豎向位移為：2/20/202392.彈性半空間地基模型

(2)均布荷載作用下矩形面積的中點豎向位移(圖1-4)對上式進(jìn)行積分求得：P─矩形面積a×b上均布荷載p

的合力，kN；Fii為積分后得到的系數(shù)。2/20/202310優(yōu)點：彈性半空間地基模型具有能擴(kuò)散應(yīng)力和變形的優(yōu)點，比文克勒地基模型合理些。存在問題：彈性半空間地基模型的擴(kuò)散能力往往超過地基的實際情況，造成計算的沉降量和地表沉降范圍都較實測結(jié)果為大，也未能反應(yīng)地基土的分層特性。造成這些差異的主要原因是地基的壓縮層厚度是有限的，而且即使是同一種土層組成的地基，其變形模量也隨深度而增加，因而是非均勻的。2.彈性半空間地基模型

2/20/2023113.分層地基模型

分層地基模型即是我國地基基礎(chǔ)規(guī)范中用以計算基礎(chǔ)最終沉降的分層總和法（圖1-5）。按照分層總和法，地基最終沉降s等于壓縮層范圍內(nèi)各計算分層在完全側(cè)限條件下的壓縮量之和，這個假定僅在基礎(chǔ)對稱軸交點下的情況是合理的。分層總和法的算式如下：

Hi─基底下第i分層土的厚度；Esi─基底下第i分層土的對應(yīng)于p1i～p2i段的壓縮模量；─基底下第i分層土的平均附加應(yīng)力；

n─壓縮層范圍內(nèi)的分層數(shù)。2/20/202312

該模型能較好地反映地基土擴(kuò)散應(yīng)力和變形的能力，能較容易地考慮土層非均質(zhì)性沿深度的變化和土層的分層，通過計算表明，分層地基模型的計算結(jié)果比較符合實際情況。但是，這個模型仍系彈性模型，未能考慮土的非線性和過大的地基反力引起地基土的塑性變形。3.分層地基模型2/20/202313地基土的加載應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系實測曲線呈非線性(圖1-6)，這與地基土應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系線性假設(shè)關(guān)系是不一致的。

1963年，康德爾(Konder)根據(jù)試驗結(jié)果提出土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為曲線型；1970年，鄧肯(Duncan)和張(Chang)根據(jù)這個關(guān)系并利用摩爾-庫侖強(qiáng)度理論導(dǎo)出了非線性彈性地基模型的切線模量公式，即鄧肯─張模型。

第三節(jié)非線性彈性地基模型塑性應(yīng)變彈性應(yīng)變圖1-6土體非線性變形特性2/20/202314鄧肯─張模型認(rèn)為在常規(guī)三軸試驗條件下土的加載和卸載應(yīng)力-應(yīng)變曲線均為雙曲線，可以用下式表示。─偏應(yīng)力,常規(guī)三軸試驗中為軸向壓力；─常規(guī)三軸試驗中的軸向主應(yīng)變；第三節(jié)非線性彈性地基模型─常規(guī)三軸試驗中的周圍壓力；a和b─均為試驗參數(shù)。2/20/202315a和b值的物理意義。對于確定的周圍應(yīng)力，a和b值為常數(shù)。Ei─初始切線模量；

─偏應(yīng)力的極限值，即當(dāng)→∞時的偏應(yīng)力值。2/20/202316

定義破壞比：

破壞時的偏應(yīng)力，根據(jù)摩爾-庫侖破壞準(zhǔn)則可表示為內(nèi)摩擦角和內(nèi)聚力的函數(shù)，即：切線模量地基土在荷載作用下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系分析中需要知道土的模量，鄧肯-張通過對雙曲線函數(shù)取偏導(dǎo)，得到用來計算地基中任一點的切線模量Et的公式為：2/20/202317─破壞時的偏應(yīng)力，砂性土為─曲線的峰值；粘性土取=15%～20%對應(yīng)的值，見下圖。2/20/202318把式(1-12)、式(1-13)和式(1-14)代入式(1-11)，得：

式中：，，，，即是確定切線模型的5個試驗參數(shù)。根據(jù)不同的周圍應(yīng)力可得一系列a和b值，分析

和的關(guān)系得到：(1-14)

──單位與相同的大氣壓力。鄧肯-張還建立了在室內(nèi)常規(guī)試驗條件下軸向應(yīng)變與側(cè)向應(yīng)變的非線性關(guān)系，求導(dǎo)同樣可得切線泊桑比。但是在實際應(yīng)用中，通常用定值泊桑比來分析。2/20/202319鄧肯-張模型是非線性彈性地基模型，在計算中要采用增量法，能用于建筑與地基基礎(chǔ)共同作用的研究，并獲得與實際相符的結(jié)果，該模型的主要缺點是忽略了應(yīng)力路徑和剪脹性的影響。必須指出，把土的應(yīng)力應(yīng)變曲線視作非線性彈性是不合理的，實際上土的卸載與加載路線是不重合的。

該模型在荷載不太大的條件下(即不太接近破壞的條件下）可以有效地模擬土的應(yīng)力應(yīng)變的非線性,在高應(yīng)力水平下是不合適的。非線性彈性地基模型歸納起來集中反映在和的求解。在計算時，切線模量所需的5個試驗常數(shù)可用常規(guī)三軸試驗獲得。鄧肯-張模型是建立在廣義虎克定律的彈性理論基礎(chǔ)上的，容易為工程界接受，模型所用參數(shù)物理意義明確，只需常規(guī)三軸試驗即可獲得，適用土類較廣，已為巖土工程界所熟知，并得到了廣泛應(yīng)用，成為最為普及的土體本構(gòu)模型之一。2/20/202320第四節(jié)地基模型參數(shù)的確定地基模型參數(shù)確定的重要性地基模型確定后，地基模型參數(shù)的確定方法便成為設(shè)計人員首先需要考慮的問題。這是因為，無論所選擇的地基模型是如何合理，如果模型中參數(shù)的測定方法不合理或無法準(zhǔn)確獲得，則巖土工程的質(zhì)量及精度也難以保證。因此，地基模型參數(shù)的確定在地基基礎(chǔ)的設(shè)計中是極其重要的，它不僅僅是巖土測試的直接結(jié)果，同時還要考慮理論與實測性狀的一致性，并根據(jù)實踐經(jīng)驗予以綜合確定。一、常見地基模型參數(shù)的確定方法彈性半空間模型的E：室內(nèi)循環(huán)加載試驗的初始切線模量。分層地基模型的參數(shù)Es：室內(nèi)側(cè)限壓縮試驗確定。

ν：一般取0.2~0.4，若考慮瞬時變形，泊桑比取0.5。

下面主要介紹文克勒地基模型中基床系數(shù)k的確定方法。2/20/202321

1.根據(jù)荷載板試驗確定

實際工程一般取寬度為707mm的正方形荷載板試驗，得到荷載p～沉降s的曲線如圖1-9所示，從而可得荷載板下的基床系數(shù)kp：式中：p2，p1——基礎(chǔ)底面計算壓力和土的自重壓力；

s2，s1——與p2，p1相應(yīng)的沉降量。對于基礎(chǔ)大小、埋深、形狀的影響，理論上可按太沙基(Terzaghi,1955)建議的方法進(jìn)行修正。圖1-9

2/20/202322

2.理論與經(jīng)驗公式

(1)按基礎(chǔ)平均沉降sm反算用分層總和法根據(jù)土的壓縮性指標(biāo)計算基礎(chǔ)若干點沉降后，取平均值sm，則基床系數(shù)k為(2)薄壓縮層地基情況當(dāng)壓縮層厚度時，基床系數(shù)k按下式計算：

式中：B—基礎(chǔ)寬度，下同。

Es—地基的壓縮模量。式中：p—基礎(chǔ)所受壓力，kPa。2/20/202323(3)雙層地基情況設(shè)E01、n01、H01和E02、n02、H02分別為第一壓縮層和第二壓縮層的變形模量、泊松比及厚度（見下圖），則k可按下式計算：(4)用無側(cè)限抗壓強(qiáng)度折算：2/20/202324【例1-1】某住宅總壓力為91kPa，埋深1.0m，地基的天然重度均為18kN/m3，在基礎(chǔ)埋深1m處用0.3m×0.3m的荷載板進(jìn)行室外荷載板試驗，得到如下表所示的數(shù)據(jù)，試確定該地基的基床系數(shù)。荷載板試驗結(jié)果p(kPa)0100200300400495s(mm)05.086.109.4011.4325.40【解】式中p2和p1分別為基礎(chǔ)底面計算壓力和土的自重壓力。故有

對應(yīng)的沉降由下表進(jìn)行線性內(nèi)插，有

從而有2/20/202325二、幾種曲線的線性變換及參數(shù)確定法

當(dāng)?shù)鼗Ｐ瓦x定以后，對于非線性彈性地基模型，土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是曲線型的，要確定這些模型的參數(shù)，必須進(jìn)行數(shù)量大于3個土樣的三軸試驗。用常規(guī)三軸固結(jié)不排水試驗得到的地基模型參數(shù)，可以得到建筑物的瞬時沉降；而用常規(guī)三軸固結(jié)排水試驗得到的地基模型參數(shù)，則可以得到建筑物的最終沉降。針對這些曲線型的試驗曲線，下面介紹其曲線的線性變換方法及參數(shù)確定方法。(一)雙曲線鄧肯-張模型的曲線呈雙曲線形狀，可用下式表示：(二)指數(shù)曲線線性變換鄧肯-張模型中用到的指數(shù)曲線：線性變換2/20/202326n=1

2/20/202327第五節(jié)地基的柔度矩陣和剛度矩陣在對地基基礎(chǔ)進(jìn)行分析時，需建立地基的柔度或剛度矩陣。

1.地基柔度矩陣和剛度矩陣的概念

把整個地基上的荷載面積劃分為m個矩形網(wǎng)格(圖1-11)，任意網(wǎng)格的面積為Fj，分割時注意不要使網(wǎng)格面積Fj相差太大。在任意網(wǎng)格j的中點作用著集中荷載Rj，整個荷載面積反力列向量記作{R}：各網(wǎng)格中點的豎向位移記作位移列向量{s}：反力列向量{R}和位移列向量{s}的關(guān)系如下：或式中：[f]─地基柔度矩陣；[Ks]─地基剛度矩陣；[Ks]=[f]-1，[Ks]與[f]互逆。2/20/202328圖1-11

2/20/202329

式中柔度矩陣的柔度系數(shù)fij是指在網(wǎng)格j處作用單位集中力，在網(wǎng)格i的中點引起的變形；當(dāng)i=j時，即為單位集中力在自身網(wǎng)格中點處產(chǎn)生的變形。 地基模型不同，結(jié)點分布位置不同，則柔度系數(shù)的計算方法和結(jié)果也不同。因此，地基柔度矩陣和地基剛度矩陣反映了不同的地基模型在外力作用下地基表面的位移特征。2/20/2023302.文克勒地基模型的柔度矩陣文克勒地基模型系彈簧模型，其表達(dá)式為：

對于如圖(1-11)所示的地基上作用矩形荷載面積，其值為p，把荷載面積劃分成m個矩形網(wǎng)格，若在j網(wǎng)格中點作用集中力Rj，則在j網(wǎng)格，即i=j時，上式成立，sij≠0。而當(dāng)i≠j時，則sij=0。因此，上式可寫成：柔度系數(shù)。文克勒地基模型的柔度矩陣僅在主對角線上有值，在其他位置均為零。2/20/2023312/20/202332第六節(jié)地基模型的選擇從工程出發(fā)，在選擇地基模型時，需考慮的因素主要有：

(1)荷載的種類與地基應(yīng)力水平

動荷載一般采用較簡單的線性地基模型；而當(dāng)基底平均反力適中，地基土中應(yīng)力水平不高，且塑性區(qū)開展不大時，也可采用線性地基模型。(3)土層條件

無